精品解析：江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

高一期末质量检测卷·数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（ ） A. 6.5 B. 6 C. 2.5 D. 2 3. 已知空间中不同平面，，，不同直线，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在等腰直角中，，，点为上一动点，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A 若向量，，，满足且，则 B. 若点为中线的交点，则 C. 已知非零向量，，若，则与同向且共线 D. 已知向量，，与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 已知，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，且，则 11. 正方体棱长为6，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线平面 C. 三棱锥的体积为9 D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 13. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 14. 在矩形中，，，分别是，的中点，将面沿翻折形成三棱柱，使得平面与平面所成的角为，且．则与平面所成角的正弦值为________；三棱柱所在外接球的表面积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15 如图所示，平面平面，平面平面，平面平面，点平面，且平面，平面． （1）证明：直线直线； （2）若直线直线，证明：直线直线． 16. 已知，，. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． （1）求小队猜对3个谜题的概率； （2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 18. 如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求二面角的正切值． 19. 我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． （1）求壁画最高点与点的距离； （2）若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末质量检测卷·数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及模的计算公式即可求解． 【详解】，则， 故选：B． 2. 已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（ ） A. 6.5 B. 6 C. 2.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求该组数据的上四分位数，即求第百分位数即可. 【详解】因为，所以找第六个和第七个数的平均数，即. 故选：A 3. 已知空间中不同平面，，，不同直线，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可． 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若,，则，结合，则，故C正确； 对于D，若，，，则不一定成立，还可能相交，故D错误； 故选：D． 4. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，求出的长，即可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，则也为的中点，如下图所示： 在直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体， 又因为，且，则， 因为，，所以， 故， 因为四边形为矩形，则， 所以异面直线与所成角为或其补角， 且， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 5. 已知向量，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及投影向量的定义可求出在上投影向量的坐标. 【详解】因为向量，， 则在上投影向量为. 故选：C. 6. 在等腰直角中，，，点为上一动点，则值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】设， 则 ， 故选：B． 7. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 8. 在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若向量，，，满足且，则 B. 若点为中线的交点，则 C. 已知非零向量，，若，则与同向且共线 D. 已知向量，，与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用重心的性质即可得到结果；对于C：利用向量共线的充要条件即可得到；对于D：利用夹角为锐角排除夹角为0的情况即可. 【详解】对于A：当向量都与垂直时，满足，当时与不一定相等，故A错误； 对于B：若点为中线的交点，则点为的重心， 延长AC与BC交于点M，则M为BC的中点，所以, 所以得到，故B正确； 对于C：设与的夹角为，因为,两边同时平方得：， 所以，所以与同向且共线，故C正确； 对于D：因为向量，,得 ，与的夹角为锐角， 所以,解得：且，故D错误； 故选：BC 10. 已知，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用复数的平方等于复数模的平方，即可求得结果； 对于C、D设出复数，，利用复数的运算即可求得结果. 【详解】对于A：若，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，故，故选项B正确； 对于C：设，因为，得到， 故或，若，则，解得：，故， 同理若，得，故C正确； 对于D：设则，由， 所以，故，故D正确； 故选:BCD 11. 正方体的棱长为6，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线平面 C. 三棱锥的体积为9 D. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平行四边形及正方形的性质可判断A；由面面平行的性质可判断B；由三棱锥的体积公式可判断C；作出截面，即可判断D． 【详解】 对于A，连接，则四边形为平行四边形，所以， 因为，分别为，的中点，所以， 由四边形正方形得，所以， 所以，故A正确； 对于B，取中点，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，如图，连接，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以四点共面， 所以平面截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可． 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 13. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 14. 在矩形中，，，分别是，的中点，将面沿翻折形成三棱柱，使得平面与平面所成的角为，且．则与平面所成角的正弦值为________；三棱柱所在外接球的表面积为________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】过点作于点，连接，由线面夹角的定义得出平面角即可求解与平面所成角的正弦值；设三棱柱所在外接球球心为，外接圆圆心为，连接，则为的中点，平面，连接，由勾股定理求得外接球半径，根据球表面积公式即可求解． 【详解】过点作于点，连接，如图所示， 由题可知，为等边三角形，则，， 由三棱柱得，平面，， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以与平面所成角即为， 又平面，所以， 在中，； 设三棱柱所在外接球球心为，外接圆圆心为，连接，则为的中点，平面，，连接， 因为平面，所以， 在中，， 所以三棱柱所在外接球的表面积为 故答案： ，． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，平面平面，平面平面，平面平面，点平面，且平面，平面． （1）证明：直线直线； （2）若直线直线，证明：直线直线． 【答案】（1）证明见解 （2）证明见解 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质及判定即可证明； （2）由线面平行的判定及性质即可证明． 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 同理可得，又平面， 所以平面，又平面，所以直线直线． 【小问2详解】 证明：因为直线直线，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以直线直线． 16. 已知，，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值； （2）求出，分、两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式即可求出的值. 【小问1详解】 因为，则， 因为，则， 所以， ， 因此，. 【小问2详解】 因为，，所以， 若，则， 此时 ，合乎题意； 若，则， 此时 ，合乎题意. 综上所述，或. 17. 甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． （1）求小队猜对3个谜题的概率； （2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）． 【小问1详解】 小队猜对3个谜题共有2种情况，①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个， 所以小队猜对3个谜题的概率为． 【小问2详解】 甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个； 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为． 18. 如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定即可证明； （2）过点作，垂足为，由线面垂直的性质及判定得出为四棱锥的高，再根据四棱锥体积公式即可求解； （3）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【小问1详解】 因为，分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 因为平面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以，则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以四棱锥的体积； 【小问3详解】 连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 由（2）知，为等边三角形，则点为中点，， 在中，， 在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 19. 我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． （1）求壁画最高点与点的距离； （2）若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 【答案】（1）7 （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，列出方程即可求解； （2）设，，由正弦定理列出方程即可求解；设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 在中，，所以， 在中，， 因为， 所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． 【小问2详解】 ①设，， 在中，，则， 中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点处观察壁画，才能使得仰角差最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$