2.4圆的方程课后练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课后训—圆的方程- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 求圆的方程】 （待定系数法） 1．求满足下列条件的圆的方程： (1)经过直线与的交点，圆心为点； 【答案】(2) 【详解】(2)圆心为点，设圆的方程为：， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 因为圆过交点，所以，解得， 所以圆的方程为： (2)经过，两点，且圆心在直线上； 【答案】(3) 【详解】(3)设圆的方程为：， 圆心坐标为，在直线上，所以①， 又圆过点， 所以②，③， 联立①②③，得， 所以圆的方程为： (3)经过，，三点． 【答案】 【详解】设圆的方程为：， 因为圆经过点， 则，解得， 所以圆的方程为：， 即 （几何关系） 2．已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式及圆心与直径的位置关系即可求解. 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 3．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，由点到直线的距离公式求出半径，然后可得. 【详解】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为. 故答案为： 4．（1）若圆关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上， 则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意. 故答案为：. （2）求圆关于直线的对称圆方程. 【答案】 【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程. 【详解】由可得， 故圆心坐标为 ，半径为1， 设点P关于直线的对称点为 ， 则有 ，解得，故 ， 所以圆关于直线的对称圆的方程为：. 【题组二 圆的一般方程与标准方程的互化】 5．（多选）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．圆M的圆心为 B．圆M经过点 C．圆M的半径为25 D．圆M不经过第二象限 【答案】AD 【分析】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项A、C的正确性；令圆的方程的和，求出圆被x轴和y轴截得的弦长，判断选项B、D的正确性． 【详解】对于选项A、C， 圆M的一般方程为， 则圆的标准方程为． 所以圆的圆心坐标，半径为5． 所以选项A正确，选项C不正确； 对于选项B，将代入圆的方程，不满足，所以选项B错误； 对于选项D，令中的， 得或， 所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D正确． 故选：AD． 6．已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 【题组三 二元二次方程与圆的关系】 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆心为的圆 B．方程表示圆心为的圆 C．方程表示半径为的圆 D．方程表示半径为的圆 【答案】AC 【分析】由圆的方程的满足条件逐项判断即可. 【详解】由知方程表示圆心为的圆，A正确； ，当时表示圆，当时表示点，当不表示任何图形，B错误； 因为，所以方程表示圆， 方程可化为，所以圆半径，C正确； 方程可化为表示点，不是圆，D错误． 故选：AC 【题组四 圆过定点】 8．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______. 【答案】、 【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标. 【详解】由由得，故，解得或. 故填：、. 9．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【题组五 圆的轨迹方程】 10．到两定点和的距离的比等于2（即），则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】根据题设求出的表达式，建立方程并化简即可得出轨迹方程. 【详解】依题意，， 代入得， 整理可得，化简得， 则动点的轨迹方程为. 故答案为： 11．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 12．已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式，整理等量关系，代入圆的方程，可得答案. 【详解】设线段的中点，， 则由题意得，且，即， 所以，即， 所以线段的中点的轨迹方程为． 故答案为：. 13．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $课后训一圆的方程 日期：2025.时长：50-60分钟/次 【题组一求圆的方程】 (待定系数法) 1.求满足下列条件的圆的方程： (1)经过直线x+3y-9=0与3x-2y+6=0的交点，圆心为点C(-1,1): (2)经过M(1,-4)，N(3,-2)两点，且圆心在直线y=3x-5上： (3)经过E(0,1),F(-3,2),G(1,4)三点. 第1页 (几何关系) 2.己知点M(2,0),N(6,4),，则以线段MN为直径的圆的圆心坐标为() A.（2,2) B.(2,4 C.（8,4 D.（4,2) 3.以点(-3,1)为圆心，且与直线x+3y+10=0相切的圆的方程是 4.(1)若圆C:x2+y2+mx+4y-1=0关于直线y=3x+1对称，则m= 第2页 (2)求圆x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程. 【题组二圆的一般方程与标准方程的互化】 5.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是() A.圆M的圆心为(4，-3) B.圆M经过点(3,2) C.圆M的半径为25 D.圆M不经过第二象限 6.己知圆C与圆D:x2+y2-4x-2y+3=0关于x轴对称.则圆C的标准方程为一 第3页 【题组三二元二次方程与圆的关系】 7.(多选)下列说法正确的是() A.方程x2+y2-2ax-b2-1=0表示圆心为(a,0)的圆 B.方程x2+y2+2x-b2+1=0表示圆心为(a,1)的圆 C.方程x2+y2-y-9=0表示半径为厘的圆 D.方程x2+y2-2x-4y+5=0表示半径为5的圆 【题组四圆过定点】 8.对任意实数m,圆x2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒过定点，则其坐标为 9.点P(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，0是坐标原点，则以0P为直径的圆经过定点(） A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1) 第4页 【题组五圆的轨迹方程】 10.P(xy)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2（即器=2），则动点P的轨迹方程 是一 11.已知z∈C,且z-1=1,1为虚数单位，则z-2i的最大值是() A.5+1B.5-1C.2 D.5 12.已知点P在圆(x-2)2+y2=1上运动，0为坐标原点，则线段0P的中点的轨迹方程为 第5页 13.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3,B(3,3)两点. (1)求圆C的方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0),点Q满足PM=3QM,求点Q的轨迹方程. 第6页