数字特征量均值、百分位数、方差（精练）——2026年高中数学高一下学期期末复习

数字特征量均值、百分位数、方差（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 用均值、中位数、百分位数、方差、标准差、极差这六类数字特征，定量描述一组数据的两大核心属性：集中趋势 + 离散波动程度；同时考查数据变换、图表转化下特征量的变化规律与估算方法。 2、通用公式 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn ①平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn) ②方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． ③极差：最大值 - 最小值，数据平移极差不变，剔除最值极差缩小； ④众数：出现次数最多的数据；直方图最高矩形中点； ⑤频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 众数：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. 中位数：中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. 平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 3. 解题步骤 ①计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 4.高频考法 ①平均数、方差的公式推广：若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a；若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. ②增加、剔除一个数据： 剔除最大值 、最小值，极差变小，数据更集中，标准差、方差变小；剔除中间普通数，极差不变；剔除等于平均数的数据，剩余数据波动变大，方差一定增大；奇数个数据删 1 个，中位数一定改变。 ③混淆四分位数：上四分位数 = 75% 分位数，下四分位数 = 25% 分位数。 【例1】（多选）（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A错误；对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，例如：，则平均数，标准差， ，则平均数，标准差，显然，即；故C错误；对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 【变式1-1】 （多选）已知一组样本数据，现有一组新的数据，，则与原样本数据相比，新的样本数据（    ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 【答案】ACD 【解析】对于A项，新数据的总数为：，与原数据总数一样，且数据数量不变都是，故平均数不变，A正确；对于B项，不妨设原数据为：，则新数据为：，显然中位数变了，故B错误；对于C项，原数据极差为：，新数据极差为：，，极差变小了，故C正确；对于D项，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，故方差变小，即D项正确. 【变式1-2】（多选） 两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】根据平均数与方差的性质，易知A、C正确，B、D错误， 故选：AC． 【变式1-3】（多选）有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（    ） A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D．若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 【答案】ABC 【解析】不妨设原数据，新数据， A：例如原数据为，新数据为，此时极差均为，故A正确； B：原数据中位数为，新数据中位数为，可知或， 若，可得；若，可得； 综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B正确； C：若，可知去掉的数据为，则，可得， 所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C正确； D：若，可知去掉的数据为， 因为，可知原数据的分位数为第3位数， ，可知新数据的分位数为第2位数与第3位数的平均数， 例如原数据为，新数据为， 此时新数据的分位数、原数据的分位数均为3，故D错误； 【例2】若样本数据的方差为，则的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为样本数据的方差为，所以的方差. 【变式2-1】 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．3，4 B．3，8 C．2，4 D．2，8 【答案】B 【解析】由题知，， ， ． 另一组数据的平均数 ， 另一组数据的方差 ． 【变式2-2】若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 【答案】 【解析】因为数据的中位数为16，方差为64， 所以数据的中位数为4，方差为， 所以数据的中位数为，方差为4. 【例3】（2024年新课标1）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 【变式3-1】（多选）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 4 5 8 3 频数 5 3 9 3 则下列说法正确的有（ ） A. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 【答案】AC 【解析】由题意可得甲的成绩的中位数为9，平均数为， 方差为，极差为3； 乙的成绩的中位数为9，平均数为， 方差为，极差为3. 故甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数、甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数、甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差、甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差. 故AC正确，BD错误. 故选：AC 【变式3-2】（多选）（2024年长春一模）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（    ）    A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【答案】ABC 【解析】对于A，由饼图可知，平均数为：故A正确；对于B，，故中位数在这一组，设中位数为，则，解得，故B正确；对于C，，故第40百分位数在这一组，设第40百分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，上四分位数即第75百分位数，，故第75百分位数在这一组，设第75百分位数为，则，解得，故D错误； 【例4】（2026·新高考Ⅱ卷高考真题第15题节选）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： （1） 求第一四分位数和中位数；（2）设为首次故障时间小于365天的概率估计值，求。 【答案】（1）370 ；381 （2）0.15 【解析】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为，故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为，的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故 【变式4-1】（多选） 海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示. 记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ） A. 乙试验区产量频率分布直方图中， B. 甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数 C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D. 甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数 【答案】AC 【解析】对于A，记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则， 解得，A正确； 对于B，甲试验区产量的众数为，乙试验区产量的众数为， 甲试验区产量的众数小于乙试验区产量的众数，B错误； 对于C，甲试验区产量的平均数为 乙试验区产量的平均数为 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，C正确； 对于D，设甲试验区产量的75%分位数为，则， 解得 设乙试验区产量的中位数为，则，解得 甲试验区产量的75%分位数小于乙试验区产量的中位数，D错误； 故选：AC. 【变式4-2】（多选）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（    ）    A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 【答案】BD 【解析】对于选项A：甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，故A错误； 对于选项B：根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，B正确； 对于选项C：甲的数据平局分布，乙的数据分布波动较大，故甲的方差小于乙的方差，故C错误； 对于选项D：对于甲，各组频率依次为：，因为前两组频率之和，前三组频率之和，故中位数位于[3.5,4.5)之间； 同理，对于乙，各组频率依次为：，前三组频率之和，前四组频率之和，故中位数位于[5.5,6.5)之间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确. 【变式4-3】（多选）某学校举行消防安全意识培训，并在培训前后对培训人员进行消防安全意识问卷测试，所得分数（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，则（    ） A．培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数 B．培训前得分的中位数大于培训后得分的中位数 C．培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数 D．培训前得分的平均数大于培训后得分的平均数 【答案】AC 【解析】由频率分布直方图可知：两个频率直方图均为单峰。且培训前直方图在右侧拖尾，培训后直方图在左侧拖尾，可知培训前的中位数小于75，培训后的中位数大于75，所以培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数，故A正确，B错误；设培训前每组的频率依次，则培训后每组的频率依次为，则培训前平均数估计为， 培训后平均数估计为，则，可得，即培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数，故C正确，D错误； 【巩固加练】 1．（多选）已知一组数据 的平均数为 ,将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据 ,则新数据与原数据相比 A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 【答案】 【解析】极差为最大值与最小值的差, 极差相同, 选项 A 正确; 原数据的平均数 ,新数据的平均数 平均数不同, 选项 正确; 原数据的方差 ,新数据的方差 方差相同， 选项 C 错误； 中位数显然不同, 选项 D 错误. 故选：AB 2．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　) A．s1>s2>s3 B．s1>s3>s2 C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1 【答案】　B 【解析】比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间．综上可知s1>s3>s2. 3.某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） 【答案】(1) (2)72分 【解析】（1）由题意，解得， (2)成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． 4．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值； (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数． 【答案】(1)见详解 (2)a＝0.001 5，b＝0.002 0 (3)375千瓦时 【解析】(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200＜x≤400时， y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x＞400时， y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ (2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. (3)因为用电量低于300千瓦时的所占比例为 (0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%， 用电量低于400千瓦时的占80%， 所以75%分位数在[300,400)内， 所以300＋×100＝375，即用电量的75%分位数为375千瓦时。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数字特征量均值、百分位数、方差（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 用均值、中位数、百分位数、方差、标准差、极差这六类数字特征，定量描述一组数据的两大核心属性：集中趋势 + 离散波动程度；同时考查数据变换、图表转化下特征量的变化规律与估算方法。 2、通用公式 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn ①平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn) ②方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． ③极差：最大值 - 最小值，数据平移极差不变，剔除最值极差缩小； ④众数：出现次数最多的数据；直方图最高矩形中点； ⑤频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 众数：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. 中位数：中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. 平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 3. 解题步骤 ①计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 4.高频考法 ①平均数、方差的公式推广：若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a；若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. ②增加、剔除一个数据： 剔除最大值 、最小值，极差变小，数据更集中，标准差、方差变小；剔除中间普通数，极差不变；剔除等于平均数的数据，剩余数据波动变大，方差一定增大；奇数个数据删 1 个，中位数一定改变。 ③混淆四分位数：上四分位数 = 75% 分位数，下四分位数 = 25% 分位数。 【例1】（多选）（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第9题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【变式1-1】 （多选）已知一组样本数据，现有一组新的数据，，则与原样本数据相比，新的样本数据（    ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 【变式1-2】（多选） 两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（多选）有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（    ） A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D．若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 【例2】若样本数据的方差为，则的方差为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（    ） A．3，4 B．3，8 C．2，4 D．2，8 【变式2-2】若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 【例3】（2024年新课标1）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【变式3-1】（多选）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 4 5 8 3 频数 5 3 9 3 则下列说法正确的有（ ） A. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 【变式3-2】（多选）（2024年长春一模）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（    ）    A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【例4】（2026·新高考Ⅱ卷高考真题第15题节选）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图： （1） 求第一四分位数和中位数； （2）设为首次故障时间小于365天的概率估计值，求。 【变式4-1】（多选） 海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示. 记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ） A. 乙试验区产量频率分布直方图中， B. 甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数 C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D. 甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数 【变式4-2】（多选）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（    ）    A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 【变式4-3】（多选）某学校举行消防安全意识培训，并在培训前后对培训人员进行消防安全意识问卷测试，所得分数（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，则（    ） A．培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数 B．培训前得分的中位数大于培训后得分的中位数 C．培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数 D．培训前得分的平均数大于培训后得分的平均数 【巩固加练】 1．（多选）已知一组数据 的平均数为 ,将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据 ,则新数据与原数据相比 A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 2．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　) A．s1>s2>s3 B．s1>s3>s2 C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1 3.某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） 4．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值； (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $