2.1 练习1　倾斜角与斜率 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 围绕“倾斜角与斜率”设计基础、中档、提升三层练习，通过概念辨析、运算应用到综合探究的路径巩固知识，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|倾斜角定义、斜率公式、方向向量关系|直接应用公式的选择填空题，如两点求倾斜角、方向向量求倾斜角| |中档|范围问题、概念辨析、综合计算|易错点辨析的多选题（如倾斜角与斜率关系）、斜率范围计算| |提升|动态变化、多条件问题、最值探究|结合旋转求斜率的解答题、线段上点的最值探究题|

2.1 练习1　倾斜角与斜率 1. (2024·江西抚州高二期中)过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　C　) A. －60° B. 60° C. 120° D. 150° 【解析】 ∵直线过点A(0，4)，B(，1)，∴kAB＝，设直线的倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tan θ＝，故θ＝120°. 2. (2025·四川成都高二期中)已知直线的方向向量为(，－1)，则直线的倾斜角是(　D　) A. B. C. D. 【解析】 ∵直线的方向向量为(，－1)，∴直线的斜率为k＝，即tan θ＝，又倾斜角θ∈[0，π)，∴θ＝. 3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l与x轴的夹角为30°，则直线l的斜率为(　C　) A. B. C. 或 D. 或 【解析】 ①当直线l与x轴正方向的夹角为30°时，此时倾斜角为30°，斜率为tan 30°＝；②当直线l与x轴负方向的夹角为30°时，此时倾斜角为150°，斜率为tan 150°＝.综上，直线l的斜率为或. 4. (2025·甘肃庆阳高二期中)已知直线l过点A(3，－2)，B，且直线l的方向向量为(1，－1)，则m的值为(　D　) A. －1 B. 1 C. D. 【解析】 ∵直线l的方向向量为(1，－1)，∴直线l的斜率为＝－1，又直线l过点A(3，－2)，B，由斜率公式可得＝－1，解得m＝. 5. (2025·江苏连云港期末)若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为 (　D　) A. －2 B. 2 C. －3 D. 3 【解析】 ∵3≠1，∴直线AB斜率存在，A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即，解得m＝3. 6. 若直线l的斜率k∈，则直线l的倾斜角的取值范围是(　C　) A. ∪ B. C. ∪ D. 【解析】 直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tan α，且α∈[0，π)，若k∈，则α∈∪. 7. (2024·安徽蚌埠高二期中)直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为(　D　) A. B. C. 1 D. 【解析】 ∵直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，∴直线l1的斜率为，∴直线l1的倾斜角为.∵直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，∴l2的倾斜角为，∴l2的斜率为. 8. (多选)(2025·江苏无锡高二检测)下列说法中，正确的是(　CD　) A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α C. 若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90° D. 若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4) 【解析】 对于A，倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，A错误；对于B，直线的斜率为tan α时，α可以是不为kπ(k∈Z)的任意实数，而直线倾斜角的范围是[0，π)，B错误；对于C，由题设A(1，－3)，B(1，3)知两点横坐标相同，直线方程为x＝1，直线AB的倾斜角为90°，C正确；对于D，过(1，2)，(3，4)两点的斜率为k＝＝1＝tan 45°，直线的倾斜角为45°，D正确. 9. (多选)已知A(1，－2)，B(2，1)，若直线l恒过点(0，－1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的值可能是(　AC　) A. B. －2 C. 0 D. 2 【解析】 设P(0，－1)，连接PA，PB，则kAP＝＝－1，kBP＝＝1，∴当－1≤k≤1时，直线l与线段AB相交，A，C符合要求. 10. 已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是　10°≤α＜100°　.  【解析】 由题意得0°≤2α－20°＜180°，故10°≤α＜100°. 11. 已知点A(2，－1)，若坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为　(3，0)或(0，－3)　.  【解析】 设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n).由kPA＝1，得＝1，得m＝3，n＝－3，故点P的坐标为(3，0)或(0，－3). 12. 设坐标平面内三点A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的三倍，则实数m的值为　1或2　.  【解析】 由kAC＝3kBC，得＝3·，即＝m－5，∴(m＋1)(m－5)＋(m＋7)＝0，得m2－3m＋2＝0，即(m－1)(m－2)＝0，解得m＝1，或m＝2，经验证均符合题意，故m的值是1或2. 13. (2024·青岛二中检测)已知直线l经过A(－1，m)，B(m，1)两点，问：当m取何值时， (1)直线l与x轴平行； (2)直线l与y轴平行； (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)； (4)直线的倾斜角为45°； (5)直线的倾斜角为锐角. 解： (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即，解得m＝. (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0. (5)由题意可知，直线l的斜率k＞0，即＞0，解得－1＜m＜1. 14. 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一个动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 解： (1)由题得kAB＝＝0，kBC＝，kAC＝，∵直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的取值范围是[0，π)，∴直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为. (2)如图所示，由图可知kCD的取值范围是，∴直线CD的倾斜角的取值范围是. 15. 已知直线l1过P1(1，2)和P2(0，1)两点，直线l2过点P1且l2绕点P1按逆时针方向旋转到与l1重合时，所转的最小正角为75°，则直线l2的斜率k2＝　　.  【解析】 直线l1的斜率k1＝＝1，设直线l1的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，从而可得θ＝45°.设直线l2的倾斜角为α，则α＋75°＝45°＋180°，解得α＝150°，故直线l2的斜率k2＝tan 150°＝. 16. (2025·山东青岛高二检测)已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最小值是　－3　.  【解析】 表示线段AB上点P(x，y)和点E(3，0)连线的斜率，如图所示， 由图形可知，当点P与A重合时PE的斜率最小，又A(2，3)，E(3，0)，∴kAE＝＝－3，故的最小值是－3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 练习1　倾斜角与斜率 1. (2024·江西抚州高二期中)过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为( 　) A. －60° B. 60° C. 120° D. 150° 2. (2025·四川成都高二期中)已知直线的方向向量为(，－1)，则直线的倾斜角是( 　) A. B. C. D. 3. (2025·广东深圳高二期中)已知直线l与x轴的夹角为30°，则直线l的斜率为( 　) A. B. C. 或 D. 或 4. (2025·甘肃庆阳高二期中)已知直线l过点A(3，－2)，B，且直线l的方向向量为(1，－1)，则m的值为( 　) A. －1 B. 1 C. D. 5. (2025·江苏连云港期末)若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为 ( 　) A. －2 B. 2 C. －3 D. 3 6. 若直线l的斜率k∈，则直线l的倾斜角的取值范围是( 　) A. ∪ B. C. ∪ D. 7. (2024·安徽蚌埠高二期中)直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为( 　) A. B. C. 1 D. 8. (多选)(2025·江苏无锡高二检测)下列说法中，正确的是( 　) A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α C. 若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90° D. 若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4) 9. (多选)已知A(1，－2)，B(2，1)，若直线l恒过点(0，－1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的值可能是( 　) A. B. －2 C. 0 D. 2 10. 已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是 .  11. 已知点A(2，－1)，若坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为 .  12. 设坐标平面内三点A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的三倍，则实数m的值为 .  13. (2024·青岛二中检测)已知直线l经过A(－1，m)，B(m，1)两点，问：当m取何值时， (1)直线l与x轴平行； (2)直线l与y轴平行； (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)； (4)直线的倾斜角为45°； (5)直线的倾斜角为锐角. 14. 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一个动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 15. 已知直线l1过P1(1，2)和P2(0，1)两点，直线l2过点P1且l2绕点P1按逆时针方向旋转到与l1重合时，所转的最小正角为75°，则直线l2的斜率k2＝ .  16. (2025·山东青岛高二检测)已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最小值是 .  学科网（北京）股份有限公司 $