精品解析：天津市南开中学2024-2025学年高一下学期质量监测（二）数学试卷

南开中学2024-2025学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 时间：100分钟 第I卷（满分32分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分） 1. 已知向量，，，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的分位数为（ ） A. 92 B. 93.5 C. 95 D. 96 3. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （ ） A. B. C. D. 4. 在投掷一枚质地均匀骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 5. 已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为80分 D. 满意度计分的第一四分位数约为70分 7. 如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到三棱锥，设，点分别为棱，的中点，为线段上的动点，则下列命题： ①在翻折过程中，存在某个位置使得； ①若，则与平面所成角的正切值为； ③三棱锥体积最大值为2； ④当时，的最小值为. 其中正确命题的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（满分68分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分） 9. 已知虚数单位，_______________. 10. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 11. 投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________. 12. 如图，是底部不可能达到一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高__________. 13. 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 14. 已知圆的半径为1，点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点为和，则的最小值为__________________. 三、解答题（本题共3小题） 15. 在中，角的对边分别为.已知，，. （1）求的值； （2）点在线段上，且，求的长； （3）求的值. 16. 如图，在四棱柱中，是一个直角梯形，，，，点为中点，平面，且.点分别为和中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 17. 如图，在平行六面体中，，，为的中点. （1）若平面，求的值； （2）当时，求平面和平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南开中学2024-2025学年度第二学期质量监测（二） 高一数学试卷 时间：100分钟 第I卷（满分32分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分） 1. 已知向量，，，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】解：因为，， 所以， 因为，所以，即，解得. 故选：A 2. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的分位数为（ ） A. 92 B. 93.5 C. 95 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】，则这组数据的分位数为95. 故选：C. 3. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出所有情况种数后计算出符合要求的情况种数即可得. 【详解】设这 5 个项目对应的编号分别为、、、、， 则从五个项目中选三个的情况有：、、、、、、 、、、，共种情况； 其中有“整地做畦”或者有“旱地播种”有、、、、、 、、、，共种情况； 则甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”或者有“旱地播种”的概率为. 故选：D. 4. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 5. 已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 若，，，则或者异面，故A错误， 对于B, 若，，则或者，故B错误， 对于C, 若，，则或者，相交，故C错误， 对于D, 若，，，则,D正确， 故选：D 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为80分 D. 满意度计分的第一四分位数约为70分 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又， 解得，故A正确； 对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第一四分位数约为70分，故D正确. 故选：C. 7. 如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理即可判断①；根据三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积即可判断②；如图，作出过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为，再计算的面积即可判断③；当D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧，计算弧长即可判断④. 【详解】对于①，如图，由点R，P分别为中点，得． 又平面，平面，所以平面，故①正确； 对于②，由题意可知， 设点到平面的距离为d，平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离． 又，所以， 所以，为定值，故②正确； 对于③，连接并延长交于点S，连接， 则过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为． 因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以， 取的中点N，连接，则点Q为的中点， 又点R为的中点，所以，， 又点M为的中点，所以， 所以，所以，所以， 所以，故，故③错误； 对于④，由题可知，点D的轨迹是以为轴（其中B为顶点）， 母线与轴所成角为的圆锥的底面圆周与正三棱柱的上表面的交线． 所以，所以， 所以D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点D在上运动的轨迹长度为，故④正确； 故选：C． 8. 如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到三棱锥，设，点分别为棱，的中点，为线段上的动点，则下列命题： ①在翻折过程中，存在某个位置使得； ①若，则与平面所成角的正切值为； ③三棱锥体积的最大值为2； ④当时，的最小值为. 其中正确命题的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可判断①；连接，证明平面，则即为与平面所成角的平面角，即可判断②，根据三棱锥体积公式，找底面面积和点到平面距离，当面面垂直时最大，算出体积最大值，即可判断③；把与沿展开到同一平面，用余弦定理算（即最小值），判断是否符合给定值，即可判断④. 【详解】对①，当平面与平面垂直时， ，平面与平面的交线为，平面, 平面，又平面， ，，故①正确； 对②，连接， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点， 所以， 又平面， 所以平面， 则即为与平面所成角的平面角， 在中，，则， ， 所以， 即与平面所成角的正切值为，故②错误； 对③，三棱锥的体积（为点到平面的距离）， . 当平面平面时，最大，的最大值为， 此时，所以三棱锥体积的最大值为，故③正确； 对④，当时，因为为的中点， 所以，则， 又因为中点，所以， 又，所以， 所以， 如图将沿旋转，使其与在同一平面内， 则当三点共线时，最小， 即的最小值为， 在中，， 则， 所以， 所以的最小值为，故④错误. 故选：B. 第II卷（满分68分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分） 9. 已知是虚数单位，_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得，进而可求模. 【详解】. 故答案为：. 10. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为 向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 11. 投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 1篇稿件被录用分为两种情况:（1）稿件通过了两位初审专家；（2）稿件通过了一位初审专家，也通过了复审专家.分别对求解两种情况的概率，再对两种情况的概率求和即可。 【详解】记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用,则 ， 所以. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查事件概率的计算,考查互斥事件和相互独立事件在求解概率中的应用,难度一般. 12. 如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助正切定义可得，，计算即可得解. 【详解】由题意可得，， 故，，则， 故， 故. 故答案为：. 13. 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的体积． 【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 故答案为：． 14. 已知圆半径为1，点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点为和，则的最小值为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、二倍角公式列式，再利用基本不等式求解即可得. 【详解】设，， 由切线性质可得、，则， ； 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 三、解答题（本题共3小题） 15. 在中，角的对边分别为.已知，，. （1）求的值； （2）点在线段上，且，求的长； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）由题意可得，两边平方可求解； （3）由正余弦定理可得，可求得，进而利用两角差的正余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，，所以由余弦定理得.， 所以，解得或（舍去）； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理得，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以 . 16. 如图，在四棱柱中，是一个直角梯形，，，，点为中点，平面，且.点分别为和中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明平面，平面，可证明平面平面，利用面面平行的性质可证结论； （2）平面和平面的夹角等于平面和平面夹角，过作于，连接，可得为平面和平面的夹角，求解即可； （3）可证明平面，进而可求三棱锥的体积. 【小问1详解】 连接， 因为点为中点，.点为的中点，所以.且. 所以是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为是一个直角梯形，，，点为中点， 所以.且. 所以是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又.，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 【小问2详解】 由（1）知平面平面， 所以平面和平面的夹角等于平面和平面夹角， 因为平面，又，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，又， 所以平面，过作于，连接， 又因为平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为平面和平面的夹角， 因为，所以，在中，可得， 又因为，所以， 解得，又因为，在中，， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值以； 【小问3详解】 因为点为的中点，所以.且. 所以是平行四边形，所以，且， 又，且，所以， 所以平面，从而平面， 又平面，平面，所以，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为. 17. 如图，在平行六面体中，，，为的中点. （1）若平面，求的值； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合空间向量数量积可求得； （2）当时，可得，，可证平面，连接交于，过作于，连接，可得是平面和平面的夹角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 若平面，又平面，所以，所以， 所以，又，， 所以 ，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 当时，由（1）可得，同理可得， 所以，，所以， 又，平面，所以平面， 连接交于，过作于，连接 因为四边形是平行四边形， 则是的中点，所以，所以平面， 又平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以是平面和平面的夹角的平面角， 因为，所以是等边三角形，所以， 所以的高为，所以， 又 ， 所以，在中，， 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$