2026-2027学年高一上学期初升高数学提前课+课时七+充要条件

课时七　充要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 1 导入新课 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“___________”，称这个命题为原命题的逆命题． 若q，则p 精彩课堂 1.概念的引入 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题? (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题? (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; 逆命题：若两个三角形全等,则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; 逆命题：若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; 真 真 假 真 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题? (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; 真 假 真 真 上述命题中的条件是结论的充分条件还是必要条件? 既是充分条件又是必要条件的互相既是充分条件又是必要条件. 2.概念的形成 充要条件:如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 如何判断p是q的充要条件? 根据充要条件的定义,要判定p与q互为充要条件只要判断出p⇒q,且q⇒p,即p⇔q即可,其实质都是判断命题“若p,则q”与它的逆命题的真假,若都为真,则p与q互为充要条件. 3.概念的深化 (1)若p⇔q,则p是q的充要条件,p唯一吗?请举例说明. (2)我们知道判定定理和充分条件的关系,性质定理和必要条件的关系,那么充要条件和什么有关系呢?试给出“四边形是平行四边形”的充要条件并分析一下. 数学定义从充分性和必要性两个方向刻画数学对象,不同的充要条件从不同的角度刻画了一个数学对象. 根据已学的知识,你认为“若p,则q”的命题中p与q的关系有哪些? 例题探究 例1、命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________________． 答案：若x>0，则x>1 例2、命题“正三角形都相似”的逆命题是________________________． 解析：原命题：若三角形是正三角形，则这些三角形相似． 逆命题：若三角形相似，则这些三角形是正三角形． 答案：若三角形相似，则这些三角形是正三角形 例3、在下列各题中，试判断p是q的什么条件（充分必要性）． (1)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B； 【解】　由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件． (2)p：A⊆B，q：A∪B＝B； 【解】若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件． (3)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3. 【解】因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件． 例4、“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之， 由x(y－2)＝0，得x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B. 例5、若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为A是B的充分条件，所以A⇒B　①； 因为D是C的必要条件，所以C⇒D　②； 因为C是B的充要条件，所以C⇔B　③. 由①③得A⇒C　④，由②④得A⇒D，所以D是A的必要条件．故选B. 课堂练习 1.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【证明】①充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. ②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 综上：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 2.若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，“若x>6，则x>a”为真命题，故实数a的取值范围是{a|a≤6}． 答案：{a|a≤6} 3．“x2＋(y－2)2＝0 ”是“x(y－2)＝0 ”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若x2＋(y－2)2＝0，可得x＝0，且y－2＝0，可得x(y－2)＝0，但当x(y－2)＝0时，无法推出x2＋(y－2)2＝0，如x＝0，y＝3.∴x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件．所以B选项是正确的． 4．已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围________． 解析：设A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝x|x<－4(m)}， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－4(m)≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围为{m|m≥8}． 答案：{m|m≥8} 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义； 2理解数学定义与充要条件的关系． 1.数学抽象：充要条件的概念． 2.逻辑推理：充要条件的判定及证明． 小结： 课 时 结 束 $