2025-2026学年高一下学期期末复习导学案人教A版必修二古典概型易混肴问题区分（精练）

古典概型易混肴问题区分（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 有限性：一次试验所有可能出现的结果（样本点）总数是有限个； 等可能性：每一个样本点发生的机会完全均等。 2、 通用公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 3. 解题步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)＝. 4.高频考法 (1)区分有放回抽取 vs 无放回抽取 有放回：可重复、有序，总数用分步乘法； 无放回：不可重复，分有序（排列）、无序（组合）。 代表题型：摸球、取灯泡、取数字。 (2)有序与无序的判定 有序：标注(a,b)、先后抽取、分第一次第二次； 无序：一次取出多个、不区分先后； 直接决定总基本事件数计算 【例1】　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． 【变式1-1】 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品． (1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率； (2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率． 【例2】某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名． (1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点； (2)求教师A1被选中的概率； (3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率． 【变式2-1】　“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3】　随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数； (2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率； (3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差. 参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，. 【变式3-1】　第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 【巩固加练】 1.2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻印象．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员对4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的概率为________． 2.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________． 3.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 古典概型易混肴问题区分（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 有限性：一次试验所有可能出现的结果（样本点）总数是有限个； 等可能性：每一个样本点发生的机会完全均等。 2、 通用公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 3. 解题步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)＝. 4.高频考法 (1)区分有放回抽取 vs 无放回抽取 有放回：可重复、有序，总数用分步乘法； 无放回：不可重复，分有序（排列）、无序（组合）。 代表题型：摸球、取灯泡、取数字。 (2)有序与无序的判定 有序：标注(a,b)、先后抽取、分第一次第二次； 无序：一次取出多个、不区分先后； 直接决定总基本事件数计算 【例1】　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【解析】由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球， 样本空间Ω＝{黑1黑2，黑1黑3，黑1白，黑2黑3，黑2白，黑3白}，共有6个样本点，所以n＝6. (2)事件“摸出2个黑球”＝{黑1黑2，黑2黑3，黑1黑3}，共有3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. 【变式1-1】 从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为（a，b），则为正整数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为，共有20个基本事件，分别为，， 记“为正整数”为事件A， 所以事件A包含3个基本事件：， 故其概率为． 故选:A． 【变式1-2】盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品． (1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率； (2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率． 【答案】 【解析】　(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b，第一次取灯泡时有3种等可能的结果，第二次取灯泡时也有3种等可能的结果． 故该试验的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共有9个样本点，连续两次取得正品的样本点个数为4， 所以所求概率为P＝. (2)“从中一次任取2只”得到的样本空间包含的样本点的个数是3，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)(其中(a1，a2)表示一次取出(a1，a2)，“2只都是正品”的事件包含的样本点的个数是1，即(a1，a2)，所以所求概率P＝. 【例2】某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名． (1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点； (2)求教师A1被选中的概率； (3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【解析】　(1)从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为： (A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D)． (2)组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，所以教师A1被选中的概率为P＝. (3)宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个， 所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为P＝＝ 【变式2-1】　“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为. 【例3】　随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数； (2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率； (3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差. 参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，. 【答案】(1)，第80百分位数为 (2) (3) 【解析】（1），. . ， 第80百分位数在区间中 设第80百分位数为，则， ，所以第80百分位数为. （2）由题知，区间的频率比为，，， 则在区间抽取2人，记为，在区间抽取4人，记为， 从这6人中抽取两人座谈，样本空间如下： ，共15个样本点， 设“至少有一人竞赛成绩在内”为事件， 事件，所以， 所以至少有一人竞赛成绩在内的概率为. （3）区间的频率比为， ， . 【变式3-1】　第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.    (1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1） (2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率. 【答案】(1)，，众数为70，中位数为. (2) 【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得， ， 众数为70， 因为前2组的频率和为，前3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为，则 ，解得， 所以中位数为. （2）记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有： 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签，共有10种情况， 其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签； 未中签，中签；未中签，中签，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为. 【巩固加练】 1.2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻印象．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员对4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的概率为________． 【答案】　 【解析】　记女领诵分别为m1，m2，男领诵分别为b1，b2，则样本空间Ω＝{(m1，m2，b1，b2)，(m1，m2，b2，b1)，(m1，b1，m2，b2)，(m1，b1，b2，m2)，(m1，b2，b1，m2)，(m1，b2，m2，b1)，(m2，m1，b1，b2)，(m2，m1，b2，b1)，(m2，b1，m1，b2)，(m2，b1，b2，m1)，(m2，b2，b1，m1)，(m2，b2，m1，b1)，(b1，b2，m1，m2)，(b1，b2，m2，m1)，(b1，m1，b2，m2)，(b1，m1，m2，b2)，(b1，m2，m1，b2)，(b1，m2，b2，m1)，(b2，b1，m1，m2)，(b2，b1，m2，m1)，(b2，m1，b1，m2)，(b2，m1，m2，b1)，(b2，m2，b1，m1)，(b2，m2，m1，b1)}，共有24个样本点， 其中，两名女领诵相邻＝{(m1，m2，b1，b2)，(m1，m2，b2，b1)，(m2，m1，b1，b2)，(m2，m1，b2，b1)，(b1，b2，m1，m2)，(b1，b2，m2，m1)，(b1，m1，m2，b2)，(b1，m2，m1，b2)，(b2，b1，m1，m2)，(b2，b1，m2，m1)，(b2，m1，m2，b1)，(b2，m2，m1，b1)}， 故所求的概率P＝＝. 2.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________． 【答案】　　 【解析】从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝.从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)共4个，故概率P＝. 3.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是多少？ 【答案】　 【解析】　由题意可知小青蛙三次跳动后的所有情况有(3→1→3→1)，(3→1→3→2)，(3→1→3→4)，(3→1→3→5)，(3→2→3→2)，(3→2→3→1)，(3→2→3→4)，(3→2→3→5)，(3→4→3→4)，(3→4→3→1)，(3→4→3→2)，(3→4→3→5)，(3→5→3→5)，(3→5→3→1)，(3→5→3→2)，(3→5→3→4)，共16种． 满足题意的有(3→1→3→5)，(3→2→3→5)，(3→4→3→5)，共3种．由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $