3.1 练习3　椭圆的简单几何性质 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层覆盖椭圆几何性质，从概念辨析到综合应用，培养运算能力与推理意识，适配新授课基础巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|离心率、短轴长、标准方程|第1题直接考查定义与离心率计算，夯实概念理解| |中档|综合几何性质、多选型问题|第9题结合圆柱截面情境，发展几何直观与空间观念| |拔高|存在性问题、综合证明|第14题探究焦点三角形条件，提升逻辑推理与模型意识|

3.1 练习3　椭圆的简单几何性质 1. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则该椭圆的短轴长为(　A　) A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】 由题知e＝，2a＝12，可得a＝6，c＝2，∴b＝＝4，故椭圆的短轴长为2×4＝8. 2. (2026·甘肃模拟) 椭圆的离心率为，则 ( D　) A. 2 B.  C. 4 D.  【解析】 椭圆方程，焦点在x轴上，令，其中，，离心率，则，代入得，，，解得，又，故.故答案为：D. 3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为2，则该椭圆的方程为(　C　) A. y2＝1 B. y2＝1 C. ＝1 D. ＝1 【解析】 由题意可知可得则b2＝9－2＝7，∴该椭圆的方程为＝1. 4. （2026春·金沙县期中）焦点在x轴上的椭圆经过P（－4，0），Q（2，），则下列说法正确的是( D 　) A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为2 D．离心率e＝ 【解析】 设椭圆的方程为（a＞b＞0），因为椭圆过点P（－4，0），Q（2，），所以，解得a＝4，b＝2，所以椭圆的长轴长为2a＝8，短轴长为2b＝4，故选项A和B错误；由c²＝a²－b²＝4²－2²＝12，知c＝2，所以椭圆的焦距为2c＝4，故选项C错误； 椭圆的离心率e＝，故选项D正确．故选：D． 5. 如图所示，把椭圆＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|等于(　B　) A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【解析】 设椭圆的右焦点为F'，由a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|＝|P9F'|，|P2F|＝|P8F'|，|P3F|＝|P7F'|，…，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(|P9F'|＋|P9F|)＋(|P8F'|＋|P8F|)＋(|P7F'|＋|P7F|)＋(|P6F'|＋|P6F|)(|P5F'|＋|P5F|)＝9a＝18. 6.  (2025高二下·柳州开学考) 若椭圆的两个焦点将长轴三等分，则它的离心率是 (　B　) A.  B.  C.  D.  【解析】 设椭圆的长轴长为，焦距为，由题意可得，即，则该椭圆的离心率. 故答案为：B.. 7. 椭圆＝1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围是(　C　) A. B. C. D. 【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴5a＞4a2＋1，解得＜a＜1，又e＝≤，当且仅当a＝时，等号成立，∴椭圆的离心率的取值范围是. 8. (多选)已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(4，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的标准方程可以是(　BC　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 【解析】 当椭圆C的焦点在x轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故a＝4，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a＝2×2b，即b＝2，∴椭圆C的标准方程为＝1；当椭圆C的焦点在y轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故b＝4，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a＝2×2b，即a＝8，∴椭圆C的标准方程为＝1.综上，椭圆C的标准方程为＝1，或＝1. 9. (多选) (2025高二上·黔西南期中) 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则(　ACD　) A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【解析】 A、因为圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，则，故A正确； B、短轴长，则，离心率，故B错误；C、以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为，故C正确；D、椭圆上的点到焦点的距离的最小值是，故D正确. 10. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点B且与椭圆＝1有相同的焦点，则E的离心率为 　.  【解析】 椭圆＝1的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1).设椭圆E的标准方程为＝1(a＞b＞0)，∵|BF1|＋|BF2|＝＝4，则2a＝4，即a＝2，∴椭圆E的离心率e＝. 11. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 x2＝1　.  【解析】 9x2＋4y2＝36可化为＝1，可知椭圆焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则c＝，又由2b＝2，得b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，则椭圆的标准方程为x2＝1. 12. 椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 　.  【解析】 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝，∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，∴≤2c，e≥.又e＜1，∴椭圆离心率的取值范围是. 13.  (2025高二上·平阳月考) 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的短轴长是2，离心率是. (1) 求椭圆方程. (2) 倾斜角为45°的直线l经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于A, B两点，求弦长. 解： (1) 设椭圆方程为，则，解得，椭圆方程为. (2) ：由(1)左焦点为，直线l方程为， 由，解得或，即， 所以 14. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点. (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 【解析】 (1)连接PF1，由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝cc，椭圆C的离心率e＝1. (2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在， 则|y|·2c＝16，·＝－1，＝1，即c|y|＝16①，x2＋y2＝c2②，＝1③.由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4. 由②③得x2＝(c2－b2)，∴c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4，∴当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 15. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　A　) A. B. C. D. 【解析】 △MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|，∵△MF1F2的内切圆半径为，∴△MF1F2的面积可表示为(2a＋2c)×，∴×2c×|yM|＝(2a＋2c)×，解得|yM|＝.∵|yM|≤b，∴≤b，两边平方得≤b2，又b2＝a2－c2，∴5c2＋2ac－3a2≤0，∵e＝，∴不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，可得0＜e≤. 16. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率是，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)，点F2在线段PF1的垂直平分线上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如果圆E：y2＝r2(r＞0)上的点均在椭圆C内部(包括边界)，求圆E的半径的最大值. 解： (1)由椭圆C的离心率e＝，得，其中c＝，椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).连接PF2，∵F2在线段PF1的垂直平分线上，∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝(2－c)2＋()2，可得c＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的标准方程为y2＝1. (2)圆E：y2＝r2(r＞0)的圆心为E，设M(x0，y0)是椭圆C上任意一点，连接ME， 则＝1，|ME|＝，∴|ME|＝(≤x0≤)，当x0＝1时，|ME|min＝，∴圆E的半径的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 练习3　椭圆的简单几何性质 1. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则该椭圆的短轴长为( 　) A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2026·甘肃模拟) 椭圆的离心率为，则 ( 　) A. 2 B.  C. 4 D.  3. 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为2，则该椭圆的方程为( 　) A. y2＝1 B. y2＝1 C. ＝1 D. ＝1 4. （2026春·金沙县期中）焦点在x轴上的椭圆经过P（－4，0），Q（2，），则下列说法正确的是( 　) A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为2 D．离心率e＝ 5. 如图所示，把椭圆＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|等于( 　) A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 6.  (2025高二下·柳州开学考) 若椭圆的两个焦点将长轴三等分，则它的离心率是 (　　) A.  B.  C.  D.  7. 椭圆＝1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围是( 　) A. B. C. D. 8. (多选)已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(4，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的标准方程可以是( 　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 9. (多选) (2025高二上·黔西南期中) 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则(　　) A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 10. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点B且与椭圆＝1有相同的焦点，则E的离心率为 .  11. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 .  12. 椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 .  13.  (2025高二上·平阳月考) 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的短轴长是2，离心率是. (1) 求椭圆方程. (2) 倾斜角为45°的直线l经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于A, B两点，求弦长. 14. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点. (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 15. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是( 　) A. B. C. D. 16. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率是，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)，点F2在线段PF1的垂直平分线上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如果圆E：y2＝r2(r＞0)上的点均在椭圆C内部(包括边界)，求圆E的半径的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $