精品解析：山东省德州市天衢新区2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

2025—2026学年第二学期期末检测八年级数学·试题 （共150分 限时120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下列各式中，x可取1和2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式分母不为0，二次根式被开方数非负，分别求出各选项中的允许取值范围，判断能否取1和2即可得到结果． 【详解】解：A、有意义的条件是，即，故不能取1，不符合要求； B、有意义的条件是，即，∵，，∴可取1和2，符合要求； C、有意义的条件是，即，故不能取2，不符合要求； D、有意义的条件是，即，故不能取1，不符合要求． 2. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】设这个多边形的边数为n， 由题意得 解得： 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式，以及外角和360°，是解题的关键． 3. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，故原方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 4. 小丽拿三根不同长度的木棍首尾顺次相接围成三角形，请你帮她计算以下哪组木棍的长度围出的三角形能围成直角三角形（ ） A. 2，3，4 B. 2，4，5 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A．， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．， 以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．， 以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了中位数的定义，要判断何同学是否进入前4名，需确定他的成绩在7人中的相对位置．中位数能反映数据的中间位置，帮助确定排名． 【详解】解：共有7位同学，成绩按从高到低排列后，中位数是第4名的成绩．若何同学的成绩高于或等于中位数，则进入前4名．平均数（A）反映整体水平，众数（B）反映出现次数最多的值，方差（C）反映数据波动，均无法直接判断排名． 故选：D． 6. 下列四个图像中，不能表示y是x的函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义的知识，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点；本题根据函数的定义，逐项判断，进行作答即可求解； 【详解】解：选项A、B、D中的图象，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，都不符合题意； 选项C中的图象，对于的任何值，有一个或两个的值与之相对应，不是的函数，符合题意； 故选：C． 7. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可． 【详解】A．， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B．在和中， ， ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C． ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D．由，不能判定四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 8. 小明从学校骑车回家，中途等红绿灯停了．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：m）与骑车时间t（单位：）的关系如图所示，则小明骑车的速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可得，总共行驶的距离为，总共花的时间为，再结合速度路程时间，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得小明骑车的速度为． 9. 如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，先证明，得出，，求出，再证明是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 10. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标值，联立两直线求出交点坐标，即可得解． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， 则的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和得：， 解得：， 将代入直线得：， 即的最小值是， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 将函数的图象向上平移3个单位长度后，得到另一个函数的图象，则函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将函数的图象向上平移3个单位长度后，得到另一个函数的图象，则函数的解析式为． 12. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为，较短直角边长为6，则图中小正方形（空白区域）的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，求解小正方形的边长是解题的关键． 由勾股定理可求解直角三角形的较长的直角边，进而可求得小正方形的边长，即可求解面积． 【详解】解∶由勾股定理可得∶较长的直角边的边长为， 空自小正方形的边长为， 空白小正方形的面积为． 故答案为∶4． 13. 某学校随机抽查了50名教职工，他们一周徒步的时间如下表所示． 徒步时间 教职工人数 该学校教职工一周徒步的平均时间为______． 【答案】5.36 【解析】 【分析】先求出每组数据的组中值，再根据加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】分组数据计算平均数时，取每组区间的中点作为该组数据的代表值，即组中值， 各组组中值计算如下： 的组中值为， 的组中值为， 的组中值为. 的组中值为， 的组中值为， 根据加权平均数公式，平均时间为： ， 即该学校教职工一周徒步的平均时间为． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及二次根式的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 15. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是最短路径问题，矩形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴． ∴的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴， ， ∴，． 【小问2详解】 解：∵其中，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 17. 消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米． （1）求此时消防车的位置与楼房的距离的长； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由． 【答案】（1）米 （2） 不是，理由如下： 由题意得 米，米， 米， 由（1）得米； 米， 即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，利用勾股定理解是解题关键． （1）根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）由题意得 米，米，确定米，再由（1）中结果，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 略 18. 某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 （1）根据甲组数据，求a，m，b． （2）在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． （3）根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】（1），， （2）；或93， （3）甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【解析】 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【小问1详解】 解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； 【小问2详解】 解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； 【小问3详解】 解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 19. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质得出，，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． （1）请分别写出，与x之间的函数关系式． （2）通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】（1）， （2）当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【解析】 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 21. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）解：作图如下： （2）证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A，两点，，直线交直线于点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，连接，过点作交直线于点， ①求证：； ②求点的坐标． 【答案】（1）直线的表达式为 （2）①证明见解析；②点F的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，证得是解本题的关键． （1）先证明得出，即可得出点C，D坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由全等三角形的性质和同角的余角相等可判定，即可得出是等腰直角三角形，即可证明结论；②先确定出点E的坐标，再借助①的结论判证明，即可得出即可得出F的坐标． 【小问1详解】 解：直线分别交轴、轴于A，两点， 点，， ，． ， ，， 点，． 设直线的表达式为， 解得， 直线的表达式为． 【小问2详解】 ①证明：， ，． ， ， ， ． 在和中， ， ． ， 是等腰直角三角形， ． ②解：直线的表达式为①， 由（1）知，直线的表达式为②． 由题意可得：，解得， 点． 如图，过点作．过点作， 由①知，， ，． 在和中， ， ， ，， 点． 23. 如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求∠的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，再证明便可得； （2）由求出，再根据，可得，进而可以解决问题； （3）过作，证明是等边三角形，设，则，，得，由．列出的方程进行解答便可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图②，过作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，第（3）题难度大，关键是构造直角三角形和证明等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末检测八年级数学·试题 （共150分 限时120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下列各式中，x可取1和2的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 3. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 小丽拿三根不同长度的木棍首尾顺次相接围成三角形，请你帮她计算以下哪组木棍的长度围出的三角形能围成直角三角形（ ） A. 2，3，4 B. 2，4，5 C. 3，4，5 D. 4，5，6 5. 八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 6. 下列四个图像中，不能表示y是x的函数图像的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明从学校骑车回家，中途等红绿灯停了．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：m）与骑车时间t（单位：）的关系如图所示，则小明骑车的速度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 将函数的图象向上平移3个单位长度后，得到另一个函数的图象，则函数的解析式为_________． 12. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为，较短直角边长为6，则图中小正方形（空白区域）的面积为__________． 13. 某学校随机抽查了50名教职工，他们一周徒步的时间如下表所示． 徒步时间 教职工人数 该学校教职工一周徒步的平均时间为______． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是______． 15. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米． （1）求此时消防车的位置与楼房的距离的长； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由． 18. 某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 （1）根据甲组数据，求a，m，b． （2）在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． （3）根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 19. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 20. 项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． （1）请分别写出，与x之间的函数关系式． （2）通过计算说明选择哪家店购买更划算． 21. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A，两点，，直线交直线于点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，连接，过点作交直线于点， ①求证：； ②求点的坐标． 23. 如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求∠的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $