课时分层检测(19) 直线与圆的位置关系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（十九）」 直线与圆的位置关系 :8.某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高为4m …0 基础达标练0… 现有一船宽9m,在水面以上部分高3m,通 1.“a<3”是“直线y=x十4与圆(x-a)2十 行无阻.近日水位暴涨了1.5m,为此，必须 (y一3)2=8相交”的 ( 加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞.（结果精确 A.充分不必要条件 到0.01m) B.必要不充分条件 C.充要条件 9.已知圆C:x2+(-1)=5,直线1：mx-y十 D.既不充分也不必要条件 1-m=0m∈R). 2.(多选)在同一直角坐标系中，直线a.x一y十a (1)判断直线1与圆C的位置关系； =0与圆(x十a)2十y2=a2的位置可能是 (2)设直线1与圆C交于A,B两点，若直线1 的倾斜角为120°，求弦AB的长。 3.圆心为(3,0)且与直线x+√2y=0相切的圆 的方程为 A.(x-√3)2+y2=1B.(x-3)2+y2=3 C.(x-√5)2+y2=3D.(x-3)2+y2=9 4.已知曲线y=1十√4-x与直线y=k(x一2)10.已知圆心C在直线2x一y一2=0上的圆经 十4有两个不同的交点，则实数k的取值范 过点A(-1,2)和B(3,-2),且过点P(3, 围是 一1)的直线1与圆C相交于不同的两点 M,N. A[是+∞) B【子引 (1)求圆C的标准方程； (2)若∠MCN=90°，求直线1的方程. c(3+) D(别 5.由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+y2 1作切线，则切线长的最小值为 ( A.1 B.7 C.2√2 D.3 6.若直线1：kx十y十1=0与圆x2十y2=r2恒 有公共点，则半径r的取值范围是 7.已知圆x2十y2=9的弦过点P(1,2),当弦长 最短时，该弦所在直线的方程为 147 班级 姓名 得分 :5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点， …0 能力提升练 0… PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的 1.直线y=x十b与曲线x=√1一y2有且只有一 两条切线，A,B是切点 个交点，则b满足 (1)求四边形PACB面积的最小值： A.1b=√2 (2)直线上是否存在点P,使∠BPA=60°？ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明 B.-1<b≤1或b=-√2 理由 C.-1≤b<1 D.非以上答案 2.某中学开展劳动实习，学 35- 生加工制作零件，零件的 AVa 截面如图（单位：cm)所示， B 四边形AFED为矩形， AB,CD,FE均与圆O相切，B,C为切点，零 件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tana -专，1anB-子，则该零件的裁面的周长为 cm.(结果保留π) 3.已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y -2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则6.已知圆A:x2+(y+1)2=1,圆B:(x-4)2+ m十n的取值范围是 (y-3)2=1. 4.①圆心C在直线1：2x-7y十8=0上，且 (1)若过圆心A的直线1被圆B截得的弦长 B(1,5)是圆上的点；②圆心C在直线x-2y =0上，但不经过点(4,2)，并且直线4x一3y 为号求直线1的斜率： =0与圆C相交所得的弦长为4；③圆C过 (2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长， 直线11：2x十y十4=0和圆x2+y2十2x-4y ①求动圆圆心P的轨迹方程； 一16=0的交点.在以上三个条件中任选一 ②动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐 个，补充在下面的问题中，并解答. 标；若不经过，请说明理由」 问题：已知在平面直角坐标系xOy中，圆C 过点A(6,0),且 (1)求圆C的标准方程； (2)求过点A的圆C的切线方程. 148由于O,M,N共线时不能作□MONP, 当直线y一k(x一2)十4为圆的切线时，可！ 因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x十 得國心到直线的距离d=3一2=2，解 3)2十(y-4)2=4, /k+1 但应除去两点 号，)和(- 得k=立：当直线y=k(x2)+4过点： B(-2,1)时，k-2+24 4-13 5.解(1)直线AB的斜率k- 由图象可知，当y=k(x一2)十4与曲线有！ 两个不同文点时，是<k≤是，故选D] 所以线段AB的垂直平分线m的斜率.B[切线长的最小值是当直线！三x十I 为1. 上的点与圆心距离最小时取得，易知圆心 线段AB的中点为（受，号） (3,0)到直线的距离d=3-0+1 √2 因此，直线m的方程为y一之 5 =I- 2 2√2，圆的半径r为1，所以切线长的最小： 即x一y一1=0.又圆心在直线1上，所以 值为√d-r2=√8-1=√7.故选B.] 圆心是直线m与直线l的交点 6.[1,十o∞)[将直线kx十y十1=0化简 联立方程组{5一10。解得{x二8 为，点斜式，可得y=一kx一1，，直线经过！ 2x-7y+8=0 (y=2, 定点(0，一1)，且斜率为一k.:直线1和 所以圆心坐标为C(3,2).又半径r=CA 圆C:x2十y2=户恒有公共点，r≥1，即 =√/13， 半径r的取值范圆是[1，十∞).] 则所求圆的方程是(x一3)2+（y一2)27x十2y一5=0[当弦长最短时，该弦所在 =13. 直线与过，点P(1,2)的直径垂直，已知圆心 (2)设线段PQ的中点M(x,y),P(xo, O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直 ), 线的针率-日-2，故所求直线的斜率 则 2 解得∫2=2.x一8， 为一1 ，所以所求直线方程为y一2= %十0 lyo=2y, 2 (x-1),即x+2y-5=0.] 将P(2x-8,2y)代入圆C的方程中，得8.1,22[以水位未涨前 (2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ 的水面AB的中点为 中点M的轨迹方程为x一 11 +(y- 原点，建立平面直角坐 标系，如图所示，设圆 1)2-13 拱所在圆的方程为x +(y一b)2=r2,,圆经过点B(10,0), 课时分层检测（十九）》 基础达标练 C0,4){100+6=产2， (4-b)2=2, 1.B[圆(x-a)2十(y-3)”=(2√2)2的圆t 解得10.5“圆的方程是2+(y 心为(a,3),半径为2√2.若直线x一y十4 r=14.5, =0与圆(x-a)2十(y-3)2=(2√2)2相 +10.5)2=14.5(0≤y≤4)，令x=4.5, 交，则a-3+4<22,解得-5<a<3, 得y≈3.28，故当水位暴涨1.5m后，船身！ 至少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m),} √2 船才能安全通过桥洞.] 所以“a<3”是“直线y=x十4与圆(x-9.解(1)直线1可变形为y-1=m(x一1)， a)2十(y一3)2=8相交”的必要不充分 因此直线1过定点D(1,1),又 条件，] √12+(1-1)2=1√5， 2.AD[圆(x十a)2+y2=a2的圆心C(-a, 0),半径为r=a,圆心C到直线a.x一y 所以，点D在圆C内，则直线1与圆C必 相交 十a=0的距离d=-a2+a ,不妨设d<· (2)由题意知m≠0，所以直线1的斜率k一 a2+1 m,又k=tan120°=-√3，即m=-√5.此1 r,即=a+a<a,化简为1-a< 时，圆心C(0,1)到直线1：√3x十y-√3一1 √a2+1 =0的距离d= -√3 a2十1.即1-2a十a<a2+1.所以2a> √(3)+1 =9又C 0.当a>0时，上式恒成立，即d<r成立， 直线与圆相交，又直线y一ax十a的斜率 的半径r=√5，所以AB=22一= 和戴距均大于零，故A正确，B不正确；当 a0时，上式不成立，则>r成立，直线{ 6( =√17 与圆相离，又直线的斜率和裁距均小于：10.解(1)易求得AB的中点为(1,0)，且 零，故C不正确，D正确.故选A、D] kAB=-1, 3.B由题意知所求圆的半径r= ∴线段AB的中垂线方程为x一y一1！ 3+巨X0=5,故所求圆的方程为(x =0. √/1+2 3)2十y=3.故选B.] 由{0得国心C的金桥为 4.D[曲线y=1+ (1,0), A √4-x可化为2十(y ∴.半径CA=2√2，故圆C的标准方程 -1)2=4(y≥1)，所以 为(.x-1)2+y2=8. (2)当∠MCN=90°时，圆心C到直线1i y=1十√4-x表示以 B 1 的距离为2.若直线1的斜率存在，则设 (0,1)为圆心，2为半径 -2-1012 直线l:y十1=k(x一3)，即kx一y一3k 的圆的上半部分，直线 1=0,∴.圆心C(1,0)到直线1的距离d= y=(x-2)十4恒过定点(2,4)，设为A, 可得图象如图所示. 二2二=2解得及=子小直线1的 k2+1 232 方程为3x-4y一13=0. 若直线！的斜率不存在，则直线1的方程 为x=3,符合题意.综上所述，所求直线1 的方程为x=3或3x-4y一13=0. 能力提升练 [曲线x = √/1一y含有限制条 件，即x≥0，故曲线 并非表示整个单位 圆，仅仅是单位圆在 y轴右侧（含与y轴 的交点)的部分在 同一平面直角坐标系中，画出y一x十b 与曲线x=√1一y2(就是x2十y2=1,x ≥0)的图象，如图所示.相切时，b=一√2， 其他位置符合条件时需一1<b1.故 远B.] 84十6π[以A为原 点，AD为x轴正方 向建立平面直角坐 标系如图所示，则直 D 线AB的方程为：4x 十3y=0,直线CD的 方程为：3x-4y-105=0,直线EF的方程 为：y=12,设圆心为O(a,b),则圆心到直 线AB、直线CD、直线y=12的距离均相 等且等于r,则=4a十b 5 3a-4b-105=12-b,解得a=15,b 5 =0,r=12,易得AB=号=9，CD 4(35-一@)-16，C对应孤长为}圆的周 5 长，故该零件的截面的周长为9十16十24 +35+2=84+6元.] 4 [2十2√2，+∞)[因为m>0,n>0,直线 (m十1)x十(1十1)y-2=0与圆(x-1) 十(y一1)2=1相切，所以圆心C(1,1)到 直线的距离为半径1， 所以 m+1+1+1一2 =1 /(m+1)2十(n+1) 即m十n=√/(m十1)2十(n十1)2.两边 平方并整理得mm=m十n十1.由基本不等 式mn≤ m） 可得n十n十1 n十n) 2 ,即(m十n)2一4(m十n)-4≥0， 解得m十≥2十2√2.当且仅当m=n时等 号成立.] 解选条件① (1)设线段AB的垂直平分线为m,则圆心 C在直线n上且在直线l上，即C是n与 【的交点，易得直线AB的斜率是一1， ∴，直线n的斜率是1，又线段AB的中点 为（） .直线m:x-y-1=0, 由经78”解得{ y=2, ∴.圆心C(3,2)且CA=√13， .所求圆的方程是(x一3)2十(y一2) =13. (2),A在圆C上，kc= 过点A 2 的切线斜率为3 ,过点A的切线方程 (x-6), 是y=2 即3.x-2y-18=0. 选条件②. (1)设所求圆的方程为(x一a)2十(y一b)2 =2,由题意得a=2b,r2=(6-a)2十b, 课时分层检测（二十） 设圆心C到直线4.x一3y=0的距离为d,!基础达 则产=d+2,即4a-36} +4=(61AB[两圆的圆心距为d=√1-0+(-3一0 5 =√10，两圆的半径之和为r十4，因为√10} 一a)2+,将a=2b代入，得b=2或b=1 4,又圆C不经过点(4,2)，∴.a=4,b=2, ≤r十4，所以两圆不可能外切或外离，故： 远AB.」 ,2=8,.所求圆的方程是(x一4)2+(y一 2)2=8. 2.A[由十y+6x+4y=0, ① (2)A在圆C上，kc=一1，∴.过点A的 x2+y2+4x+2y-4=0, ② 切线斜率为1，过点A的切线方程是y3.C ①-②得x十y+2=0.] -6,即x-y-6=0. [两圆的圆心分别为（一2，m),（n, 远条件③. 1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得 (1)设所求圆C的方程为x2十y2+2x一4y /(n+2)2+(-1一n)2=3+2,解得n -16+λ(2x+y十4)=0，把(6,0)代入，得1 =2或一5. λ=一2，.所求圆的方程为x2十y2一2x 4.B[由圆的性质可知，直线AB与直线x 6y-24=0,即(x-1)2十(y-3)2=34. -y十c=0垂直，且线段AB被直线x一yi 十c=0平分， (2).A在圆C上，kAc= ,过点A 3 kB=m二3 -6+1 =-1,∴m=8.,线段AB: 的切线斜率为号∴过点A的切线方程 的中点在直线x一y十c=0上，∴.将线段 y=号(x=6),即5z3y30 AB的中点的坐标 711 -,代入上述 5.解(1)如图，连接 直线方程得c=9,∴.n十2c=8十18=26.]！ PC,由P,点在直线 3.x十4y+8=0上. 5.AD[把圆C:x2+y-6x-8y-k=0 可设P点坐标为 化为(x-3)2+(y-4)2=25十k,则k> (-2-子 一25，圆心坐标为(3,4)，半径为25十； 圆C1:x2十y2=1的圆心坐标为(0,0)，半1 所以S四政彩PACB 径为1.要使圆C1和圆C没有公共点，测 2 SAPAC=2X号X 1CC2|>W√25+k+1或|CC,|< W25+k-1,即5>√25+k+1或5< AP×AC=AP.图为AP2=PC2 √25+k-1,解得-25<k<一9或k>11 一CA=PC2-1,所以当PC2最小 时，AP最小 ,.实数k的取值范周是（一25，一9）U(11, 十∞).满足这一范围的有A和D.故选！ 国为pC=1-+(1+2+子） A、D. 6.(x一6)2十(y士4)2=36[设该圆的标准； -(+ 十9.所以当x=一 时 方程为(x一a)2十(y一b)2=36,因为该圆！ 5 与y轴相切，且与圆(x一3)2十y2=1内！ PCin=9.所以|Ap min=√9-I= 切，所以 ja=6, 解得！ 2√区.即四边形PACB面积的最小值为 1√/(a-3)2+b2=5, 2√2. a=6, 1b=±4 即该圆的标准方程为(x一6)2十！ (2)由(1)知圆心C到P,点距离3为C到1 直线上，点的最小值，若∠APB=60°，需 (y±4)2=36.7 PC一2，这是不可能的，所以这样的，点P·7.3「由平面几何性质知，两相交圆圆心的· 是不存在的. 连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中： 6.解(1)由题意知，直线1的斜率存在，且 圆心A(0,一1)，设直线1的方程为y-k.x1 点则 =一1，解得n=5,(1,3)和 一1，由弦长可得圆心B(4,3)到直线1的： (5,一1)连线的中点为(3,1)在直线x一v 距高为手，即31 4 +c=0上，.3-1十c=0,解得c=-2, /k2+1 5,化简得 .m十c=3. 12k-25k+12=0,解得k=号或k=3 !8.解设圆O,的方程为(x一2)2+(y-1)2 =,因为圆O1的方程为x2十(y十1)2= (2)①由已知可得PA=|PB,故圆心P 4,将两圆的方程相减，即得两圆公共弦： 在线段AB的中垂线上.，直线AB的斜 率为1，，.圆心P所在直线的斜率为一1， AB所在的直线方程为4x十4y十片一8 且该直线过点(2,1)，.圆心P在直线x十 0,作OH⊥AB,H为垂足，则AH= y一3=0上.即动圆圆心P的轨迹方程为· 立AB=2,所以OH=√-A= y-3=0. ②设P(m,3一m),则动圆P的半径为！ √4一2=√2.由圆心O1(0,一1)到直线4.x √PA2+1=√m+(3-m+1)2+1, 十4y十店一8=0的距离为片12-2， ∴动圆P的方程为(x-m)2+(y十m 4√2 3)2=m2+(3-m+1)2+1,即x2+y2 得号=4或r号=20，故圆(O,的方程为(.x 6v-8-2n(x-y-1)=0. -2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2 x=2+3② =20. 由{十,6y8=0,得 2 9.解(1)设A(xo,y),AB中点M(x,y), x-y-1=0, (y=1+32 x=十4 +2{6=2x-4, 2 x232 1yo=2y-2, 故动P过定点（2+ y= 2, (y-1-3 代入圆C:(.x+2)2+y2=16, 可得圆H(x-1)2十(y-1)2=4. (2)由题知，圆心C为（一2,0），半径r1=1 4,由(1)知圆心H为(1,1)，半径r2=2,1 233 则圆心距为d=√/(1+2)2+(1一0) =√/10， :r-n=2<d<r1十r=6,两个圆 相交， 能力提升练 ,AD[因为圆)的圆心为(0,0)，半径为 √5，M为弦AB的中，点，AB=2,所以O)M =5-1=2,设M(x,y),则√x2+y= 2,所以，点M的轨迹方程为x十y=4.即 M在圆心为(0,0)，半径为n1=2的圆上. C(2√2，a),D(2√2，a十2)都在直线x 2√2上，且CD=2,设线段CD的中点为 N,则N(2√2，a十1)，以N为圆心，半径为 r2一1的圆与圆x2十y-4外离时，始终 有∠CMD为锐角，所以ON √8+(a十1)>m1十2=3，即(a+1)2> 1,a十1>1，所以a十1<-1或a+1> 1,即a<-2或a>0.故选AD.] ,ACD[由点B(-1,3),点C(4,-2)可得 线段BC的中点为（受，专 1）,且直线BC 的斜率kx=3二2--1，所以线段 -1-4 BC的垂直平分线的方程为y一号 =x一 号，即x一v-1=0.又圆M:(x-3)2+ =r2的圆心为(3,0)，直线x一 一1=0与 圆M相切，所以，点(3,0)到直线x一y一1 =0的距离为31-反=，，所以圆M: √2 (x-3)2十y=2.对于A、B,圆M的圆心 (3,0)到直线x一y十3=0的距离d= 3+3=32,所以圆上的点到直线x一y √② 十3=0的最小距离为3√2一√2=2√2，最 大距离为3√2十√2=4√2，故A正确，B错 误；对于C,令x=x十√3y,即x十√3y一 =0,当直线x十√3y一x=0与圆M相切 时，圆心(3,0)到直线x十√3y一之=0的距 离为3之=√2，解得x=3十22或z 3一2√2，则x十√3y的最小值是3一2√2， 故C正确：对于D,圆(x一a一1)2十(y一 a)2=8的圆心为(a十1，a),半径为22 若该圆与圆M有公共点，则2√2一√2 √(a+1-3)'+a≤2√2+√2，即2 (a-2)2十a2≤18，解得1-2√2a1十 2√2，故D正确.故选A、C、D.] {8,8-2√5,8十2√5}[由题，则直线 AB为2x+y+8-a=0, 当∠PAB=90°或∠PBA=90°时，设C 到AB的距离为d,因为△ABP为等腰直 角三角形，所以d= ·AB,即d= √8-d严，所以d=2,所以8-a =d= V/22+12 2,解得a=8士2√5：当∠APB=90°时，AB 经过圆心C1,则8一a=0,即a=8.] 解(1)由圆O与圆C方程相减可知，相 交弦PQ的方程为3.x十y-3=0.点(0,0) 到直线PQ的距离d= i0 PQ= 3 31 24-（) 5 (2).'MC=√2，NC=2√2 SAMNC -|MC||NC|sin∠MCN= 2sin∠MCV,