相互独立事件 期末复习专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以思维导图统领知识架构，通过核心总结构建“概念-公式-步骤-考法”四维方法体系，聚焦相互独立事件的判定与概率运算，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |思维导图|1幅|统领知识框架|直观呈现独立事件知识网络| |核心总结|4类方法|五步解题法（设事件-判独立-译条件-用公式-分类加）、对立事件简化运算、电路问题反向求解|从本质（多试验互不干扰）到公式推导，建立“判定-计算-应用”逻辑链| |典例及变式|3典例+8变式|判断独立（直接法/公式法）、概率复合运算、复杂情境转化|覆盖基础判定到综合应用，体现从具体到抽象的思维进阶| |巩固加练|4题|高考真题适配训练|结合新高考趋势，强化知识迁移与应用意识|

相互独立事件（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 所有相互独立事件题型的底层逻辑：多个试验互不干扰，一个事件发生与否，不会改变其他事件发生的概率，本质是多独立试验的概率复合运算。 2、通用公式：如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立． 3. 解题步骤 ①设事件，标注各事件发生概率； ②判断事件是否独立（有放回、不同试验、机床、答题独立等题干关键词）； ③翻译文字条件：都发生 、恰有一个、至多一个 、至少一个； ④利用独立公式 + 对立事件简化计算（“至多 / 至少” 计算时正难则反）； ⑤分类情况相加。 4.高频考法 ①判断独立：直接法，由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响； 公式法，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件。 ②“至少 、 至多” 统一用对立事件简化运算； ③电路问题：并联算全断开、串联算全闭合，反向求解更简单； 【例1】判断下列事件是否为相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 【变式1-1】袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【变式1-2】有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【变式1-3】（新课标必修二习题10.2综合运用5）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立． 【例2】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概率； (3)至多有一人能破译的概率． 【变式2-1】某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. (1)求甲第二次答题通过初赛的概率； (2)求乙通过初赛的概率； (3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 【变式2-2】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率． 【变式2-3】Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 【例3】如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( ) A. B. C. D. 【变式3-1】一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【巩固加练】 1．（多选）任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（    ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，事件包含10个样本点 2．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 3．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为(　　) A. B. C. D. 4.冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为，每局比赛不考虑平局．在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分． (1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率； (2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 相互独立事件（精练） 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 所有相互独立事件题型的底层逻辑：多个试验互不干扰，一个事件发生与否，不会改变其他事件发生的概率，本质是多独立试验的概率复合运算。 2、通用公式：如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立． 3. 解题步骤 ①设事件，标注各事件发生概率； ②判断事件是否独立（有放回、不同试验、机床、答题独立等题干关键词）； ③翻译文字条件：都发生 、恰有一个、至多一个 、至少一个； ④利用独立公式 + 对立事件简化计算（“至多 / 至少” 计算时正难则反）； ⑤分类情况相加。 4.高频考法 ①判断独立：直接法，由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响； 公式法，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件。 ②“至少 、 至多” 统一用对立事件简化运算； ③电路问题：并联算全断开、串联算全闭合，反向求解更简单； 【例1】判断下列事件是否为相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 【答案】(1)是 (2)否 【解析】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． 【变式1-1】袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【答案】B 【解析】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误； 显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误. 故选：B 【变式1-2】有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【答案】C 【解析】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 【变式1-3】（新课标必修二习题10.2综合运用5）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，C两两独立． 【答案】答案见解析. 【解析】设事件，, 则 则, 满足， 由于,, 即与, 与,与都不相互独立，即不满足A，B，C两两独立 【例2】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概率； (3)至多有一人能破译的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”． (1)两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. (2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝×＋×＝. (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码， ∴其概率为1－P(AB)＝1－＝. 【变式2-1】某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. (1)求甲第二次答题通过初赛的概率； (2)求乙通过初赛的概率； (3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，则； （2）记乙通过初赛为事件，则； （3）依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为， 记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件， 则. 【变式2-2】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率． 【答案】，， 【解析】记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品． 由题设知 解方程组并舍去不合题意的根，得 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，. 【变式2-3】Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）由题意可得 即解得或 由于，所以． （2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 【例3】如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯亮的概率为.故选D. 【变式3-1】一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B. 【变式3-2】(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【答案】ACD 【解析】由题意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子畅通的概率为×＝，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此C正确；当开关合上时，电路畅通的概率为×＝，因此D正确． 【巩固加练】 1．（多选）任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（    ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，事件包含10个样本点 【答案】AC 【解析】A，样本空间包含 6 个样本点，事件，因此，正确； B，由题意得，故，而， 因，故事件A与B不独立，错误； C，事件时，，已知，， 代入得，，解得，正确； D，样本空间仅包含 6 个样本点，事件C是的子集，不可能包含 10 个样本点，错误. 故选：AC 2．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】　B 【解析】事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误． 3．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类： (1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳， 其概率为P1＝×＝； (2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可， 其概率为P2＝×＝，所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝＋＝. 4.冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为，每局比赛不考虑平局．在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分． (1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率； (2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率． 【答案】(1)； (2). 【解析】第六局乙方得分，所以第七局乙方先掷壶，甲方后掷壶，则第七局甲方得分概率为；第七局甲方得分，则第八局甲先掷壶，乙后掷壶，第八局甲方得分的概率为， 所以第七局、第八局均为甲方得分的概率为. (2)前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，所以后面四局甲全胜或者甲胜三局. 后面四局甲全胜，且第七局乙先掷壶，则概率为； 后面四局甲胜三局，且第七局乙先掷壶，分为第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十局乙得分， 所以概率为 则当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $