2026-2027学年初升高数学提前课+课时九+全称命题与存在命题的否定

课时九　全称命题和存在命题的否定 第一章　集合与常用逻辑用语 1 导入新课 数学命题中常出现“全部”“所有”“一切”“任何”“任意” “每一个”与“存在着”“有些”“某个”“至少有一个”等词语, 在逻辑用语中分别称为全称量词与存在量词,由这些量词构成的命题 称为全称量词命题与存在量词命题,那么你会对一个命题进行否定吗? 对这样含有一个量词的命题,如何进行否定呢? 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.全称量词命题的否定 如何把真命题“56是7的倍数”变成假命题? 如何把假命题“56是9的倍数”变成真命题? 一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定. 一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假. 探究1 写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)∀x∈R, x+≥0. 你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化吗? 这三个命题都是全称量词命题,即具有形式“∀x∈M, p(x)”. 否定：并非所有的矩形都是平行四边形. 否定：并非每一个素数都是奇数. 否定：并非所有的x∈R, x+≥0. 探究1 写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)∀x∈R, x+≥0. 你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化吗? 这三个命题都是全称量词命题,即具有形式“∀x∈M, p(x)”. 否定：存在一个矩形不是平行四边形. 否定：存在一个素数不是奇数. 否定：∃x∈R, x+<0. 从命题形式看,全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 全称量词命题的否定:一般地,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,就可以得到一个存在量词命题,这个存在量词命题称为此全称量词命题的否定. 全称量词命题的否定形式:一般地,对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论: 全称量词命题:∀x∈M,p(x), 它的否定:∃x∈M,p(x). 例1、写出下列命题的否定，并判定其真假． (1)所有能被5整除的整数都是奇数； 【解】存在一个能被5整除的整数不是奇数．真命题． (2)p：∀x∈N*，2x>0. 【解】¬p：∃x∈N*，2x≤0.假命题． 变式：写出下列全称量词命题的否定． (1)∀n∈Z，n∈Q； 解：∃n∈Z，n∉Q. (2)每个平行四边形都是中心对称图形． 解：存在一个平行四边形不是中心对称图形． 2.存在量词命题的否定 探究2 写出下列命题的否定: (1)存在一个实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3)∃x∈R, x2-2x+3=0. 探究2 写出下列命题的否定: (1)存在一个实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3)∃x∈R, x2-2x+3=0. 你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化吗? 这三个命题都是存在量词命题,即具有形式“∃x∈M,p(x)”. 否定：不存在一个实数,它的绝对值是正数. 否定：没有一个平行四边形是菱形. 否定：不存在x∈R, x2-2x+3=0. 探究2 写出下列命题的否定: (1)存在一个实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3)∃x∈R, x2-2x+3=0. 你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化吗? 这三个命题都是存在量词命题,即具有形式“∃x∈M,p(x)”. 否定：所有实数的绝对值都不是正数. 否定：每一个平行四边形都不是菱形. 否定：∀x∈R, x2-2x+3≠0. 从命题形式看,存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 存在量词命题的否定:一般地,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,就可以得到一个全称量词命题,这个全称量词命题称为此存在量词命题的否定. 存在量词命题的否定形式:一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论: 存在量词命题:∃x∈M,p(x), 它的否定:∀x∈M,p(x). 例2、写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0； 【解】　命题的否定：∃x∈R，|x|＋1－x＝0，假命题． (2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； 【解】命题的否定：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点，假命题． 变式：写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有些实数的绝对值是正数； 解：命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题． (2)被8整除的数能被4整除． 解：命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 例3、命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1. 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 例题探究 例4、对于某次考试，命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是(　　) A．所有学生都不会做第1题 B．存在一个学生不会做第1题 C．存在一个学生会做第1题 D．至少有一个学生会做第1题 解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题．故选B. 例5、已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a的取值范围是________；若命题q：“∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a的取值范围是________． 解：将命题p转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1. 命题q：存在x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，就是x≥a在x∈{x|1≤x≤4}有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4. 答案：a≤1　a≤4 课堂练习 1.写出下列命题的否定，并判断其真假． “末位数字是0或5的整数都能被5整除” 解：命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除, 是假命题． 2.（多选）关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 解：命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题． 3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 解析：由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，故选C. 答案：C 4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　) A．命题¬p是真命题 B．命题p是存在量词命题 C．命题p是全称量词命题 D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C. 答案：C 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　　　　　B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：因为p为假命题，所以¬p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D. 答案：D 6．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题， ∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题， ∴方程x2－4x＋a＝0有实数根， 则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 答案：{a|a≤4} 小结： 课 时 结 束 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1.数学抽象：全称量词命题和存在量词命题的否定． 2.逻辑推理、数学运算：根据含量词命题的否定求参数． $