1.2 练习1 空间向量基本定理 课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，以"概念辨析-线性表示-综合应用"为路径，分层设计基础巩固与能力提升题，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基底概念及判定|单选（1、3、5）辨析基底构成条件，强化抽象能力| |中档|向量线性表示|填空（10、11）结合几何体求线性组合，发展几何直观| |提升|综合应用与证明|解答题（13、16）平行六面体及三棱锥情境，深化逻辑推理|

1.2 练习1　空间向量基本定理 1. 下列说法中，正确的是(　C　) A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 直线的方向向量有且仅有一个 【解析】 对于A，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，当三个不共线的向量共面时，不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底，空间的基底不只有一个，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，它们是共线向量，D错误. 2. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中，与相等的向量是 (　A　) A. ab＋c B. ab＋c C. ab＋c D. ab＋c 【解析】 ()＝cba. 3. 给出下列两个命题： ①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线； ②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面. 其中正确的命题是(　B　) A. ① B. ② C. ①② D. 都错误 【解析】 ①对空间任意向量c，都有c与a，b共面，则必有a与b共线，∴①错误；②∵不能构成空间的基底，∴必共面，故存在实数λ，μ，使＝λμ，∴O，A，B，C四点共面，∴②正确. 4. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　A　) A. ，－1， B. ，1， C. ，1， D. ，1， 【解析】 由题意得d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)·e2＋(x－y＋z)e3， ∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得 5. 已知空间四点O，A，B，C，若{}是空间的一个基底，则下列说法中，错误的是(　B　) A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 【解析】 ∵{}是空间的一个基底，∴非零向量不共面，即O，A，B，C四点不共面，∴A，C，D说法正确，B说法错误. 6. 已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中，能使向量成为空间的一个基底的是(　C　) A. B. C. D. ＝2 【解析】 对于A，由＝xyz (x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知共面；对于B，D，易知共面，C正确. 7. 已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，则等于(　B　) A. B. () C. () D. 【解析】 如图所示，()＝·()＝(). 8. (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能作为空间基底的是(　BCD　) A. {a，b，x} B. {x，y，z} C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c} 【解析】 借助长方体进行判断，如图所示，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，a＋b＋c也不共面. 9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，O1为AC的中点，＝a，＝b，＝c，则(　AB　) A. ＝a＋b＋c B. ab＋c C. ab＋c D. ab＋c 【解析】 由题意知，{a，b，c}构成空间向量的一个基底，()＝()＝c＋(a＋b)，A正确；∵O为A1C1的中点，∴()＝()＝c(a＋b)＝cab，B正确；连接BD(图略)，()＝()＝－c(b－a)，C错误；，D错误. 10. 设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是　a⊥b　.  【解析】 由题意得，a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2)，∵a·b＝－6＋8－2＝0，∴a⊥b. 11. 如图所示，M为OA的中点，{}为空间的一个基底，＝xyz，则有序实数组(x，y，z)＝ 　.  【解析】 ，∴有序实数组(x，y，z)＝. 12. (2025·辽宁沈阳期中)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图所示，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝2xyz，则x＋y＋z＝　1　.  【解析】 ()＝·＝2xyz，∴解得∴x＋y＋z＝1. 13. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. (1)用基底{a，b，c}表示向量； (2)化简，并在图中标出化简结果. 解： (1)＝a－b＋c. ＝－ab＋c. ＝a(b＋c)＝abc. (2)()＝， 如图所示，连接DA1，则即为所求(答案不唯一). 14. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点. (1)用向量a，b，c表示； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值. 解： (1)如图所示，＝a－b－c，()()＝(a－c). (2)()＝()＝(－c＋a－b－c)＝ab－c，∴x＝，y＝，z＝－1. 15. (2025·安徽亳州阶段练习)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝，则A1C＝ 　.  【解析】 ， ∴||2＝||2＝||2＋||2＋||2＋2·2·2·＝1＋1＋22＋2×1×1×cos2×1×2×cos2×1×2×cos＝2，∴A1C＝. 16. (2024·东营一中检测)如图所示，在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m＝n＝t，证明：为定值，并求出该定值. 证明： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 由题意，可令{}为空间的一个基底， ()＝()()＝. ∵点D，E，F，M共面，∴存在实数λ，μ使得＝λμ，即＝λ()＋μ()， ∴＝(1－λ－μ)λμ＝(1－λ－μ)mλnμt，由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 练习1　空间向量基本定理 1. 下列说法中，正确的是( 　) A. 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 直线的方向向量有且仅有一个 2. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中，与相等的向量是 ( 　) A. ab＋c B. ab＋c C. ab＋c D. ab＋c 3. 给出下列两个命题： ①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线； ②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面. 其中正确的命题是( 　) A. ① B. ② C. ①② D. 都错误 4. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( 　) A. ，－1， B. ，1， C. ，1， D. ，1， 5. 已知空间四点O，A，B，C，若{}是空间的一个基底，则下列说法中，错误的是( 　) A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 6. 已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中，能使向量成为空间的一个基底的是( 　) A. B. C. D. ＝2 7. 已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，则等于( 　) A. B. () C. () D. 8. (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，能作为空间基底的是( 　) A. {a，b，x} B. {x，y，z} C. {b，c，z} D. {x，y，a＋b＋c} 9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，O1为AC的中点，＝a，＝b，＝c，则( 　) A. ＝a＋b＋c B. ab＋c C. ab＋c D. ab＋c 10. 设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是 .  11. 如图所示，M为OA的中点，{}为空间的一个基底，＝xyz，则有序实数组(x，y，z)＝ .  12. (2025·辽宁沈阳期中)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图所示，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝2xyz，则x＋y＋z＝ .  13. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. (1)用基底{a，b，c}表示向量； (2)化简，并在图中标出化简结果. 14. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点. (1)用向量a，b，c表示； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值. 15. (2025·安徽亳州阶段练习)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝，则A1C＝ .  16. (2024·东营一中检测)如图所示，在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m＝n＝t，证明：为定值，并求出该定值. 学科网（北京）股份有限公司 $