课时八 全称量词与存在量词的概念 课件-2026年初升高数学提前课（人教A版必修第一册）

课时八　全称量词与存在量词的概念 第一章　集合与常用逻辑用语 1 导入新课 有一些陈述句里加了一些对变量的取值范围进行限定的词语,例如:所有的自然数都是正数,有的无理数的平方还是无理数,有的人能活到一百多岁.这些语句都是命题吗?如果是命题,又怎么判断它们的真假呢? 你能举出类似的例子吗? 精彩课堂 全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. 全称量词命题:含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 全称量词命题的符号表示:“对 M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).读作“对任意x属于M,p(x)成立”. 对给定的全称量词命题,如何判断它的真假呢? 例1、下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出量词并判断其真假． (1)凸多边形的外角和等于360°； 【解】　是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (2)∀x∈R，x2>0； 【解】是，有全称量词“∀”，假命题． (3)矩形的对角线相等． 【解】是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． 变式：将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________． 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 判断全称量词命题真假的一般方法: 如果对集合M中每一个x,p(x)都成立,那么“∀x∈M,p(x)”为真命题;如果在集合M中存在一个x0,使得p(x0)不成立,那么“∀x∈M,p(x)”为假命题. 即要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题. 存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. 存在量词命题:含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 存在量词命题的符号表示:存在量词命题“存在 M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x). 对给定的存在量词命题,如何判断它的真假呢? 例2、下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出量词并判断其真假． (1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0； 【解】　是，存在量词是“存在一个”；因为存在一个实数对(－1，－2)，使得2×(－1)＋3×(－2)＋3<0，所以命题“存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0”是真命题． (2)∃x∈R，(2x－3)2≥0； 【解】是，存在量词是“∃”；因为∀x∈R，(2x－3)2≥0，所以命题“∃x∈R，(2x－3)2≥0”是真命题． (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除． 【解】是，存在量词是“有些”；因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题． 存在量词命题判断真假的一般方法: 如果在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立,那么“∃x∈M,p(x)”为真命题;如果在集合M中使p(x)成立的元素x不存在,那么“∃x∈M, p(x)”为假命题. 即要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题. 例题探究 1．下列是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 解析：B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C. 2．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3成立 B．对有些x∈R，使得x2＞3成立 C．任选一个x∈R，使得x2＞3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 解析：A，B，D都是存在量词的表述方法，C为全称量词，故选ABD. 答案：ABD 3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1　 　B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 解析：命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1. 答案：B 4．已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0. 答案：m≥0 课堂练习 1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∃x>1，x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析：对于A，是存在量词命题，故A错误；对于B，是假命题，故B错误； 对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D错误． 答案：C 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题且是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．故选B. 3．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A. ∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 解析：∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，∴∀x∉Q，有x∉P，故B正确． 答案：B 4．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4＞0 B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0 C．∃x∈N，使x2≤x D．不存在x∈N*，使x为29的约数 解析：∀x∈R，2x2－3x＋4＞0，因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，故A正确；∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0，若x＝－1，则2x＋1＝－1＜0，故B错误；∃x∈N，使x2≤x，取x＝1∈N，有1≤1成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误．故选AC. 答案：AC 5．下列命题为真命题的是(　　) A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解 B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数 解析：x－2＝0⇒x＝∉Q，故A错误；因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；因为2＝1×2，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C. 学习目标 核心素养 1.理解全称量词、全称量词命题的定义． 2.理解存在量词、存在量词命题的定义． 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 1.数学抽象：全称量词命题、存在量词命题的概念． 2.逻辑推理：全称量词命题、存在量词命题的真假判断；根据命题的真假求参数的取值(范围). 小结： 课 时 结 束 $