2.1.1 倾斜角与斜率-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

(1)证明BM=(0,1,1),平面PAD的：7.解在平面ABC内过 一个法向量为n=(1,0,0), B点作z轴垂直于BC 2.-(号0设面P0M ∴.BM.n=0,即BM⊥n, 在平面BCD内过B,点 的法向量n=(x,y,z), B 又BM中平面PAD,∴.BM∥平面PAD. 作x轴垂直于BC.:平 面ABC⊥平面DBC (n·On=23x=0, (2)BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2). 则 取x=1, ∴∠xBx=90°.如图，建 D 假设平面PAD内存在一点N,使MN⊥· 平面PBD. 立空间直角坐标系Bxyz,设AB=a,则： 则y=-2,2=0,所以n=(1,一2,0).所以 设N(0,y,),则M不=(-1，y-1,2-1), 2a, 从而MN⊥BD,MN⊥PB, 点C到平面POM的距离为 n 或-0. 4-4W⑤ {M.PB=0, /1+45 X10 BC-(0,a,0),BD= 3 2a,-2a,0 第二章直线和圆的方程 (1):AD.BC=0,AD⊥BC,直线 (y=2' AD与直线BC所成角的大小为90°， 2.1.1倾斜角与斜率 (2)设直线AD与平面BCD所成的角为！必备知识·自主梳理 01,,n=(0,0,1)是平面BCD的一个法向：（一） ∴.在平面PAD内存在一，点N 0,2 AD·n 正向0°0°≤a<180 量，∴sin0=cos(AD,n)= 即时小练 号)使MNL年面PBD, ADn ·1.(1)/ (2)×(3)/(4)×2.105° 或751 题型三 24 (二) ..01=45°，即直线AD1 5.B[作AO⊥平面 3 1.正切值tana2,k=些一二y BCD于点O,则O 是△BCD的中心， 与平面BCD所成角的大小为45° 3.(2) 以0为坐标原，点，直 (3)设m=(x,y,z)是平面ABD的法向 线OD为y轴，直线 OA为：轴建立空间 量，则m…亦=0， !即时小练 1.(1)×(2)×提示 倾斜角为135°的 直角坐标系，如图所 {m·BD=0, ·直线的斜率为一1. 3 示.设AB=2,则O(0,0,0),A0,0, 2a=0 ·(3)×(4)× 2.C3.-1 √3 1 2)c(1.(誓) 2ax-2av=0 取x=1,则=1关键能力·合作探究 :题点一 =√5，∴m=(1,W5,1). !「典例]解析(1)根据题意，画出图形，如 i-(00,）=(-1,2 5 图所示. ∴.cosm,n》= ) mn5×1号.设平 m·n 面ABD和平面BDC的夹角为O2,则 所以cos(OA,C正)= OA·C os4=cos(m·m1=5 51 OAICE 题型四 8.APA=(-2,0,-1),PA=5,PA 因为0°a<180°，显然A,B,C未分类讨 3 论，均不全面，不合题意.通过画图（如图 2×5 3 ,则点P到直线1的距离为 所示)可知， 2 当0°a<140°时，l的倾斜角为a十40°； 当140°≤a180°时，L1的倾斜角为40°+a 所以CE与平面BCD的夹角的正弦值！ -180°=a-140°.故选D. 为票] (2)有两种情况：①如图(1)，直线1向上的 方向与x轴正向所成的角为60°，即直线1 6 。[如图所示，过 9.解(1)证明因为PA=PC=AC-4,O! 的倾斜角为60° 为AC的中点，所以PO⊥AC,且PO= y 点C作C)⊥平面 ABDE,垂足为O, 25. 取AB的中点F,连 连据OB,周为AB-BC-号AC 209 30 接CF,OF,OA,OB, 1209 则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角， 所以△ABC为等腰直角三角形， 所以o∠CP0-9.设AB=1,则CF= 且0B⊥AC,0B=2AC=2. (1 (2) .0r=是，0C-竖，所以0为正方形 所以P(P+OB=PB,所以PO⊥OB. ②如图(2)，直线1向上的方向与x轴正向 又因为AC∩OB=O,所以P)⊥平 所成的角为120°，即直线1的倾斜角 ABDE的中心，如图建立空间直角坐标 面ABC. 为120° 系，则E(0,-号）4（竖0 (2)由(1)知POL平 答案(1)D(2)60°或120 面ABC,建立如图所 对点训练 示的空间直角坐标 :1.135[如图，设直线2 M(号o,号)No,号)所x 系，所以P(0,0,2 的倾斜角为a2,结合图 3),O(0,0,0),B 形及三角形外角与内角 (2,0,0),C(0,2,0), 的关系可得a2=120°十 设Mx,y,0),又MC a1=120°+15°=135° ) =2，所以流=号B心，所以M， 故直线2的倾斜角 4 为135°.] EM·AN 2.解①如图a,可知∠OAB为直线l1的倾 所以cos(EM,AV) EM AN 号0所以元=(02,0).0亦=0,0 斜角，易知∠ABO=30°，所以∠OAB= 60°，即直线1的倾斜角为60°. 194 ②如图b,可知∠xAB为直线Lg的倾：(2)解，A,B,C三点的横坐标均不：AD的斜率由kB增大到kC,所以直线 斜角， 相等， 易知∠OBA=45°，所以∠OAB=45°， -1-(-3) =2,kA0= 7-(-3)· AD的鲜幸的变化范因关[宁·号] 所以∠xAB=135°， ..kAB= 0-(-1) 即直线12的倾斜角为135 =2, 4-（-D2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 90 45y .kAB=kC,又A为公共，点， 必备知识·自主梳理 直线AB与AC重合，∴A,B,C三点（一） 1208 共线. k1=k21∥12 :对点训练 :即时小练 6 ③如图c,可知∠OAC为直线1的倾13 [由于A,B,C三点共线，则=1.)X提示不一定平行，也可能重合. (2)/(3) 斜角， 易知∠ABO=60°，所以∠BAO=30°，所以1 kc,所以0-3-b-3 a-30-3,所以ab=3u+36.2C3.B 1) ∠OAC-150°，即直线l3的倾斜角 即1+11 (1)-1 -1-1 为150°， a b3 、 即时小练 题点二 典例] 解析1)由直线的倾斜角为23±，圆或3-匝 :1.(1)×提示若两条直线中有一条直线 [A,B,C三点所 2 的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 135°，得斜率为k=tan135°=一1.再由斜 在直线不可能垂直于x轴， 这两条直线垂直.(2)、/ 车公式，得”=-1，解得m=-5 可设直线AB,BC的斜单分别为2，A[由题意，得k=3 =√2-5，k2 (2)作出直线PA,PB及线段AB,如图 kAB 0-√3 所示. 0一√2 : 1 7 由斜率公式，得k一2m-4一4m-8 2-√6 =5十√2.则k1k2=-1,∴l4上 -1+m_m-1 l2,故进A.] kx=4十4 8 3.D[设直线l1,l的斜率分别是k1,k2· A,B,C三点在同一条直线上，.kg 当a≠0时，由l1⊥l2得k1k2=ak2=一1， =kB· .k2= 1 7 则kpA= 2-(-3) 当a一0时，l1与x轴平行或重合，则l2与 -1-(-2)=5,kp= 2-0 28=g,即-3m-12=0. -1-3 解得m,-3+ ,m,=3- y轴平行或重合，直线12的斜率不 存在 2 2 2 当直线1从直线PA转到与y轴平行的直1 m的值是3十我3冠] 故直线的斜率为一工或不存在.] 线PC的位置的过程中，直线【的斜率k 2 2 关键能力·合作探究 从5趋向于正无穷大，即k∈「5，十∞). 素养演练·提升技能 题点一 当直线l从直线PC转到直线PB的位置·L.D[直线l的倾斜角为a,则a∈[0，π)，由 -1≤k<,得-1≤ana<3,aE[典例们 3-0 的过程中，直线1的斜率k从负无穷大开！ 解（1)：k=2户0=2 始增大到-，即及∈（©，] [,)U[x)故选D] 2-1 kMN=-2-(-3) =1,kAB≠kN, 上，直线1的斜率k的取值范国为2.D[令4=45，a=135°，则=1，k= .l1与2不平行. (,-]5,+∞.] 一1，k1>k,,故A错误；易知C错误；令a1· (2)k1=- =a2=90°，则k1,k2不存在，故B错误；由 2,-2-41 答案)-5(2)(，-2]U[5, k1=k知，a1=a2,故D正确.故选D.] =k2 ,l与l平行或重合 +∞) 3.C「如图，直线1过 对点训练 点A(1,2),且不经过 (3)由题意知，11的斜率不存在，且不是y 1.D 因为kpA= 第四象限， 轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴，1 ∥2： 1-(-3) 4 .当直线（的倾斜角为 1二=号，km 0时，斜率k=0； 012x (④由题意知，61=二号品司-1,6-名号 B 当直线经过原点时，斜 =1, -3 率k=2, 图可知，直线1与线 ∴.直线1的斜率的取值范国为[0,2].] ∴.k1=k2,.l1与l2平行或重合， 段AB相交时，直线1的斜率k的取值范 400） [设P(x,0),A点关于x轴对 ∴E,F,G,H四点共线，11与l重合 称的点A'(-2,一3)， 2.4[依题意知直线AC的斜率存在，则· :对点训练 则kAP= 0-(-3) 3 m≠-1.由ke=3kg,得二m+3》二4 x-(-2) -(-1) A[因为点=2品日， 3·”,解得m=4 7-(-3)10 5-(-2)7 所以k1=k2 A′，B,P三点共线， 8+5W3 「设直线，'的倾斜角分别为： 六kp=kAB,即-3。 又用为w时号-号≠片 x十2 所以1与1不重合，所以1与12平行.] a,3,则tana=2,因为直线l绕点A逆时1 9,解得x=0 2.一2[E,F分别为边AC,BC的中点， 针旋转60°得到直线1'，所以3=α十60°，所 以直线1的斜率为k=tan(a十60)= 故P点坐标为（品0 .EF∥AB. tana+tan60° 2+5 8+55.] !5.解(1)由斜率公式可得直线AB的斜率 6r=6u=2。 =-2.] 1-tan atan 60 2-3 1-2√3 11 kAB=-437直线AC的斜率kC- :题点二 题点三 典例](1)解析点A,B,C在同一条 -2-3= 5 典例] 故直线 解（10-二器-2,6 直线上，且三点的横坐标均不相等，则k出 0-3 1-(-1)1 =3=（一3》=3存在， AB的斜率为7，直线 2-(-2)=2, 4-2 k1k2=1,所以1与12不垂直. 之u一6如脚3=自是解得=6 AC的斜阜为号， C 26=-10,6:=28品6-06 (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线： 答案6 -1, 195第二章 a幼 P=20+2w 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 【课标要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探素确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾 斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 【素养要求】1.在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养.2.通过借助图形及 向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)直线的倾斜角 :3.直线的方向向量与斜率的关系 当直线1与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 (1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2) 定 与直线1向上的方向之间所成的角α叫做 义 的直线，其方向向量为P1P2=(x2一x1,y2 直线！的倾斜角 当直线1与x轴平行或重合时，直线1的倾斜角为 9)=)·1费兴)：因t,当直线的 规 .因此，直线的倾斜角α的取值范围为 定 斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k) (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y) 即时小练 (x≠0)时，直线的斜率k= 1.判断正误 即时小练 (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角. ( 1.判断正误 (2)一条直线的倾斜角可以为一30°. ( (1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.( (3)倾斜角为0°的直线有无数条， ( (2)倾斜角为135的直线的斜率为1.( (4)若直线的倾斜角为a,则sina∈(0,1).( 2.已知直线1向上的方向与y轴正向所成的角为： (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k= 15°，则直线1的倾斜角为 tan a. (二)直线的斜率 (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何 1.斜率 直线 () 一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线2.已知两点A(一1,2)，B(3,4),则直线AB的斜 的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k= 率为 () (a≠90). A.2 B.-1 c D.-2 2.过两点的直线的斜率公式 经过两点P(x1y1),P2(x2y2)(x1≠x2)的直3.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向 线的斜率公式是 、 向量为n=(一1，一1)，则y= 33 数学选择性必修第一册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 :2.求图中各直线的倾斜角， 题点一直线的倾斜角 y30 [典例](1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直 线1绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线 120° 11,则直线11的倾斜角为 ( ② ③ A.a+40 B.a-1409 C.140°-a D.当0°≤a<140°时为a+40°，当140°≤a< 180°时为a-140 (2)已知直线1向上的方向与y轴正向所成的： 角为30°，则直线1的倾斜角为 [听课记录] 题点二 直线的斜率 [典例](1)若过点A(4,m),B(2,-3)的直线的 倾斜角是135°，则m= (2)己知直线1过点P(一1,2)，且与以A(-2, -3),B(3,0)为端点的线段相交，则直线1的斜 率k的取值范围为 [听课记录] :/方法技巧/ (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾 斜角的取值范围解答， (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关 键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要 根据情况分类讨论 对点训练 1.已知直线11的倾斜角a1=15°，直线11与l2的 交点为A,直线1和l2向上的方向之间所成的： 角为120°，则直线12的倾斜角为 ! 34 第二章直线和圆的方程 /方法技巧/ 、 [听课记录] 1.求直线斜率的两种类型 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜 角为90°的情况；另一种是已知两点的坐标 求直线的斜率，注意斜率不存在的情况」 2.解决取值范围问题的策略 斜率k的大小与正切函数 之间的关系是用倾斜角α 来联系的，因此，可以由倾 斜角的变化得出斜率的变 化.如图所示，过点P的直线1与线段AB 相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线 PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB 不相交，所以直线1的斜率k的取值范围是 飞PA≤k≤kB·解决这类问题时，可利用数 形结合思想直观地判断直线的位置. 对点训练 1.若点A(-2,-3),B(-3,-2),直线1过点 P(1,1)且与线段AB相交，则直线1的斜率k 的取值范围是 ( .(∞]U[侍+∞ …/方法技巧/ 专-别 判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线， 先判断任意两点连线的斜率是否存在： D (1)若斜率都不存在，则三点共线； (2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等 2.设A(m,-m十3)，B(2,m-1),C(-1,4),若直： 时，三点才共线. 线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可 数m的值为 能相等，也可能都不存在，解决这类问题时，首 3.已知斜率为2的直线1与x轴交于点A,直线1： 先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况 绕点A逆时针旋转60°得到直线1'，则直线'的 讨论，然后下结论， 斜率为 对点训练 题点三三点共线问题 1.若三点A(3,3),B(a,0),C(0,b)(其中a·b≠ [典例](1)若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k) 在同一条直线上，则k的值为 0)共线，则2十方 (2)已知点A(-1,-3),B0.-1).C(4,7),试2.若A2m,号）B(4,-1),C(-4,-m)三点在 判断这三点是否共线， 同一条直线上，则实数m的值为 35 数学选择性必修第一册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设直线1的斜率为k,且-1≤k<√3，则直线15.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). 的倾斜角α的取值范围为 ( (1)求直线AB和AC的斜率； Ap,0,)[元 (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求 直线AD的斜率的变化范围. c.() D.[o. 2.若两直线1，l2的倾斜角和斜率分别为a1,a2 和k1,k2,则下列四个命题中正确的是( A.若a1<a2,则k1<k2 B.若a1=a2,则k1=k2 C.若k1<k2,则1<a2 D.若k1=k2,则a1=a2 3.直线1过点A(1,2),且不经过第四象限，则直 线1的斜率的取值范围为 A.2] B.[0,1] C.[0,2] D.(02) 课堂小结 4.台球运动中的反弹球技法是常 重要思想与方法 见的技巧，其中无旋转反弹球 (①)直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧 是最简单的技法，主球撞击日 密相连； 标球后，目标球撞击台边之后2ò (2)在研究直线的倾斜角和斜率的过程中应用了数形结合 按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着 的思想方法 理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边： 定义 倾斜角 的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样 范围 倾与间化 才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图， 倾斜角与斜率 斜斜的规 角率变律 定义 现有一目标球从点A(一2,3)无旋转射入，经过 斜率 公式 x轴（桌边）上的点P反弹后，经过点B(5,7), 斜率与方向向量的关系 则点P的坐标为 温馨提示 请做课时分层检测（九） 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 【课标要求】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题. 【素养要求】通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养 36