期末复习：平均数与方差的和差倍分性质、分层样本的平均数与方差复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：平均数与方差的和差倍分性质、分层样本的平均数与方差复习讲义 期末复习：平均数与方差的和差倍分性质、分层样本的平均数与方差复习讲义 考点目录 平均数与方差的和差倍分性质 分层样本的平均数与方差 考点一 平均数与方差的和差倍分性质 【知识点解析】 一、核心知识点 设一组数据 ，平均数为 ，方差为 。 若做线性变换：新数据 （ 为常数） 1. 平均数性质： 1. 方差性质： 1. 标准差： 补充简单结论： ① 只加常数（）：平均值改变，方差不变； ② 只乘倍数（）：平均值扩大 倍，方差扩大 倍； ③ 加减常数不会改变数据波动，方差保持不变。 二、解题原理 1. 看清数据的变换形式，区分线性伸缩和平移； 1. 平均值严格按照一次函数 计算； 1. 方差只看缩放系数 ，一定要平方，常数 对方差没有任何影响； 1. 已知新数据的均值、方差反向求原始数据，逆用公式变形计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 例2．（25-26高一下·山东·阶段检测）已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．方差不变 C．极差变大 D．中位数不变 【答案】B 【分析】求出新数据的平均数，即可判断A；求出新数据的方差即可判断B；求出两组数据的极差，即可判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，设新数据的平均数为， 则，故A错误； 对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为， 则 ，故B正确； 对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为； 则新数据中最大的数为，最小的数为， 则新数据的极差为，即极差不变，故C错误； 对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2； 则新数据为3，4，5，中位数为4， 所以两组数据的中位数不等，故D错误. 例3．（25-26高一下·吉林四平·月考）若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 【答案】10，12 【分析】利用平均数、方差的性质可得答案. 【详解】若一组数据的平均数为4，方差为3， 则数据的平均数和方差分别是. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为___________. 【答案】14 【分析】根据数据的平均数的性质以及计算公式，即可求得答案. 【详解】由于样本数据的平均数为8，故， 的平均数为， 则， 故数据，的平均数为， 故答案为：14 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·甘肃金昌·阶段检测）已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（   ） A．5 B．7 C．17 D．25 【答案】C 【详解】，所以，，…，的平均数为 . 变式2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 【答案】C 【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断. 【详解】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 变式3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 【答案】 10 18 【分析】根据平均数及方差的计算公式计算即可得解. 【详解】由题意知， . 所以 . . 变式4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 【答案】 【分析】若一组数据的，，，的平均数为，则，，，的平均数为，利用此公式求解. 【详解】设一组数据的，，，的平均数为，则， 则，，，的平均数为. 考点二 分层样本的平均数与方差 【知识点解析】 一、核心知识点 设分为两组样本： 第一组：数量 ，均值 ，方差 第二组：数量 ，均值 ，方差 总样本容量 1. 整体加权平均数 1. 合并后的总方差 总方差 = 组内平均方差 + 组间均值差带来的波动 二、解题原理 1. 求总平均数：严格使用加权平均，以各组样本个数作为权重，不能直接取两个平均数的算术平均； 1. 求合并方差：不能直接对两组方差加权平均，必须额外加上两组平均值与总平均值的偏差项； 1. 分步计算顺序：先算整体平均值，再代入公式计算总方差； 1. 多层分组：逐层合并，先合并前两组，再和第三组继续合并计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东枣庄·阶段检测）某次物理竞赛，得分在的有15人，他们的平均分为128，方差为得分在的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在的平均分与方差为（    ） A．130，16.625 B．131，17.875 C．131，16.625 D．130，17.875 【答案】C 【分析】利用加权平均数公式和分组数据合并方差公式即可得解. 【详解】由题意代入数据，可得， . 例2．（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 【答案】B 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 【答案】10.8 【分析】根据已知条件先求出全班的数学均分，代入方差公式求解即可. 【详解】解：设男生平均分为，男生的方差为；女生的平均分为，女生的方差为， 则全班50个学生的数学平均分， 所以全班50个学生数学成绩的方差， 代入数据可得， 因此，全班50个学生的数学成绩的方差为. 例4．（25-26高一下·广东广州·月考）为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数______，高三年级学生的样本方差______. 【答案】 4 1.5 【分析】分别由总样本的平均数公式和总样本方差公式求解即可. 【详解】由题意得高中三个年级学生的总样本平均数为4.1， 可得，解得； 因为总样本方差为3.14， 所以， 解得. 故答案为：4；1.5. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·月考）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（    ） A．120分，75 B．120分，20 C．115分，65 D．115分，140 【答案】D 【详解】因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为分， 该公司成绩的方差为. 变式2．（25-26高三上·云南昭通·期末）某社区有青年100人，老年人100人.为调查该社区全体居民每月零花钱情况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月零花钱均值为600元，方差为100，老年人每月零花钱均值为400元，方差为100.若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ） A．11000 B．10101 C．10110 D．10100 【答案】D 【分析】先求得总体的均值，再根据分层抽样的性质求解总体的方差. 【详解】由题意得，总体的均值为， ， 所以总体的方差为： ， ， 故选：D. 变式3．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知个数的平均数为，方差为;现从原个数中剔除这个数，且剔除的这个数的平均数为，方差为，则剩余的个数的方差为___________. 【答案】 【分析】结合分层抽样中平均数和方差的公式，即可求解. 【详解】设个数的平均数为，方差为， 剔除的个数的平均数为，方差为， 剩下的个数的平均数为，方差为， 则，， 由，可知，解得， 由，可知，解得. 变式4．（2026·广东广州·三模）在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 【答案】12 【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平均数与方差的和差倍分性质、分层样本的平均数与方差复习讲义 期末复习：平均数与方差的和差倍分性质、分层样本的平均数与方差复习讲义 考点目录 平均数与方差的和差倍分性质 分层样本的平均数与方差 考点一 平均数与方差的和差倍分性质 【知识点解析】 一、核心知识点 设一组数据 ，平均数为 ，方差为 。 若做线性变换：新数据 （ 为常数） 1. 平均数性质： 1. 方差性质： 1. 标准差： 补充简单结论： ① 只加常数（）：平均值改变，方差不变； ② 只乘倍数（）：平均值扩大 倍，方差扩大 倍； ③ 加减常数不会改变数据波动，方差保持不变。 二、解题原理 1. 看清数据的变换形式，区分线性伸缩和平移； 1. 平均值严格按照一次函数 计算； 1. 方差只看缩放系数 ，一定要平方，常数 对方差没有任何影响； 1. 已知新数据的均值、方差反向求原始数据，逆用公式变形计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 例2．（25-26高一下·山东·阶段检测）已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．方差不变 C．极差变大 D．中位数不变 例3．（25-26高一下·吉林四平·月考）若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 例4．（25-26高三上·山东济南·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为___________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·甘肃金昌·阶段检测）已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（   ） A．5 B．7 C．17 D．25 变式2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 变式3．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 变式4．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 考点二 分层样本的平均数与方差 【知识点解析】 一、核心知识点 设分为两组样本： 第一组：数量 ，均值 ，方差 第二组：数量 ，均值 ，方差 总样本容量 1. 整体加权平均数 1. 合并后的总方差 总方差 = 组内平均方差 + 组间均值差带来的波动 二、解题原理 1. 求总平均数：严格使用加权平均，以各组样本个数作为权重，不能直接取两个平均数的算术平均； 1. 求合并方差：不能直接对两组方差加权平均，必须额外加上两组平均值与总平均值的偏差项； 1. 分步计算顺序：先算整体平均值，再代入公式计算总方差； 1. 多层分组：逐层合并，先合并前两组，再和第三组继续合并计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东枣庄·阶段检测）某次物理竞赛，得分在的有15人，他们的平均分为128，方差为得分在的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在的平均分与方差为（    ） A．130，16.625 B．131，17.875 C．131，16.625 D．130，17.875 例2．（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 例4．（25-26高一下·广东广州·月考）为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数______，高三年级学生的样本方差______. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·月考）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（    ） A．120分，75 B．120分，20 C．115分，65 D．115分，140 变式2．（25-26高三上·云南昭通·期末）某社区有青年100人，老年人100人.为调查该社区全体居民每月零花钱情况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月零花钱均值为600元，方差为100，老年人每月零花钱均值为400元，方差为100.若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为（    ） A．11000 B．10101 C．10110 D．10100 变式3．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知个数的平均数为，方差为;现从原个数中剔除这个数，且剔除的这个数的平均数为，方差为，则剩余的个数的方差为___________. 变式4．（2026·广东广州·三模）在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $