湖北某地区2025-2026学年下学期期末质量监测高一数学试题

2026年春季高一期末试卷答案 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为（   ） A．5，8 B．6，8 C．5，7 D．6，7 【答案】A 这6个数据的平均数为：； 这6个数中，最大值为10，最小值为2，所以这组数据的极差为：. 故选：A 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 3．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，且m，，则 B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 4．如图，圆为的外接圆，，AC=10，为边的中点，则（   ） A．13 B．34 C．20 D．25 【答案】B 因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，， 所以. 取边中点，连接，则，所以. 所以 . 同理可得，50. 所以. 5．已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D ，，， ． 故选：D. 6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D ，因为分别为的中点， 所以，，且， 则 ， 所以， 即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为. 故选：D 7．设、、、是同一个半径为5的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 不妨设，设，则，所以， 设的外接圆的圆心为，半径为，则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为. 故选：C． 8．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为2，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为2，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（   ） A．最大值为2 B．的图象关于对称 C． 函数为偶函数 D． 函数上单调递增 【答案】ACD 由，利用伸缩变换得到，再逐项判断. 则的最大值为2，故A正确； 因为，所以的图象不关于对称，故B错误； 因为，所以函数为偶函数，故C正确； 因为，所以， 单调递增，故D正确； 故选：ACD 10．一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD 对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数为， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们的平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 11．已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（    ） A．若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的外心 B．若，垂足为，则为的垂心 C．若，则为的内心 D．若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 【答案】ABD 因为为在底面的射影， 所以平面， 所以与底面所成的角为，与底面所成的角为， 与底面所成的角为， 因为平面，平面， 所以，，， 所以都是直角三角形， 对于A，由已知可得，，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，A正确； 对于B，因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，平面， 所以， 同理可证，， 所以为的垂心，B 正确； 对于C，因为都是直角三角形，又，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，C错误； 对于D，设棱的中点分别为， 则，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，又， 所以四边形为矩形，所以， 因为点为的中点，点为的中点，所以，又， 所以，同理可证，， 所以三棱锥三组相对的棱互相垂直，D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．我市某所高中，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，则应抽取一年级的人数为______． 【答案】150 由题意可得应抽取一年级的人数为. 故答案为：150 13．在中，角，，的对边分别是，，，若，3，则的面积的最大值为______. 【答案】 ，即，，故. 根据余弦定理：，即. 当时等号成立，故. 故答案为：. 14．设正方体的棱长为2，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 【答案】 因为与平面成的角， 故在为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去）， 而在正方体表面上且由正方体的性质有， 故的轨迹为线段和个圆（）， 故点轨迹的长度为， 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分. 15．（本小题共13分）复数z的共轭复数为，i为虚数单位． (1)若是关于z的实系数一元二次方程的一根，求实数a，b的值； (2)若，求复数z． （1）法一：由已知有方程的两根为.....（2分） 由根与系数的关系得.....（4分） .....（6分） 法二：由已知有，.....（2分） 由复数的相等得，.....（4分） ......（6分） （2）设，，.....（7分） ，.....（9分） 由复数的相等有，.....（11分） 解得......（13分） 16．（本小题共15分）单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；(2) （1）因为，，......（2分） 所以，即，则，......（4分） 所以，即与夹角的余弦值......（6分） （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线，......（8分） 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得，......（10分） 所以当与不共线时，，......（12分） 由，得， 即，解得，......（14分） 所以且，即实数的取值范围为......（15分） 17．（本小题共15分）为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市教育局举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组： ，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第50百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 和，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 【答案】(1) (2)75 (3) （1）解：根据频率分布直方图的性质，可得， 解得......（3分） （2）解：由频率分布直方图得，前3组数的频率为， 前4组数的频率为，......（5分） 因此第50百分位数在第4组即区间上， 设第50百分位数为m，则满足，解得......（8分） （3）解：样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，......（10分） 所以，......（12分） 又由，解得．.....（15分） 18．（本小题共17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角和； (2)已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1)， (2)①；②当，的面积取最小值 （1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又， 所以；......（2分） 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则；.....（4分） （2）①由（1）可知，......（5分） 因为，由正弦定理，所以，，......（6分） 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以，......（7分） ∵，∴， ∴，......（8分） ∴的周长为......（9分） ②设， 在中，， 由正弦定理，得，......（11分） 又在中，由正弦定理可得，得，......（13分） 所以 ，......（15分） 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.....（17分） 19．（本小题共17分）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且．    (1)若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； (2)恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上； (3)在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． （1）解：因为在底面为菱形直四棱柱中， 可得且平面，平面， 所以且， 又因为，所以，........（2分） 由直四棱柱的底面为菱形，所以底面为正方形， 因为，所以为正方体，可得， 所以为异面直线与所成角，........（3分） 又因为为上底面的中心，所以. .......（5分） （2）证明：由于是二面角的平面角，则， 因为，平面，平面，所以面， 又因为面，所以，.........（6分） 因为直四棱柱，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为在直四棱柱中，可得平面，........（7分） 因为面，则， 又因为，且平面，所以面，........（8分） 由平面且平面， 又由平面与面有公共直线，可得平面与面重合，........（9分） 所以点M在面内，又点M在面内，所以面， 所以点M在上．.......（10分） （3）解：因为，由（1）知底面为正方形且为长方体， 又因为，所以，所以， 因为点M在上，故点M为的中点，所以点M为上底面中心，.......（12分） 过M作交于K，交于L，则K为的中点，L为的中点， 作交于P点， 因为，且，则， 又因为，平面，平面，所以平面， 则直线与平面所成角........（13分） 设，则 因为，所以 所以，........（15分） 当且仅当时，等号成立，........（16分） 故直线与平面所成角的正弦值的最大值是．    ........（17分）                    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期末质量监测 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，10，5，6，4，2，则这组数据的平均数和极差分别为（ ） A．5，8 B．6，8 C．5，7 D．6，7 2．在中，，，，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若，，且，，则 B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C．若，，则 D．若，，则 4．如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A．13 B．34 C．20 D．25 5．已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为60°，则圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．设、、、是同一个半径为5的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为16，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为2，则（ ） A．2 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9．已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A．最大值为2 B．的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数在上单调递增 10．一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（ ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 11．已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A．若三条侧棱，，与底面所成角均相等，则为的外心 B．若，，，垂足为，则为的垂心 C．若，则为的内心 D．若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．我市某所高中，其中一、二、三年级的人数比为5∶4∶3，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，则应抽取一年级的人数为__________． 13．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为__________． 14．设正方体的棱长为2，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为__________． 四、本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演绎步骤． 15．（本小题共13分）复数的共轭复数为，为虚数单位． （1）若是关于的实系数一元二次方程的一根，求实数，的值； （2）若，求复数． 16．（本小题共15分） 单位向量，满足． （1）求与夹角的余弦值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．（本小题共15分）为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市高中举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，和，，，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 18．（本小题共17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且． ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 19．（本小题共17分）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，、是直四棱柱上底面内相异的两点且． （1）若为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； （2）恰好是二面角的平面角，证明：点在定直线上； （3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $