5.1 认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的定义、一般形式及自变量取值范围，课堂导入从生活中抛物线图形切入，通过果园产量、储蓄本息、两数之积三个探究活动抽象函数关系式，逐步归纳定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合实际问题情境，引导学生用数学眼光观察现实（如果园增种橙子树问题），通过归纳共同特征培养数学思维（推理意识），用规范表达式和实例（正方形面积、圆面积）强化数学语言。应用举例与随堂练习帮助学生巩固，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第5章 二次函数 1 认识二次函数 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 导入新课 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫作抛物线。 如何用数学方法研究它、描述它呢？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树能获得的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 探究一 二次函数的定义 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 变 量： 自变量： 橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少、橙子的个数、橙子的质量等； 橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等； 因变量： 橙子的个数、橙子的质量等． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有(100+x)棵树 平均每棵树结(600-5x)个橙子. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。 y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式。 探究二 解：y＝100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？ 解：设其中一个数是x，则另一个数为20-x. 探究三 ∴y=x(20-x) 化简得：y=-x2+20x 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 观察由上述问题得到的关系式: y=-5x²+100x+60000，y=20x²+40x十20，y=-x²+20x，它们有什么共同特征? 想一想 ①这些式子都是最高次数为2的函数； 你能类比一次函数和反比例函数，给出二次函数的定义吗？ ②表达式右边都是关于x的整式． 形如这样的函数叫做二次函数. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 归纳总结 二次函数的定义： 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 你能举出一些二次函数的例子吗？ 例如：①正方形面积A与边长a的关系A=a2； ②圆的面积S与半径r的关系S=πr2； ③自由落体运动物体下落的高度h与下落时间t的关系h=gt2等也是二次函数. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)称为二次函数的一般形式. 其中：a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； 注 意 a,b,c为常数，且a≠ 0（b,c可以为0）; 等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 判断一个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征： 二次函数的判断方法 （1）解析式是关于自变量的整式； 除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式,如 等. （2）自变量的最高次数是2； （3）化简后二次项系数不为0. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)中,自变量x可以取哪些值？ 二次函数自变量的取值范围 议一议 二次函数的自变量的取值范围是所有实数. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)上述实际问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？ ∵x是增种橙子树的棵数， ①y==-5x²+100x+60000； ∴0<x<120,且x为整数. ∴ ， 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ③y=-x2+20x. ③∵x是两数和是20的其中的一个数， ∵x是人民币一年定期储蓄的年利率， ②y=100x²+200x+100; ∴x>0. ∴0<x<20. ∴由题意得 ， 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 二次函数自变量的取值范围： 归纳总结 二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)中,自变量x的取值范围是全体实数；但在实际问题中，二次函数自变量的取值范围需按实际意义（如长度为正、人数为整数等）限定。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 思 考 (1)某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 解：y=20(1+x)2 x 的取值范围：x>0 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm²吗?可能是75cm²吗?还可能是多少?如果设这个矩形的一条边长为xcm，面积为ycm²，那么y与x之间的关系式是什么?x能取哪些值? 解：面积：y=x(20−x)=−x²+20x 得 0<x<20 边长为正数： x>0 20−x>0​ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 面积可能是 100cm ² ，可能是 75cm ² ； 令 x(20−x)=100 −x²+20x−100=0 x²−20x+100=0 解得：x=10 答：可能是 100cm² 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 面积可以是 0～100 之间任意正数。 令 x(20−x)=75 x²−20x+75=0 解得 x1​=5, x2​=15，都在 0<x<20 范围内 答：可能是 75cm² 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例1】下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y＝2(x－1)2＋1；　(2)y＝；　 (3)s＝1－2t2；　 (4)y＝－5x2。 应用举例 解：(1)(3)(4)是二次函数，(2)不是。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】已知函数y＝(m＋2)xm2－2是关于x的二次函数，求m的值。 解：∵y是x的二次函数， ∴m2－2＝2，且m＋2≠0， ∴m＝2。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 B 随堂练习 1．下列函数中，是的二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．＝3x＋1 D． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2.函数 是二次函数的条件是( ) A . 是常数,且 B . 是常数,且 C. 是常数,且 D 为任何实数 C 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3.下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数? y=-+3x², y=x ² -x³+25,y=2 ² +2x, s=1+t+5t ² 。 解：y=-+3x², s=1+t+5t ² 是二次函数 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4.写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算 当a=1，，2时三角形的面积。 解：等边三角形边长为 a，高 h=​​a。 面积公式： S=​×a×h=​​×a×​​a=​​a² 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 当 a=1 时： 当 a= 时： S=​​×1²=​​ S=​​​×(​)²=​​​×3=​ 当 a=2 时： S=​​×2²=​​×4= 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 二次函数 定 义 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. (是常数）. 特殊形式 (是常数） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $