精品解析：山东省淄博市博山区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）

山东省淄博市博山区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1. 下列选项中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 2. 下列各数中，哪个是方程的解（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．分别根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 5. 已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 6. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足，即与的比等于与的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出的值。 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 将，，代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 7. 如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴当时，；故选项A不符合题意； 当时，；故选项B不符合题意； 当时，；故选项C不符合题意； 当时，无法得到；故选项D符合题意； 故选D． 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； 乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； 丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误． 故选：C． 9. 跨学科题 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的应用．设小孔O到的距离为，根据题意可得，利用相似的性质即可得到答案． 【详解】解：设小孔O到的距离为， 由题意可得， ∴， 解得． 故选：A 10. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，数轴，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由数轴得：，，先计算根的判别式即可． 【详解】解：由数轴得：，， ． ． 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 11. 按如下步骤作四边形：（1）画（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交、于点B、D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接、、．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴ 故选：D． 12. 如图，在正方形中，点E在线段上，连接，过点C作于点G，交于点F，连接并延长交于点H．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则可证，然后可得，过点A作于点K，进而可得，设，则有，最后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点K，如图所示： ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，即； 故选B． 二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。 13. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可得出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故答案为：． 14. 如图，四边形是平行四边形，当______时，是矩形．（只能添加一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 将配方成的形式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法，将方程进行配方即可解答． 【详解】解：将配方，得， ∴． 故答案为： 16. 如图，，若，．则________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 由已知线段得出，根据平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 18. 如图，在的正方形网格中，、、为格点，连接，交过点的水平格线于点．若小正方形边长为，则____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据勾股定理求出的长，再根据平行线分线段成比例得出等式求出的长即可． 【详解】解：如图所示， 由在网格中的位置，可知， ， 在中，， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 19. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和整式的加减计算，先根据数轴得到，，再根据算术平方根的定义化简后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20. 《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出合适的一元二次方程． 这些桌面的宽度为，结合图用含的代数式表示出三种桌子的长度后列出方程，求解即可． 【详解】解：设：这些桌面的宽度为， 则由图可得，小桌长为，中桌的长为，长桌的长为， 有， 解得， ， ， 即这些桌面的宽度为． 故答案为：． 21. 如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，点A，B的对应点分别为，与相交于点G，的延长线过点C，若，则____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，分母有理化，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．如图，连接，过点作于点．设，，．根据矩形和折叠的性质，证明出，构建方程求出x，再证明四边形是矩形，求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴设，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， 由翻折变换的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 22. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法是解题的关键． （1）依据去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解即可； （2）依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得， 系数化成1得，． 【小问2详解】 解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得， 系数化成1得． 23. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，先利用完全平方公式以及平方差公式将原式展开，合并后得到最简结果，再将与的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式． 当，时， 原式． 24. 已知：如图，，，垂足分别为D，G，． 求证：为的平分线． 证明：因为，（已知）， 所以（根据“ ”）， 所以 （根据“ ”）， 所以（根据“ ”）， （根据“ ”）， 又因为（已知）， 所以 （根据“ ”）， 即为的平分线． 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；3；等量代换 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线判定和性质，角平分线的判定，根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推导依据即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以（根据“垂直的定义”）， 所以（根据“同位角相等，两直线平行”）， 所以（根据“两直线平行，内错角相等”）， （根据“两直线平行，同位角相等”）， 又因为（已知）， 所以（根据“等量代换”）， 即为的平分线． 故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；3；等量代换 25. 某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 （1）求上表中m的值； （2）第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 【答案】（1） （2）甲种篮球打了九折 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得（元/个）． 第二次采购甲、乙两种篮球共花费（元）． 设甲种篮球打了x折， 则两种篮球共卖出元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种篮球打了九折． 26. 在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 （2）求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】（1），，，，， （2）小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【解析】 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； 【小问2详解】 解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 27. 综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，； ②， （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28. 如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 【答案】（1）（2）①②或（3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平角定义即可求得； （2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为或即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，分别用含的代数式表示出与的度数，利用或，列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案是：； （2）①旋转的速度是每秒， ∴旋转度数表示为， ②， 当在左侧时：， ∴，解得， d当在右侧时：， ∴，解得， 故答案是：或； （3）当在左侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：； （ⅱ），如图， 由题意得：， 解得：． ②当在右侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：． （ⅱ）， 则：，此方程无解，不符合题意； 综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍． 【点睛】本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省淄博市博山区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1. 下列选项中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，哪个是方程的解（ ） A B. 1 C. 0 D. 2 3. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（ ） A B. C. D. 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 9. 跨学科题 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（ ） A B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 11. 按如下步骤作四边形：（1）画（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交、于点B、D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接、、．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，点E在线段上，连接，过点C作于点G，交于点F，连接并延长交于点H．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。 13. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是 ___________ ． 14. 如图，四边形是平行四边形，当______时，是矩形．（只能添加一个条件） 15. 将配方成的形式，则_______． 16. 如图，，若，．则________ 17. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 18. 如图，在的正方形网格中，、、为格点，连接，交过点的水平格线于点．若小正方形边长为，则____________________ ． 19. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：__________． 20. 《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______． 21. 如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，点A，B的对应点分别为，与相交于点G，的延长线过点C，若，则____________________ ． 三、解答题：本大题共7个小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 22 解方程： （1） （2）． 23. 先化简，再求值：，其中，． 24. 已知：如图，，，垂足分别为D，G，． 求证：为的平分线． 证明：因为，（已知）， 所以（根据“ ”）， 所以 （根据“ ”）， 所以（根据“ ”）， （根据“ ”）， 又因为（已知）， 所以 （根据“ ”）， 即为的平分线． 25. 某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 （1）求上表中m的值； （2）第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 26. 在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 （2）求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 27. 综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 28. 如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$