1.导学案 19 第6章 专题突破课三 三角形中的最值范围问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破课三　三角形中的最值范围问题 　　解三角形中的最值范围问题是高频考点,主要考查正、余弦定理、三角形的面积、三角恒等变换、基本不等式等,利用正、余弦定理进行边角的互化是解题的关键,难度中等,主要考查面积(周长)的最值范围问题、边的最值范围问题、角度的最值范围问题,考查逻辑推理、数学运算、数学建模等学科素养. 返回 类型1 三角形中角的最值范围问题 【典例1】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,b=2,则B+C的取值范围是(　　) A.[,] B.[,π) C.[,π) D.(,] 【解析】选C.根据三角形三边关系可得|a-b|<c<a+b,即1<c<3, cos A===(+c). 因为函数y=+x在(1,)上单调递减,在(,3)上单调递增, 所以=+=2, 又1+=4,3+=4,所以c+<4, 所以≤cos A<1,又A为三角形的内角, 所以0<A≤,所以≤B+C<π. √ 返回 【总结升华】 关于角的范围问题 (1)利用正弦定理或余弦定理表示出所求角的正弦或余弦; (2)利用基本不等式或三角函数的知识得到所求角的正弦或余弦的范围; (3)结合正、余弦函数的单调性求出对应角的范围. 返回 【即学即练】 　(2025·菏泽高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2=2a2-2b2,则A-B的最大值为　　　　　.  【解析】由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, 两式相减得2(a2-b2)=2c(acos B-bcos A), 因为c2=2a2-2b2,所以c=2(acos B-bcos A), 由正弦定理得sin C=2(sin Acos B-sin Bcos A), 即sin(A+B)=2(sin Acos B-sin Bcos A), 所以sin Acos B+sin Bcos A=2(sin Acos B-sin Bcos A),则sin Acos B=3cos Asin B, 返回 因为在△ABC中,cos A,cos B不同时为0,sin A>0,sin B>0,故cos A≠0,cos B≠0, 所以tan A=3tan B, 又c2=2a2-2b2>0,所以a>b,则A>B,故0<B<,则tan B>0, 所以tan(A-B)===≤=, 当且仅当=3tan B,即tan B=时,等号成立, 又0<A-B<π,所以A-B≤,即A-B的最大值为. 答案: 返回 类型2 三角形面积的最值范围问题 【典例2】在锐角△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,cos C=. (1)求角A; (2)若b=8,求△ABC面积的取值范围. 【解析】(1)在锐角△ABC中,cos C=, 由余弦定理得=,得a2+b2-c2=2b2-bc, 即b2+c2-a2=bc,可得cos A==, 又0<A<,得A=. 返回 (2)S△ABC=bcsin A=×8c×=2c, 由正弦定理=,得c====+4, 在锐角△ABC中,0<B<,0<C<,B+C=,可得<B<, 则有tan B>,0<<,0<<12,4<+4<16, 即c∈(4,16),得S△ABC=2c∈(8,32), 所以△ABC面积的取值范围为(8,32). 返回 【总结升华】 　关于面积的最值问题 (1)根据面积公式,利用余弦定理、基本不等式求两边乘积的最值; (2)根据面积公式,利用正弦定理把面积表示成关于某个角的三角函数求最值. 返回 【即学即练】 　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=. (1)求角B的值; (2)若a∶b=tan A∶tan B,判断△ABC的形状; (3)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC的面积S的取值范围. 【解析】(1)因为=, 所以由正弦定理得=, 即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cos B==, 因为0°<B<180°,所以B=60°. 返回 (2)因为a∶b=tan A∶tan B,所以=·,所以cos A=cos B,所以A=B, 所以△ABC为等边三角形. (3)因为A+C=120°,c=2,由正弦定理,得a====+1. 所以S=acsin B=asin 60°=(+1), 因为△ABC为锐角三角形,则30°<C<90°,从而tan C∈(,+∞),所以S∈(,2). 返回 类型3 三角形周长的最值范围问题 【典例3】(一题多解)(2025·厦门高一检测)已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且asin C+acos C=b. (1)求A; (2)已知a=,点O为△ABC的垂心,求△BOC的周长的最大值. 【解析】(1)已知asin C+acos C=b,由正弦定理==, 得sin Asin C+sin Acos C=sin B, 由A+B+C=π,得sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代入得sin Asin C+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C,即sin Asin C=cos Asin C, 由sin C≠0,得sin A=cos A,得tan A=, 由A∈(0,),得A=. 返回 (2)如图,由O为锐角△ABC的垂心,知BO⊥AC,设垂足为E,CO⊥AB,设垂足为F,即∠AFO=∠AEO=. 由A=,四边形FOEA的内角和为2π,得∠FOE==∠BOC. 方法一:设BO=m,CO=n,在△BOC中,由余弦定理a2=m2+n2-2mncos , 返回 得m2+n2+mn=3,即(m+n)2-3=mn, 由≥,得mn≤, 当且仅当m=n时,等号成立, 所以(m+n)2-3≤,得0<m+n≤2, 所以当m=n=1时,m+n的最大值为2, 故△BOC周长的最大值为1+1+=2+. 返回 方法二:设∠OCB=θ,θ∈(0,), 则∠OBC=-θ, 在△BOC中,由正弦定理得====2, 则OB=2sin θ,OC=2sin(-θ), OB+OC=2sin θ+2sin(-θ) =2sin θ+cos θ-sin θ=cos θ+sin θ =2sin(θ+), 因为θ∈(0,), 故当θ=时,(OB+OC)max=2, 故△BOC周长的最大值为2+. 返回 【总结升华】 关于周长的范围问题 (1)基本不等式法:关于周长的范围问题,若已知一边及其对角,根据余弦定理列出关于另两边的关系式,利用基本不等式求另外两边和的最值,从而求出周长的最值. 变形举例:a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc-2bccos A=(b+c)2-2(1+cos A)bc ≥(b+c)2-2(1+cos A); (2)三角函数性质法:根据正弦定理用角表示边,将周长表示成关于三角形某个角的三角函数,利用三角函数的性质求最值. 返回 【即学即练】 　(2025·合肥高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知asin A+asin Ccos B+bsin Ccos A=bsin B+csin A. (1)若a=2,且△ABC为锐角三角形,求△ABC的周长的取值范围; 返回 【解析】(1)因为asin A+asin Ccos B+bsin Ccos A=bsin B+csin A, 所以由正弦定理可得a2+accos B+bccos A=b2+ac, 由余弦定理可得a2++=b2+ac,即a2+c2=b2+ac, 所以cos B===. 因为0<B<π,所以B=; 因为△ABC为锐角三角形,B=, 所以,可得A∈(,). 由正弦定理==, 得==, 则b=,c===1+, 返回 则△ABC的周长为a+b+c=3+=3+=3+. 由A∈(,),则∈(,). 因为tan =tan(2×)==, 整理得tan2+2tan -1=0,解得 tan =2-或tan =-2-(舍), 所以tan ∈(2-,1),所以3+∈(3+,6+2), 即△ABC的周长的取值范围为(3+,6+2). 返回 (2)由正弦定理得=2R(R为△ABC的外接圆半径),则b=2,ac=b2=12. 由a2+c2=b2+ac,可得a2+c2=24,则a=c=2,则△ABC为等边三角形. 取AB的中点M,如图所示: 返回 类型4 三角形边长的最值范围问题 【典例4】(2025·亳州高一检测)记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A-acos B=b-c. (1)求角A; (2)若b=2,求c的取值范围. 【解析】(1)在△ABC中,由bcos A-acos B=b-c及正弦定理得sin Bcos A-sin Acos B=sin B-sin C, 而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,两式相加则有2sin Bcos A=sin B,又sin B>0, 解得cos A=,而0<A<,所以A=. 返回 (2)由(1)知,A=,C=-B,由△ABC是锐角三角形,得, 解得<B<,tan B>,由正弦定理得=, 则c===+1∈(1,4), 所以c的取值范围是(1,4). 返回 【总结升华】 关于三角形边长的最值范围问题 (1)利用正弦定理转化为角的三角函数,利用三角函数的性质求解,要注意角的范围; (2)利用余弦定理转化为边的函数,利用基本不等式或函数的性质求解,要注意基本不等式等号是否能取到. 返回 【即学即练】 　(2025·阜阳高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=bcos A+a. (1)求角B; (2)点D在边AC上,且BD=1,若　　　　　(从以下三个条件中任选一个),求b的最小值.  ①BD是边AC上的高;②BD是边AC上的中线;③BD是角B的平分线. 返回 【解析】(1)在△ABC中,由c=bcos A+a及余弦定理,得c=b·+a, 整理得c2+a2-b2=ac,于是cos B==,而0<B<π,所以B=. (2)选①BD是边AC上的高,由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=b·BD, 即b=ac,由(1)知,b2=a2+c2-ac≥ac,当且仅当a=c时取等号, 因此b2≥b,解得b≥, 所以当a=c=时,b取得最小值,最小值为. 返回 当且仅当a=c时取等号,于是ac≤, 由(1)知,b2=a2+c2-ac=4-2ac≥,解得b≥,所以当且仅当a=c=时,b取得最小值,最小值为. 选③BD是角B的平分线,由三角形面积公式,得S△ABC=S△ABD+S△CBD, 即acsin =csin +asin ,整理得ac=a+c≥2, 当且仅当a=c时取等号,ac≥, 由(1)知,b2=a2+c2-ac≥ac≥,解得b≥, 所以当且仅当a=c=时,b取得最小值,最小值为. 返回 (2)若b2=ac,且外接圆半径为2,圆心为O,P为圆O上的一动点,试求·的取值范围. 则·=(+)·(+) =+·(+)+· =-=-3. 由OP=2,OM=1,则PM∈[1,3],则·∈[-2,6]. 选②BD是边AC上的中线,则=(+), 两边平方得4=++2·,即4=c2+a2+2cacos =c2+a2+ca≥3ac, $ 专题突破课三　三角形中的最值范围问题 　　解三角形中的最值范围问题是高频考点,主要考查正、余弦定理、三角形的面积、三角恒等变换、基本不等式等,利用正、余弦定理进行边角的互化是解题的关键,难度中等,主要考查面积(周长)的最值范围问题、边的最值范围问题、角度的最值范围问题,考查逻辑推理、数学运算、数学建模等学科素养. 类型1 三角形中角的最值范围问题 【典例1】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,b=2,则B+C的取值范围是 (　　) A.[,] B.[,π) C.[,π) D.(,] 【解析】选C.根据三角形三边关系可得|a-b|<c<a+b,即1<c<3, cos A===(+c). 因为函数y=+x在(1,)上单调递减,在(,3)上单调递增, 所以=+=2, 又1+=4,3+=4,所以c+<4, 所以≤cos A<1,又A为三角形的内角, 所以0<A≤,所以≤B+C<π. 【总结升华】 关于角的范围问题 (1)利用正弦定理或余弦定理表示出所求角的正弦或余弦; (2)利用基本不等式或三角函数的知识得到所求角的正弦或余弦的范围; (3)结合正、余弦函数的单调性求出对应角的范围. 【即学即练】 　(2025·菏泽高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2=2a2-2b2,则A-B的最大值为　　　　　.  【解析】由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, 两式相减得2(a2-b2)=2c(acos B-bcos A), 因为c2=2a2-2b2,所以c=2(acos B-bcos A), 由正弦定理得sin C=2(sin Acos B-sin Bcos A), 即sin(A+B)=2(sin Acos B-sin Bcos A), 所以sin Acos B+sin Bcos A=2(sin Acos B-sin Bcos A),则sin Acos B=3cos Asin B, 因为在△ABC中,cos A,cos B不同时为0,sin A>0,sin B>0,故cos A≠0,cos B≠0, 所以tan A=3tan B, 又c2=2a2-2b2>0,所以a>b,则A>B,故0<B<,则tan B>0, 所以tan(A-B)===≤=, 当且仅当=3tan B,即tan B=时,等号成立, 又0<A-B<π,所以A-B≤,即A-B的最大值为. 答案: 类型2 三角形面积的最值范围问题 【典例2】在锐角△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,cos C=. (1)求角A; (2)若b=8,求△ABC面积的取值范围. 【解析】(1)在锐角△ABC中,cos C=, 由余弦定理得=,得a2+b2-c2=2b2-bc, 即b2+c2-a2=bc,可得cos A==, 又0<A<,得A=. (2)S△ABC=bcsin A=×8c×=2c, 由正弦定理=,得c====+4, 在锐角△ABC中,0<B<,0<C<,B+C=,可得<B<, 则有tan B>,0<<,0<<12,4<+4<16, 即c∈(4,16),得S△ABC=2c∈(8,32), 所以△ABC面积的取值范围为(8,32). 【总结升华】 　关于面积的最值问题 (1)根据面积公式,利用余弦定理、基本不等式求两边乘积的最值; (2)根据面积公式,利用正弦定理把面积表示成关于某个角的三角函数求最值. 【即学即练】 　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=. (1)求角B的值; (2)若a∶b=tan A∶tan B,判断△ABC的形状; (3)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC的面积S的取值范围. 【解析】(1)因为=, 所以由正弦定理得=, 即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cos B==, 因为0°<B<180°,所以B=60°. (2)因为a∶b=tan A∶tan B,所以=·,所以cos A=cos B,所以A=B, 所以△ABC为等边三角形. (3)因为A+C=120°,c=2,由正弦定理,得a====+1. 所以S=acsin B=asin 60°=(+1), 因为△ABC为锐角三角形,则30°<C<90°,从而tan C∈(,+∞),所以S∈(,2). 类型3 三角形周长的最值范围问题 【典例3】(一题多解)(2025·厦门高一检测)已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且asin C+acos C=b. (1)求A; (2)已知a=,点O为△ABC的垂心,求△BOC的周长的最大值. 【解析】(1)已知asin C+acos C=b,由正弦定理==, 得sin Asin C+sin Acos C=sin B, 由A+B+C=π,得sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代入得sin Asin C+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C,即sin Asin C=cos Asin C, 由sin C≠0,得sin A=cos A,得tan A=, 由A∈(0,),得A=. (2)如图,由O为锐角△ABC的垂心,知BO⊥AC,设垂足为E,CO⊥AB,设垂足为F,即∠AFO=∠AEO=. 由A=,四边形FOEA的内角和为2π,得∠FOE==∠BOC. 方法一:设BO=m,CO=n,在△BOC中,由余弦定理a2=m2+n2-2mncos , 得m2+n2+mn=3,即(m+n)2-3=mn, 由≥,得mn≤, 当且仅当m=n时,等号成立, 所以(m+n)2-3≤,得0<m+n≤2, 所以当m=n=1时,m+n的最大值为2, 故△BOC周长的最大值为1+1+=2+. 方法二:设∠OCB=θ,θ∈(0,), 则∠OBC=-θ, 在△BOC中,由正弦定理得====2, 则OB=2sin θ,OC=2sin(-θ), OB+OC=2sin θ+2sin(-θ) =2sin θ+cos θ-sin θ=cos θ+sin θ =2sin(θ+), 因为θ∈(0,), 故当θ=时,(OB+OC)max=2, 故△BOC周长的最大值为2+. 【总结升华】 关于周长的范围问题 (1)基本不等式法:关于周长的范围问题,若已知一边及其对角,根据余弦定理列出关于另两边的关系式,利用基本不等式求另外两边和的最值,从而求出周长的最值. 变形举例:a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc-2bccos A=(b+c)2-2(1+cos A)bc ≥(b+c)2-2(1+cos A); (2)三角函数性质法:根据正弦定理用角表示边,将周长表示成关于三角形某个角的三角函数,利用三角函数的性质求最值. 【即学即练】 　(2025·合肥高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知asin A+asin Ccos B+bsin Ccos A=bsin B+csin A. (1)若a=2,且△ABC为锐角三角形,求△ABC的周长的取值范围; (2)若b2=ac,且外接圆半径为2,圆心为O,P为圆O上的一动点,试求·的取值范围. 【解析】(1)因为asin A+asin Ccos B+bsin Ccos A=bsin B+csin A, 所以由正弦定理可得a2+accos B+bccos A=b2+ac, 由余弦定理可得a2++=b2+ac,即a2+c2=b2+ac, 所以cos B===. 因为0<B<π,所以B=; 因为△ABC为锐角三角形,B=, 所以,可得A∈(,). 由正弦定理==, 得==, 则b=,c===1+, 则△ABC的周长为a+b+c=3+=3+=3+. 由A∈(,),则∈(,). 因为tan =tan(2×)==, 整理得tan2+2tan -1=0,解得 tan =2-或tan =-2-(舍), 所以tan ∈(2-,1),所以3+∈(3+,6+2), 即△ABC的周长的取值范围为(3+,6+2). (2)由正弦定理得=2R(R为△ABC的外接圆半径),则b=2,ac=b2=12. 由a2+c2=b2+ac,可得a2+c2=24,则a=c=2,则△ABC为等边三角形. 取AB的中点M,如图所示: 则·=(+)·(+) =+·(+)+· =-=-3. 由OP=2,OM=1,则PM∈[1,3],则·∈[-2,6]. 类型4 三角形边长的最值范围问题 【典例4】(2025·亳州高一检测)记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A-acos B=b-c. (1)求角A; (2)若b=2,求c的取值范围. 【解析】(1)在△ABC中,由bcos A-acos B=b-c及正弦定理得sin Bcos A-sin Acos B=sin B-sin C, 而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,两式相加则有2sin Bcos A=sin B,又sin B>0, 解得cos A=,而0<A<,所以A=. (2)由(1)知,A=,C=-B,由△ABC是锐角三角形,得, 解得<B<,tan B>,由正弦定理得=, 则c===+1∈(1,4), 所以c的取值范围是(1,4). 【总结升华】 关于三角形边长的最值范围问题 (1)利用正弦定理转化为角的三角函数,利用三角函数的性质求解,要注意角的范围; (2)利用余弦定理转化为边的函数,利用基本不等式或函数的性质求解,要注意基本不等式等号是否能取到. 【即学即练】 　(2025·阜阳高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=bcos A+a. (1)求角B; (2)点D在边AC上,且BD=1,若　　　　　(从以下三个条件中任选一个),求b的最小值.  ①BD是边AC上的高;②BD是边AC上的中线;③BD是角B的平分线. 【解析】(1)在△ABC中,由c=bcos A+a及余弦定理,得c=b·+a, 整理得c2+a2-b2=ac,于是cos B==,而0<B<π,所以B=. (2)选①BD是边AC上的高,由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=b·BD, 即b=ac,由(1)知,b2=a2+c2-ac≥ac,当且仅当a=c时取等号, 因此b2≥b,解得b≥, 所以当a=c=时,b取得最小值,最小值为. 选②BD是边AC上的中线,则=(+), 两边平方得4=++2·,即4=c2+a2+2cacos =c2+a2+ca≥3ac, 当且仅当a=c时取等号,于是ac≤, 由(1)知,b2=a2+c2-ac=4-2ac≥,解得b≥,所以当且仅当a=c=时,b取得最小值,最小值为. 选③BD是角B的平分线,由三角形面积公式,得S△ABC=S△ABD+S△CBD, 即acsin =csin +asin ,整理得ac=a+c≥2, 当且仅当a=c时取等号,ac≥, 由(1)知,b2=a2+c2-ac≥ac≥,解得b≥, 所以当且仅当a=c=时,b取得最小值,最小值为. - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $