25.3 课时1 数字、几何问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与一元二次方程（数字、几何问题）”，通过复习一元一次方程应用题“审设列解验答”六步骤导入，引导学生迁移至一元二次方程，衔接前后知识，搭建学习支架。 资料以数学抽象、逻辑推理、数学建模为核心，通过数字问题（两位数表示、月历规律）和几何问题（平移法转化不规则图形、三种设元法对比）展开，采用探究与讲练结合，助学生掌握方程建模与验根，为教师提供清晰教学流程与方法指导。

25.3 实际问题与一元二次方程（课时1 数字、几何问题） 课题 25.3 实际问题与一元二次方程（课时1 数字、几何问题） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版 授课对象 九年级学生 授课时间 年 月 日 教学方法 探究法、对比教学法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件 一、核心素养目标 1. 数学抽象 从月历数字关系、两位数表示、几何面积等实际问题中抽象出一元二次方程模型 理解数字问题的数位表示法和几何问题的平移转化法 2. 逻辑推理 通过分析数字之间的数量关系（和、差、积）建立方程 理解面积问题中的平移转化思想：将不规则图形转化为规则矩形，简化列方程 3. 数学建模 掌握利用面积公式（矩形面积=长×宽）构建一元二次方程的方法 掌握道路问题的三种列方程方法：直接法、平移法、对称设元法 4. 数学运算 熟练解一元二次方程（因式分解法、公式法），根据实际意义舍去不符合的根 二、教学重点与难点 教学重点： 1. 掌握数字问题的解题方法：用代数式正确表示两位数 2. 掌握面积问题的平移转化方法：将道路平移后转化为矩形面积 3. 掌握一元二次方程应用题的一般步骤（审→设→列→解→验→答） 教学难点： 1. 理解道路平移法的原理：平移后面积不变，转化为规则图形求面积 2. 三种设元方法的辨析：从周长设、从面积设、对称设元，各自优劣 3. 实际问题中根的取舍：检验根是否符合实际情况（如长度不能为负、不能超过已知限制） 三、教学过程 环节一：复习导入（3-5分钟） 【教师活动】回顾解一元一次方程应用题的一般步骤：审→设→列→解→验→答。一元二次方程同样可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。今天学习数字问题和几何面积问题这两类典型应用题。 【互动提问】还记得解一元一次方程应用题的六个步骤吗？请一位同学回答。 【学生活动】回忆并回答：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答。 【教师总结】这六步同样适用于一元二次方程应用题。不同之处在于：一元二次方程通常有两个根，必须根据实际情况检验并舍去不符合题意的根。这就是我们今天要重点体会的。 【过渡语】让我们先从数字问题开始，看看一元二次方程如何帮我们找出隐藏的数字。 环节二：新知探究（25-30分钟） 探究一：数字问题 【复习回顾】解应用题六步：第一步：弄清题意，用字母表示未知数。第二步：找出相等关系。第三步：列出方程。第四步：解方程。第五步：检验。第六步：写出答案。 【问题呈现】问题1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 【学生活动】独立思考，尝试设未知数列方程。 【思路分析】设中间数为x，则三边长为x-1、x、x+1。由勾股定理：(x-1)²+x²=(x+1)²。展开：x²-2x+1+x²=x²+2x+1，化简：x²-4x=0，x(x-4)=0，x=0（舍去）或x=4。三边长为3、4、5。只有一组。 (x-1)² + x² = (x+1)² x² - 4x = 0 x(x-4) = 0 【答案】x₁=0（舍去，边长为0无意义），x₂=4。三边：3、4、5。只有一组。 💡 💡 判断技巧：设中间数为x可使方程简化。如果设最小数为x，方程为x²+(x+1)²=(x+2)²，展开后更繁琐。优先用中间数是解题捷径。 【问题呈现】月历问题：在月历表上用一个矩形任意圈出2×2个数，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，求这四个数的和。 【思路分析】设最小数为x。月历特性：同一列上下相差7天。故四个数为：x、x+1（同行右）、x+7（下行左）、x+8（右下=最大）。最小数×最大数：x(x+8)=153，即x²+8x-153=0，(x+17)(x-9)=0，x₁=9，x₂=-17（舍去）。四个数：9、10、16、17，和为52。 【学生活动】在学案上将四个数标注出来，独立列方程计算。 x(x+8) = 153 x² + 8x - 153 = 0 (x+17)(x-9) = 0 【答案】x₁=9，x₂=-17（舍去）。四个数：9、10、16、17。和：9+10+16+17=52。 【规律总结】月历数字关系：同行相邻差1，同列相邻差7。利用这一规律可以建立方程。 📕 📕 理解要点：月历中任意2×2方框：设左上角为x，则右上x+1，左下x+7，右下x+8。同行差1、同列差7是月历的固有规律，解题时可直接使用。 【问题呈现】问题2：有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。 【思路分析】设个位数字为x，则十位数字为(x-2)。两位数 = 10(x-2)+x = 11x-20。各位数字之积 = x(x-2)。由题意：11x-20=3x(x-2)，即11x-20=3x²-6x，整理得3x²-17x+20=0。解得x₁=4，x₂=5/3（不合题意，舍去）。x=4时十位=2，这个两位数是24。 10(x-2)+x = 3x(x-2) 11x-20 = 3x²-6x 3x²-17x+20 = 0 (3x-5)(x-4) = 0 【答案】x₁=4，x₂=5/3（小数位数，不合题意，舍去）。十位=2，这个两位数是24。 ⚠️ ⚠️ 易错提示：x₂=5/3虽然方程成立，但数字的"各位数字"必须是0-9的整数，所以分数必须舍去。检验时不仅要看是否为正，还要看是否满足"整数"条件。 【规律总结】两位数表示法：十位数字为a、个位数字为b时，这个两位数=10a+b。三位数=100a+10b+c，以此类推。 📕 📕 理解要点：两位数=10×十位+个位。千万不要写成"十位+个位"或"十位×个位"！这是数字表示的基础，也是学生最常见的错误。 【巩固练习】练习：已知两个相邻奇数的积是195，则较大的一个奇数是多少？ 【学生活动】独立完成，同桌互查。 【思路分析】设较大的奇数为x，则较小奇数为(x-2)。由题意：x(x-2)=195，x²-2x-195=0。解得x₁=15，x₂=-13（不符合题意，舍去）。所以较大的奇数是15。 x(x-2) = 195 x² - 2x - 195 = 0 (x-15)(x+13) = 0 【答案】x₁=15，x₂=-13（舍去）。较大的奇数是15。 探究二：面积问题——矩形围栏 【情境引入】利用一面墙和一定长度的篱笆围矩形区域，这是面积问题的经典模型。关键：三条边的总长度=篱笆长。 【方法一：从周长设】方法一（从周长设）：设垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为(篱笆总长-2x)。利用面积=长×宽列方程。最直接通用的方法。 💡 💡 特点：思路最直接、最通用。适合初学者，保证不丢分。 【方法二：从面积设】方法二（从面积设）：设平行于墙的边长为y，则垂直于墙的边长为½(篱笆总长-y)。方程依然是面积关系。 【方法三：对称设元】方法三（对称设元）：利用长宽和为定值（半周长），设长=半周长/2 + d，宽=半周长/2 - d。可直接用平方差公式化简运算，计算最简便，也能直观体现解的对称性。 💡 💡 特点：利用平方差公式化简，计算最简便。两根一个为x，一个为-x，正好对应"长宽互换"的两种方案（实际上是同一块地）。 【对比归纳】三种设元方法对比：方法一思路最直接通用；方法三计算最简便，用平方差公式化简，还能直观体现两根的对称性（一个根长宽互换即得另一个根）。实际解题推荐方法三。 设法 设元思路 方程形式 特点 方法一 从周长出发 设垂直边=x，平行边=总长-2x 思路最直接通用 方法二 从面积出发 设平行边=y，垂直边=(总长-y)/2 与法一等价，表述不同 方法三 利用对称性 设长=半周长/2+d，宽=半周长/2-d 平方差化简，计算最简便 ⭐ ⭐ 推荐方案：先用方法一理解（保证思路清晰），再用方法三快速解题（考场上省时间）。两种方法都要掌握。 探究二变式：靠墙猪舍问题（含门） 【问题呈现】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 【思路分析】有门意味着门的宽度不算在建筑材料内，实际用材总长=25+1=26m（门那一侧的有效长度）。设垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m。面积：x(26-2x)=80，整理得2x²-26x+80=0，即x²-13x+40=0。解得x₁=5，x₂=8。 x(25-2x+1) = 80 x(26-2x) = 80 2x² - 26x + 80 = 0 x² - 13x + 40 = 0 (x-5)(x-8) = 0 【答案】x₁=5，x₂=8。 【检验作答】检验：x=5时，平行边=26-10=16>12（住房墙长度），不满足条件，舍去。x=8时，平行边=26-16=10<12，符合。答：长为10m，宽为8m。 ⚠️ ⚠️ 易错提示：舍根不仅要看是否为负，还要看是否超出题目限制条件！x=5时，平行边16m>墙12m→超出→舍去。这是本题最容易丢分的地方。 📕 📕 理解要点：门的作用：门的宽度从建材总长中扣除的变成了有效的边长。简单说：有1m门→等于多了1m材料。设垂直边=x，有门一侧的有效边长=(建材总长+门宽)-2x。 【规律总结】有门问题：门的宽度不加在建筑材料中，但计入那一侧的总长度。设垂直于墙的边为x，则平行边=(总材长+门宽)-2x。这是本题的核心突破点。 📕 📕 核心突破点：靠墙猪舍有门问题：设垂直于墙的边为x→平行边=(总材长+门宽)-2x。门相当于「免费赠送」的边长——材料的有效长度增加了门宽那么多。门越大，猪舍越大。 探究三：面积问题——道路问题（平移法） 【问题呈现】例：如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m²，则道路的宽为多少？ 【方法一：直接法】方法一（直接法）：将草坪分成四个矩形区域分别求面积。设道路宽x m。草坪总面积=(32-x)(20-x)=540。整理得x²-52x+100=0，解得x₁=2，x₂=50。 (32-x)(20-x) = 540 x² - 52x + 100 = 0 (x-2)(x-50) = 0 【方法二：平移法】方法二（平移法）：利用「图形经过移动，面积大小不会改变」的性质，把纵、横两条路平移到边上，草坪正好可以拼成一个矩形。平移后的草坪长(32-x)m，宽(20-x)m，面积(32-x)(20-x)=540。结果同方法一。 【核心思想】图形经过平移，面积大小不变。将纵横两条道路平移到矩形边缘→草坪自动拼成一个规则矩形→直接求面积。 【检验作答】检验：x=50时，32-50=-18，不合题意，舍去。∴x=2。答：道路的宽为2m。 【答案】道路宽为2m。 💡 💡 判断技巧：x₁=2和x₂=50都是方程的解，但x=50>20（矩形宽度只有20m），显然不合理。这个例子再次强调了「检验」的重要性。 【规律总结】平移法的核心思想：将不规则图形通过平移转化为规则矩形，简化列方程。平移后面积不变。关键是找准平移后的矩形长宽——原长-道路总宽度，原宽-道路总宽度。 📕 📕 平移法精髓：道路面积问题的通用解法：将纵横道路平移到矩形边缘→草坪拼为规则矩形→矩形长=原长-横路宽，矩形宽=原宽-纵路宽→面积=(原长-横路宽)×(原宽-纵路宽)。平移前后面积不变是核心依据。 课堂总结：一元二次方程解应用题流程 【知识框架】实际问题 → 分析数量关系 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 得到一元二次方程的根 → 检验 → 实际问题的解 【课堂总结】数字问题：关键要设数位上的数字，准确地表示出原数（如两位数=10×十位+个位）。几何问题：运用常见几何图形的面积公式构建等量关系，道路问题常用平移法简化。 环节三：课堂练习（8-10分钟） 1. 如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路。如果阴影部分的总面积是600m²，那么x满足的方程是（ A ）。 A. x²-41x+180=0 B. x²-41x+225=0 C. x²-41x+30=0 D. x²-41x-270=0 【答案】A 【解析】平移法：横向道路总宽x+x+2x=4x（三条），纵向不受影响。阴影部分=(60-4x)(22-?)，需具体看道路分布。答案A。 2. 某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形。要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（ C ）。 A. 35×20-35x-20x+2x²=600 B. 35×20-35x-2×20x=600 C. (35-2x)(20-x)=600 D. (35-x)(20-2x)=600 【答案】C 【解析】平移法：横向一条宽x，纵向两条宽2x。平移后矩形长(35-2x)，宽(20-x)。 3. 「猜数字」游戏：信息1：个位与十位上的数字之和为3；信息2：个位与十位交换后新两位数×原两位数=252；信息3：原数个位数字小于十位数字。求原两位数。 【答案】21 【解析】设十位数字为x，个位为(3-x)。原数=10x+(3-x)=9x+3，新数=10(3-x)+x=30-9x。由题意(9x+3)(30-9x)=252，解得x₁=2，x₂=1。信息3要求十位>个位：x=2时，3-x=1，十位2>个位1，符合。x=1时，3-1=2，十位1<个位2，不符合。∴原数为21。 环节四：课堂小结（2-3分钟） 【教师引导】本节课我们学习了两类应用题：数字问题和几何面积问题。回顾一下：数字问题的核心技巧是什么？几何问题中最常用的技巧是什么？ 【课堂互动】学生总结，教师补充板书。 【教师点评】数字问题关键是正确表示原数（10a+b），几何问题关键是平移法（把道路移到边上→不规则区域变规则矩形→用面积公式直接列方程）。两种问题都要注意检验删根——一元二次方程的两个根不一定都符合实际意义。 ◆ 数字问题： 两位数=10a+b（a为十位，b为个位） 月历规律：同行差1，同列差7 连续整数/奇数：设中间数简化计算 ◆ 几何面积问题： 围栏模型：利用一面墙，三边围成矩形 道路问题：平移法→转化为规则矩形 三种设元法：周长设→面积设→对称设元 ◆ 解题步骤： ①审题→②设未知数→③列方程→④解方程→⑤检验（舍根）→⑥作答 四、板书设计 25.3 课时1 数字、几何问题 一、数字问题 1. 两位数表示：10a+b 2. 月历规律：同行差1，同列差7 3. 连续整数/奇数：设中间数 二、几何面积问题 1. 围栏模型：利用一面墙，三边围矩形 2. 道路问题：平移法 道路平移→草坪拼成矩形→直接求面积 3. 三种设元法：周长设/面积设/对称设元 三、解题步骤 审→设→列→解→验（按实际意义舍根）→答 五、教学反思 1. 回顾一元一次方程应用题的六步骤引入，学生能否顺利迁移到一元二次方程？是否存在思维定势的障碍？ 2. 数字问题中两位数表示法（10a+b）的复习是否充分？学生能否准确将「数字之积的3倍」翻译为方程？ 3. 月历问题中同行差1、同列差7的规律，学生是否需要强化？（这部分来自七上一元一次方程「月历中的方程」的前备知识） 4. 猪舍问题中「门」对总材长的影响（+1），学生是否容易忽略这个细节？怎么引导学生自主发现？ 5. 道路平移法是否讲透了核心思想——平移后面积不变？学生能否独立运用平移法解决类似问题？ 6. 三种设元法的对比是否清晰？学生能否根据题目特点灵活选择最优设元方式？ 六、补充说明 本节课是25.3的第一课时，涵盖数字问题和几何面积问题两大类。数字问题涉及连续整数、月历规律、两位数表示等，题目多样但难度不大，重点在于正确用代数式表示数量关系。 几何面积问题包括围栏模型（利用一面墙）和道路问题（平移法）两个核心模型。围栏模型中，三种设元方法的对比有助于学生理解"同一个问题可以有多种解法"。 道路平移法是本节课最具思维含量的内容——将不规则道路平移到边缘，使草坪区域恢复为规则矩形。这一思想体现了"转化"的数学思想方法，对后续学习具有重要意义。 猪舍问题中的"门"是一个陷阱点——很多学生会忽略门对有效材长的影响。建议教学时让学生先独立尝试，再通过纠错强化这一细节。 学科网（北京）股份有限公司 $