江苏省常州高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末质量检查数学试题

**基本信息** 江苏省常州高级中学高一期末数学试卷，以复数、立体几何、统计等为核心，通过奥运会知识竞赛等情境题，考查数学抽象、几何直观与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数纯虚数、百分位数、圆锥母线长|基础概念辨析，如第1题复数运算| |多项选择|3/18|复数几何意义、三角公式、正方体截面|多维度能力考查，如第11题空间几何综合| |填空|3/15|解三角形、圆台内切球、概率计算|情境化应用，如第14题卡片比赛概率| |解答|5/77|向量函数、三棱柱证明、统计案例、四棱锥综合、三角形角平分线|跨模块综合，如17题结合奥运会数据，19题角平分线推理证明|

江苏省常州高级中学 2025～2026学年第二学期高一年级期末质量检查 数 学 试 卷 命题人：汤宁 审卷人：蒋亚红 2026.6 说明：1.请将答案填写在答卷上. 2. 本卷总分为150分，考试时间为120分钟。 一 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数(a+i)(2+i) 为纯虚数，其中i 是虚数单位，则a=（） A. B. C.-2 D.2 2. 数据1,2,4,5,7,9的第60百分位数为 （） A.4 B.5 C.6 D.7 3. 已知圆锥的底面面积为6π,体积为4π,则其母线长为（） A. B. C. D. 4. 设1,m是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，以下说法正确的是（） ( A. 若 l ⊥ m, m/ / α , 则 l ⊥ α B . 若 1 // β, α ⊥β,则 l ⊥ α )C. 若I⊥m,m⊥β,a⊥β, 则1⊥α D. 若1⊥β,m ⊥β,m⊥α, 则l⊥α 5. 甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为 每局比赛彼 此独立且没有平局，则乙获胜的概率为 ( B )A. （） D. 6. 如图，在矩形ABCD中 ，AB=2AD,E, F 分别为BC,CD 的中点，G为EF中点，则AG= （） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD是矩形，AD=2, DC=1,CD⊥ 平面BCE,BC=EC,BC⊥EC, 则AC与平面ABE所成角的正弦值为 （） B. C. D. 8. 在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知a=, b²+c²-bc=3, 则b-c 的取值范围是（）C. A.(-1,1) B,[-1,1] D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 已知复数 ,其中i是虚数单位，则下列结论正确的有（） A. z 对应的点在第四象限 B.|z|= C.z 的共轭复数为1-i D. z 的虚部为1 10. 下列值为的式子有 （） A.tan95°-tan 35°-tan95°tan 35° B. D 11. 棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，M,N,P 分别为棱C₁D₁,A₁D₁,BC 的中点， Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（） A.平面PMN截正方体表面所得截面为五边形 B.平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 C. 若QB₁与DB₁的夹角为30°,则Q 点的轨迹长度为π D. 若AC₁,B₁D₁ 交于O₁,正方形A₁B₁C₁D₁的四个顶点绕着O₁在上底面逆时针旋转45° 得到一个十面体ABCD-EFGH (如图),则该十面体的体积为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知△ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 若a=2 ,c=2,A=60°, 则角C= 。 13. 已知某圆台的母线长为3,上底面的半径为1,若球0与该圆台的上、下底面及侧面都 相切，则球O 的表面积为_ 14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,3,7, 乙的卡片上分别标有数字2,4,4,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持 有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人 得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用),则四轮 比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx), 函数f(x)=2a·b-1. (1)求函数f(x) 的最小正周期； (2)若、 求 的值. 16.如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面AAC₁C⊥平面ABC, 四边形AA₁C₁C是边长为4 的菱形，∠A₁AC=60°, AC⊥BC, D,E 分别是棱BB₁,A₁C₁ 的中点. (1)证明：AC₁⊥平面A,BC. (2)证明：DE// 平面ABC. 17.某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职 业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知 程度高的有n 人，按年龄分成5组，其中第一组[20,25),第二组[25,30),第三组[30,35), 第四组[35,40)第五组[40,45),得到如图所示的频率分布直方图. ( 个频率/组距 a 0.05 0.04 0.02 o 202530354045 年龄/岁 ) (1)求a 的值，并根据频率分布直方图，估计这n 人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若甲(年龄 36岁),乙(年龄42岁)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随 机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 18. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD,AC 与BD交 于点O. (1)设平面SAB交平面SCD 于直线l, 求证：AB//l; (2)若AB=2,SA=AB , 且M 是棱SD 的中点，点M到平面SAB,平面SBC, 平面ABCD 的距离分别为d₁,d₂,d₃ . 求d₁+d₂+2d₃ 的值； (3)若P,Q 分别是线段SB、线段AC 上的点，且满足, 设PQ 与SC所成的 角为α,PQ 与BD所成的角为β,求sinα+sinβ 的最大值. 19. 已知△ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,∠ACB 的角平分线交AB 于D. (1)若b= 2a , 求 的值； (2)若 证明：∠C= 2∠A (3)若 ,△ABC的三条角平分线相交于点O,AB=7, △OAB的面积为, 求OC. 学科网（北京）股份有限公司 $