1.导学案 07 第8章 专题突破课四 与球有关的内接、外切问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破课四　与球有关的内接、外切问题 　　与球有关的内接、外切问题是本单元的难点,也是考试的热点,命题方向主要集中于多面体与球的内接与外切.研究好多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,确定球心是解决这类问题的关键.解决问题的方法常用以下四种:(1)直接法;(2)构造法;(3)截面法;(4)等积法. 返回 类型1直接法 【典例1】一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱 柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,一个底面的周长为3,则 这个球的体积为　　　　　.  【解析】设正六棱柱的底面边长为x,高为h, 则有解得 所以正六棱柱的底面外接圆的半径r=, 返回 球心到底面的距离d=. 所以外接球的半径R==1. 所以V球=. 答案: 返回 【总结升华】 (1)对于直棱柱、正棱锥可以直接找它们外接球球心,即找点O,使点O与几何体各顶点的距离相等. (2)正棱锥的外接球球心在底面的垂线上,直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 返回 【即学即练】 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的 表面积为(　　) A. B.16π C.9π D. 【解析】选A.如图,设球心为O,半径为r,由题得AE=,OE=4-r(或OE=r-4), 在Rt△AOE中,(4-r)2+()2=r2(或(r-4)2+()2=r2),解得r=, 所以该球的表面积为4πr2=4π×()2=. √ 返回 类型2构造法 【典例2】已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为　　　　　.  【解析】如图,将棱长为1的正四面体B1-ACD1放入正方体ABCD-A1B1C1D1 中,且正方体的棱长为1×cos 45°=, 所以正方体的体对角线AC1==, 所以正方体外接球的半径R==, 返回 所以正方体外接球的体积为πR3=π×()3=π, 因为正四面体的外接球即为正方体的外接球, 所以正四面体的外接球的体积为π. 答案:π 返回 【总结升华】 构造法的解题策略 (1)侧棱两两垂直的四面体或侧面为直角三角形的四面体或正四面体或对棱均相等的四面体,可以放到正方体或长方体中去求解. ①若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示. ②若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示. 返回 ③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=,如图3所示. ④若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示. (2)也可将直三棱锥补成三棱柱求解. 返回 【即学即练】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,∠ABC=.若该直三棱柱的外接球的表面积为16π,则该直三棱柱的高为(　　) A.4 B.3 C.4 D.2 √ 返回 【解析】选D.因为∠ABC=, 所以可以将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体ABCD-A1B1C1D1, 则该直三棱柱的外接球就是长方体的外接球,外接球的直径等于长方体的 体对角线长.设外接球的半径为R, 则4πR2=16π,解得R=2. 设该直三棱柱的高为h,则4R2=22+22+h2, 即16=8+h2,解得h=2, 所以该直三棱柱的高为2. 返回 类型3截面法 【典例3】已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等,其各个顶点都在球O的球 面上,AB=BC,∠ABC=90°,AD=2,CD=2,三棱锥P-ABC的体积为,则球O 的表面积为(　　) A.25π B. C.32π D. √ 返回 【解析】选A.如图,设点P在底面的射影为H, 因为四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等, 所以HA=HB=HC=HD, 所以A,B,C,D四点共圆. 因为AB=BC,∠ABC=90°, 所以∠ADC=90°. 因为AD=2,CD=2, 所以AC=4,所以AB=BC=2. 返回 因为三棱锥P-ABC的体积为, 所以S△ABC·PH=, 所以PH=4.设球O的半径为R, 所以(4-R)2+22=R2(或(R-4)2+22=R2), 解得R=, 则球O的表面积S=4πR2=25π. 返回 【总结升华】 与球截面有关的解题策略 (1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面:选准最佳角度作出截面,使空间问题平面化. 返回 【即学即练】 已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥 O-ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.如图所示, 因为AC⊥BC,所以AB为截面圆O1的直径,且AB=. 连接OO1,则OO1⊥平面ABC,OO1===, 所以三棱锥O-ABC的体积V=S△ABC·OO1=×1×1×=. √ 返回 类型4等积法 【典例4】已知球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的体积为　　　　　.  【解析】如图正三棱锥P-ABC中,E为P在底面的射影, 所以PE⊥平面ABC,因为正三棱锥的棱长为a, 所以AD==a,AE=AD=a, 所以PE===a,S△ABC=S△PBC=S△ABP=S△APC=a2. 返回 设内切球的半径为R, 则VP-ABC=PE·S△ABC =(S△ABC+S△PBC+S△ABP+S△APC)R, 即a×a2=(a2+a2+a2+a2)R,解得R=a, 所以V=R3=·(a)3=πa3. 答案:πa3 返回 【总结升华】 求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点,各个面为底面的棱锥,这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小. 返回 【即学即练】 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材,测量得∠ABC=90°,AB=6, BC=8,AA1=13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则 一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分 别为(　　) A.,4 B.,3 C.6π,4 D.,3 √ 返回 【解析】选D.依题意知,当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时,健身手球的体积最大.易知AC==10, 设健身手球的半径为R,则×(6+8+10)×R=×6×8,解得R=2. 则健身手球的最大直径为4.因为AA1=13,所以最多可加工3个健身手球. 于是一个健身手球的最大体积V=πR3=π×23=. 返回 $ 专题突破课四　与球有关的内接、外切问题 　　与球有关的内接、外切问题是本单元的难点,也是考试的热点,命题方向主要集中于多面体与球的内接与外切.研究好多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,确定球心是解决这类问题的关键.解决问题的方法常用以下四种:(1)直接法;(2)构造法;(3)截面法;(4)等积法. 类型1直接法 【典例1】一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,一个底面的周长为3,则这个球的体积为　　　　　.  【解析】设正六棱柱的底面边长为x,高为h, 则有 解得 所以正六棱柱的底面外接圆的半径r=, 球心到底面的距离d=. 所以外接球的半径R==1. 所以V球=. 答案: 【总结升华】 (1)对于直棱柱、正棱锥可以直接找它们外接球球心,即找点O,使点O与几何体各顶点的距离相等. (2)正棱锥的外接球球心在底面的垂线上,直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 【即学即练】 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 (　　) A. B.16π C.9π D. 【解析】选A.如图,设球心为O,半径为r,由题得AE=,OE=4-r(或OE=r-4), 在Rt△AOE中,(4-r)2+()2=r2(或(r-4)2+()2=r2),解得r=, 所以该球的表面积为4πr2=4π×()2=. 类型2构造法 【典例2】已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为　　　　　.  【解析】如图,将棱长为1的正四面体B1-ACD1放入正方体ABCD-A1B1C1D1中,且正方体的棱长为1×cos 45°=, 所以正方体的体对角线AC1= =, 所以正方体外接球的半径R==, 所以正方体外接球的体积为πR3=π×()3=π, 因为正四面体的外接球即为正方体的外接球, 所以正四面体的外接球的体积为π. 答案:π 【总结升华】 构造法的解题策略 (1)侧棱两两垂直的四面体或侧面为直角三角形的四面体或正四面体或对棱均相等的四面体,可以放到正方体或长方体中去求解. ①若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示. ②若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示. ③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=,如图3所示. ④若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示. (2)也可将直三棱锥补成三棱柱求解. 【即学即练】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,∠ABC=.若该直三棱柱的外接球的表面积为16π,则该直三棱柱的高为 (　　) A.4 B.3 C.4 D.2 【解析】选D.因为∠ABC=, 所以可以将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体ABCD-A1B1C1D1, 则该直三棱柱的外接球就是长方体的外接球,外接球的直径等于长方体的体对角线长.设外接球的半径为R, 则4πR2=16π,解得R=2. 设该直三棱柱的高为h,则4R2=22+22+h2, 即16=8+h2,解得h=2, 所以该直三棱柱的高为2. 类型3截面法 【典例3】已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等,其各个顶点都在球O的球面上,AB=BC,∠ABC=90°,AD=2,CD=2,三棱锥P-ABC的体积为,则球O的表面积为 (　　) A.25π B. C.32π D. 【解析】选A.如图,设点P在底面的射影为H, 因为四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等, 所以HA=HB=HC=HD, 所以A,B,C,D四点共圆. 因为AB=BC,∠ABC=90°, 所以∠ADC=90°. 因为AD=2,CD=2, 所以AC=4,所以AB=BC=2. 因为三棱锥P-ABC的体积为, 所以S△ABC·PH=, 所以PH=4.设球O的半径为R, 所以(4-R)2+22=R2(或(R-4)2+22=R2), 解得R=, 则球O的表面积S=4πR2=25π. 【总结升华】 与球截面有关的解题策略 (1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面:选准最佳角度作出截面,使空间问题平面化. 【即学即练】 已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.如图所示, 因为AC⊥BC,所以AB为截面圆O1的直径,且AB=. 连接OO1,则OO1⊥平面ABC, OO1===, 所以三棱锥O-ABC的体积V=S△ABC·OO1=×1×1×=. 类型4等积法 【典例4】已知球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的体积为　　　　　.  【解析】如图正三棱锥P-ABC中,E为P在底面的射影, 所以PE⊥平面ABC,因为正三棱锥的棱长为a, 所以AD==a,AE=AD=a, 所以PE===a,S△ABC=S△PBC=S△ABP=S△APC=a2. 设内切球的半径为R, 则VP-ABC=PE·S△ABC =(S△ABC+S△PBC+S△ABP+S△APC)R, 即a×a2=(a2+a2+a2+a2)R,解得R=a, 所以V=R3=·(a)3=πa3. 答案:πa3 【总结升华】 求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点,各个面为底面的棱锥,这些棱锥的高的大小恰好是内切球半径的大小. 【即学即练】 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材,测量得∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AA1=13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为 (　　) A.,4 B.,3 C.6π,4 D.,3 【解析】选D.依题意知,当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时,健身手球的体积最大.易知AC==10, 设健身手球的半径为R,则×(6+8+10)×R=×6×8,解得R=2. 则健身手球的最大直径为4.因为AA1=13,所以最多可加工3个健身手球. 于是一个健身手球的最大体积V=πR3=π×23=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $