18.1.2.2分式的约分和通分-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式的约分和通分，通过分数约分类比导入，回顾分数基本性质与最大公约数，迁移至分式约分（公因式、最简分式）和通分（最简公分母），构建新旧知识学习支架。 其亮点在于以数学思维的推理意识和运算能力为核心，“约分四步法”“通分三步法”规范解题，对比表格清晰区分，例题涵盖单项式与多项式，易错点总结防错。学生能掌握方法，教师可直接用于教学，提升效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 18.1.2.2分式的约分和通分 第十八章 分式 18.1.2.2 分式的约分和通分 总结与练习 一、学习目标 1. 理解分式约分、通分的定义，掌握二者的理论依据（分式基本性质）； 2. 熟练掌握最简分式、最简公分母的判断与求解方法； 3. 规范掌握约分、通分的标准解题步骤，为分式加减乘除运算奠基。 二、分式的约分（重点） 1. 约分定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 最简分式定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 考试硬性要求：分式计算最终结果必须化为最简分式或整式。 3. 约分满分四步法 一分解：分子、分母优先因式分解（提公因式、公式法）； 二找公：找出分子、分母的全部公因式； 三约去：分子分母同时除以公因式； 四检查：确认剩余式子无公因式，为最简分式。 4. 两类约分题型解法 （1）单项式分式约分：直接约去系数最大公约数、相同字母最低次幂； （2）多项式分式约分：必须先因式分解，再整体约去相同因式，严禁直接约去单项。 5. 约分经典例题 例1：$$\dfrac{6xy^2}{9x^2y}$$ 解：原式$$=\dfrac{2y}{3x}$$（约去公因式$$3xy$$） 例2：$$\dfrac{x^2-4}{x+2}$$ 解：原式$$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$$（先平方差分解，再约分） 例3：$$\dfrac{x^2-6x+9}{x^2-9}$$ 解：原式$$=\dfrac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{x-3}{x+3}$$ 三、分式的通分（难点） 1. 通分定义 根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 2. 最简公分母（通分核心） 取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。 3. 求最简公分母三步法 ① 系数：取各分母系数的最小公倍数； ② 字母/因式：取所有分母中出现的不同因式； ③ 次数：每个因式取最高次幂。 4. 通分标准步骤 ① 分解所有分母的因式； ② 求出最简公分母； ③ 观察每个分母扩大的倍数，分子同步扩大相同倍数； ④ 化为同分母分式。 5. 通分经典例题 例：对 $$\dfrac{1}{2x^2}、\dfrac{1}{3xy}$$ 通分 解：最简公分母：系数最小公倍数6，因式$$x^2、y$$，即 $$6x^2y$$ $$\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{3y}{6x^2y}$$ $$\dfrac{1}{3xy}=\dfrac{2x}{6x^2y}$$ 四、约分与通分核心对比（必考区分） 对比项目 约分 通分 运算对象 单个分式 多个异分母分式 变形方向 化简、变简单 统一分母、变统一 操作方式 分子分母同除公因式 分子分母同乘对应整式 最终目的 化为最简分式 分式加减运算做准备 五、高频易错重难考点 1. 多项式约分误区：未分解直接约分，只能约整体公因式，不能约单独字母； 2. 约分不彻底：分子分母因式分解后，剩余因式未全部约净； 3. 最简公分母出错：系数取最大公约数、因式取最低次幂，概念混淆； 4. 通分分子漏乘：分母扩大倍数，分子忘记同步扩大； 5. 符号遗漏：分母互为相反数时，未先变号统一分母再通分。 六、课时同步练习题 一、选择题 1. 下列分式属于最简分式的是（） A. $$\dfrac{2x}{4y}$$   B. $$\dfrac{x+1}{x^2+1}$$   C. $$\dfrac{x-1}{x^2-1}$$   D. $$\dfrac{3x-3}{6}$$ 2. 分式 $$\dfrac{2xy}{x^2}$$ 约分结果正确的是（） A. $$2y$$   B. $$\dfrac{2}{x}$$   C. $$\dfrac{2y}{x}$$   D. $$y$$ 3. 分式 $$\dfrac{1}{2a^2}、\dfrac{1}{3ab}$$ 的最简公分母是（） A. $$6a^2b$$   B. $$6ab$$   C. $$a^2b$$   D. $$5a^2b$$ 二、填空题 4. 分式约分的依据是________，约分最终要化为________。 5. $$\dfrac{x^2-2x}{x^2-4}=$$________。 6. 分式通分的目的是把________分式化为________分式。 三、解答题 7. 将下列分式约分： （1）$$\dfrac{12a^2b}{18ab^2}$$    （2）$$\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}$$ 8. 将下列两组分式通分： （1）$$\dfrac{2}{3x^2}$$ 和 $$\dfrac{1}{6xy^2}$$ （2）$$\dfrac{1}{x-2}$$ 和 $$\dfrac{3}{x+2}$$ 七、参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：A、C、D均可继续约分，B分子分母无公因式，为最简分式。 2. C 解析：约去公因式$$x$$，得$$\dfrac{2y}{x}$$。 3. A 解析：系数最小公倍数6，字母最高次幂$$a^2、b$$，最简公分母$$6a^2b$$。 二、填空题 4. 分式的基本性质；最简分式 5. $$\dfrac{x}{x+2}$$ 解析：原式$$=\dfrac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x}{x+2}$$ 6. 异分母；同分母 三、解答题 7. 解： （1）原式$$=\dfrac{2a}{3b}$$（约去公因式$$6ab$$） （2）原式$$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}=\dfrac{x+3}{x-3}$$ 8. 解： （1）最简公分母：$$6x^2y^2$$ $$\dfrac{2}{3x^2}=\dfrac{4y^2}{6x^2y^2}$$，$$\dfrac{1}{6xy^2}=\dfrac{x}{6x^2y^2}$$ （2）最简公分母：$$(x-2)(x+2)$$ $$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}$$ $$\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{3x-6}{(x-2)(x+2)}$$ 问题： 什么是分数的约分？其依据和关键是什么？ 分数的约分：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分. 依据：分数的基本性质. 关键：约去分子分母的最大公约数. 想一想：类比分数的约分，观察课本例3(1)(2)，你能想出如何对分式进行约分吗？ 约去分子分母的公因式. 探究点一：约分及最简分式 ÷x2 ÷3x 　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.　 最简分式： 分子与分母没有公因式的式子. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. 探究点一：约分及最简分式 例1 (教材P142 例4) 约分： 分析：约分要先找出分子和分母的公因式：_______ ①找系数：最大公约数：___ ②找相同因式：最低次幂的因式：___ abc 5abc 5 探究点一：约分及最简分式 分析：分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分. 原式 原式 探究点一：约分及最简分式 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式. 讨论1：结合上面的例题，你认为约分有哪些基本步骤？ 约分的基本步骤：(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式. 讨论2：由例题中约分后的结果，你认为约分要达到怎样的程度？ 探究点一：约分及最简分式 【练一练】1. 下列分式是最简分式的个数为( ). A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 探究点一：约分及最简分式 通分的关键是确定几个分母的最小公倍数 最小公倍数：24 分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值. 解： 问题：通分： 与 探究点二：分式的最简公分母与通分 讨论1：你能确定分数 的公分母吗？ 公分母为 23×3²×5². 讨论2：若把讨论1 中分数分母中的 3，5 用 x，y 来代替，则分式 的公分母如何确定呢？ 公分母为 23x²y². 2 最简公分母：一般取各分母的所有因式的________的积作公分母. 最高次幂 x3 (1) y2 z 最小 公倍数 最高次幂 单独字母 最简公分母 例2 (1) 分式 的最简公分母是 ； (2) 的最简公分母是 ； (3) 分式 的最简公分母是 . a2b2 x2－y2 abc (x＋y)(x－y) 【归纳总结】确定几个分式的最简公分母的方法： (1) 分母含多项式且能分解的先因式分解； (2) 系数：各分式分母系数的最小公倍数； (3) 字母：各分母的所有字母的最高次幂； (4) 多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； (5) 取积. 探究点二：分式的通分 想一想：类比分数的通分，观察课本例3(3)(4)，你能想出如何对分式进行通分吗？ ab a2 a2b 分式 通分后的分式 通分步骤 分母 化为 公分母 分子，分母同乘_____ 分子，分母同乘_____ a b 探究点二：分式的最简公分母与通分 　　根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.　 通分的关键：确定最简公分母. 探究点二：分式的最简公分母与通分 最简公分母 例3 (教材P143 例5) 通分： 解：最简公分母是 6a2b2c. 探究点二：分式的最简公分母与通分 6 a 探究点二： 分式的最简公分母与通分 不同的因式 最简公分母 (x + 5)·(x - 5) (x - 5) 2·(x + 5) 2 (x + 5) 探究点二：分式的通分 (2) 最简公分母是 2(x－5)(x＋5). 想一想：分数和分式在约分和通分的做法上有什么特点？这些做法的根据是什么？将答案填入下表中： 约分 通分 分数 分式 依据 找分子与分母的 最大公约数 找分子与分母的公因式 找所有分母的 最小公倍数 找所有分母的 最简公分母 分数/分式的基本性质 探究点二：分式的通分 1. ［2025上海嘉定区月考］下列分式， ， ， 中，最简分式有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列分式与分式 相等的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 20 3. 化简 的结果是( ) D A. B. 1 C. D. 4. 分式，， 的最简公分母是( ) D A. B. C. D. 中考考法 21 找最简公分母的方法: （1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最 小公倍数. （2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式 子都要选取. （3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子 中指数的最大值. . . . . . . 返回 中考考法 22 5. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请 推测*部分的式子应该是( ) B A. B. C. D. 【点拨】， 部分的式子 应该是 .故选B. 返回 中考考法 23 6. 已知三张卡片上面分别写有6， ， ，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为_________ __________.（写出一个分式即可） （答案不唯一） 返回 中考考法 24 分式的基本性质 约分 通分 最简分式 最简公分母 课堂小结 $