精品解析：山东省淄博市博山区2025-2026学年八年级下学期末数学试题（五四制）

初三数学试题 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（ ） A. 中心对称 B. 位似 C. 平移 D. 旋转 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移. 2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式被开方数为非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 3. 如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标，得出，，再结合菱形的性质，利用勾股定理，得出，即可得解． 【详解】解：、两点的坐标分别是，， ，， 四边形为菱形， ，， ， 菱形的周长为． 4. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 5. 在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（ ） A. ①处应添加对角相等 B. ②处应添加对角线互相垂直 C. ③处应添加有一组邻边相等 D. ④处应添加有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形． 【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意． 6. 某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意； C、由二次根式有意义的条件可知，则，原式计算正确，不符合题意； D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，则，原式计算正确，不符合题意； 7. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 8. 把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（ ） A. 10 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：原方程为 ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 10. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，根据折叠的性质和正方形，矩形的性质分别计算相应线段的长，再计算①②③中矩形的宽与长的比值，④中线段的比值即可解答． 【详解】解：①设，则，， 在矩形中，，故矩形不是黄金矩形，故①错误． 在中，，， ． ． ． ， 在矩形中，， ∴矩形为黄金矩形，故②正确． ， 在矩形中，， ∴矩形为黄金矩形，故③正确． ，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分． 11. 计算=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 12. 如图，四边形四边形，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，根据相似图形的对应角相等求出的度数，再根据四边形内角和为360度列式求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：或，， ． 14. 如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 【答案】80 【解析】 【分析】根据平行线与折叠的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴． 15. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得： ， 解得，（舍去）． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 17. 对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 18. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质可得，根据垂线段最短可知当时最短，即最小，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可． 【详解】 解：如图，连接，  ，，，  ，  四边形是矩形，  ． 当时，有最小值，此时有最小值， 在中，， ∴．  ，  ． 即的最小值为． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 化简、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） ，. 【解析】 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解：    或 解得，． 20. 已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使； （2）连接，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ____________________， 四边形是平行四边形． 平分， ____________________． ， ____________________． ，平行四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；； 【解析】 【分析】掌握角平分线的尺规作图方法，以及利用圆规截取等长线段的方法，理解角平分线的定义和两直线平行的性质是解题的关键． （1）尺规作图步骤： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点; ②分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点； ③连接点B和两弧交点并延长交于点F，即为的平分线; ④以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则． （2）先证明，结合判定四边形为平行四边形，再推导出，从而证明，最后，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 平分， ． ， ． ，平行四边形是菱形． 21. 已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值． 【答案】 ①结果为，值为； ②结果为，值为； ③结果为，值为 【解析】 【详解】解：①， 当时，原式； ②， 当时，原式； ③， 当时，原式． 22. 学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． （1）若矩形生物园的面积是，求边的长； （2）矩形生物园的面积能否达到，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 由（1）可知：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴矩形生物园的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设边的长为，则有，由题意得，然后进行求解即可； （2）由（1）可得方程，然后整理化简，进而根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【小问1详解】 解：设边的长为，则有，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：边的长为． 【小问2详解】 略 23. 已知关于的一元二次方程． （1）讨论该一元二次方程实数根的情况； （2）当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； （2）有，所有的值为：，， 【解析】 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； 【小问2详解】 解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 24. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】这棵树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线， 米，米，米， (米)， 又根据题意，得 ， ， ，即 ， 解得：米， (米)， 答：这棵树的高度为米． 25. 如图，在中，，，， （1）试说明 （2）求的值 （3）求的长度 【答案】（1）见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，较简单．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行即可证明相似； （2）根据，得到，代入数据即可求解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ 【小问3详解】 解：∵，由（2）得， ∴， ∴． 26. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1，     ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点，     ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； 【小问3详解】 解： 理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（ ） A. 中心对称 B. 位似 C. 平移 D. 旋转 2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 4. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（ ） A. ①处应添加对角相等 B. ②处应添加对角线互相垂直 C. ③处应添加有一组邻边相等 D. ④处应添加有一个角是直角 6. 某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A. B. C. D. 8. 把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（ ） A. 10 B. 2 C. D. 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 10. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ③④ 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分． 11. 计算=_____． 12. 如图，四边形四边形，则的度数是_____． 13. 若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 14. 如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 15. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 17. 对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 18. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 化简、解方程： （1） （2） 20. 已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使； （2）连接，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ____________________， 四边形是平行四边形． 平分， ____________________． ， ____________________． ，平行四边形是菱形． 21. 已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值． 22. 学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． （1）若矩形生物园的面积是，求边的长； （2）矩形生物园的面积能否达到，请说明理由． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）讨论该一元二次方程实数根的情况； （2）当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 24. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 25. 如图，在中，，，， （1）试说明 （2）求的值 （3）求的长度 26. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． （1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； （2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $