精品解析：海南海口市第一中学2026届高三全真模拟（一）数学试题

海口一中2026届高三全真模拟（一） 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得，故， 则． 2. 在复平面内，复数所对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】复数所对应的点为， 又， 所以复数所对应的点在第一象限． 3. 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到等差数列通项，令即可求解． 【详解】解：设等差数列，公差为， ，， 又，解得， 故等差数列1，46，91，…，2026共有46项． 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用投影向量的定义求解. 【详解】在上的投影向量为. 5. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较厚得到答案. 【详解】由于， 故，，……，，， A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，故A错误； B选项，原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故B错误； C选项，原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故C正确； D选项，，从小到大排列，选第个数作为第百分位数，即， ，故从小到大排列，选择第个和第个数作为第百分位数，即， 由于，去掉后第25百分位数变大，故D错误. 故选：C 6. 已知函数，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 【详解】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 7. 已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的数量积确定，进而得到渐近线的倾斜角不大于，即可求解. 【详解】任取双曲线C左支上两个不同的点都有， . 即， 即对左支上任取两个不同的点， 所以渐近线的倾斜角不大于，即 所以双曲线C的离心率. 即双曲线的离心率的最大值为. 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数的范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点，是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为8 B. C. 的图像关于点中心对称 D. 在区间内的零点个数为1 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由题可知该函数的最小正周期，A错误； 对于B，因为，所以， 将代入得， 而，B正确； 对于C，由B选项可知， 所以的图象不关于点中心对称，C错误； 对于D，由题可知，，因为，所以， 所以，则， 令，则，即， 所以，所以， 因，则，即得函数在区间内的零点只有2， 故在区间内的零点个数为1，D正确. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过几何性质（等边三角形三线合一）、构造辅助线结合余弦定理、等体积法求点面距离、正八面体体积与表面积公式结合内切球半径公式，逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于A，因为是等边三角形，且是中点，所以，A正确； 对于B，在正方体右侧补一个同样的正方体， 作的中点，连，， 易得，所以为与所成的角（或补角）， ，，， ， ，B错； 对于C，点是的中点，所以点到平面的距离是点B到平面的距离的一半， 又平面，设垂足为，利用等体积法， ， 高为点到平面的距离，即正方体的棱长 ， ， 底面是等边三角形，边长为，面积为：， 高为点到平面的距离，即，， 令两个体积相等：， 正方体的体对角线，因此：，故， 故点到平面的距离为，C正确； 对于D，易知是正八面体，棱长为， 体积：正八面体可看作两个正四棱锥，底面积，高，， 表面积：每个面是边长为的正三角形，面积，， 对于多面体，内切球半径公式为，，D正确. 11. 椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为．则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若点在椭圆上，的最大值为 C. 若点在椭圆上，则的最大值为 D. 过直线上一点分别作椭圆切线，交椭圆于两点，则直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用椭圆定义以及离心率大小可求得椭圆的标准方程为；利用两点间距离公式并结合椭圆范围即可求得的最大值为；由余弦定理可得，所以的最大值为；利用结论椭圆上在点处的切线方程为，以及点在直线上可求出满足的直线方程，即可得直线恒过定点. 【详解】根据题意，一束光线从射出，经椭圆上的点反射至，如下图所示： 所以可得，即； 又椭圆的离心率为，可得，所以； 即椭圆的标准方程为，所以A正确； 易知，设，且， 则， 又，则， 所以的最大值为，即B正确； 由椭圆定义可知，不妨设， ， 又，可得，所以， 当且仅当时，等号成立； 此时的余弦值最小为，所以的最大值为，即C错误； 易知椭圆上在点处的切线方程为， 证明如下：当切线斜率存在时，设直线与相切于点， 联立直线和椭圆方程可得， 所以，整理可得； 又易知，即，所以可得； 整理可得； 又因为切点在椭圆上，即，整理可得 联立可得，即，可得； 所以切线方程为，化简可得； 经检验，切线斜率不存在时也符合上式， 即圆上在点处的切线方程为. 设，， 所以椭圆在点处的切线的方程为， 同理点处的切线的方程为， 又两切线交于点，所以可得，即满足方程，所以直线的方程为 整理可得直线的方程为，若过顶点则与无关， 所以，即可得，即可得直线恒过定点，即D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题在求解直线过定点问题时，关键是利用结论：椭圆上在点处的切线方程为，分别求得两切线方程即可得出直线过定点. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 从，，，，这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别考虑百位、十位和个位的情况，根据分步乘法原理计算即可. 【详解】由题意，百位可从，，，这个数中任选个数，共有种选择， 十位可从百位外剩下的个数中任选个数，共有种选择， 个位可从百位、十位外剩下的个数中任选个数，共有种选择， 故共有个． 13. 记为数列的前n项和，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由与关系推得，构造等比数列，利用基本量运算即可求得. 【详解】当时，，将其代入，可得， 即，又，则数列是首项为、公比为的等比数列， 从而，解得. 14. 甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.设X为从乙袋中取出的红球数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设事件为“从甲袋中取出的球为红球”，则为“从甲袋中取出的球为白球”， 由题意得， 若发生，则此时乙袋中有2个红球，2个白球， 记此时从乙袋中取出的红球数为，则的可能值为， 则， 若发生，则此时乙袋中有1个红球，3个白球， 记此时从乙袋中取出的红球数为，则的可能值为， 则， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题设，根据诱导公式、二倍角公式及辅助角公式求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，得， 代入条件得：， 即， 则，即， 因为，则， 所以，则． 【小问2详解】 由余弦定理得， 代入，可得， 整理得，解得（舍去负根）， 因此，的面积为． 16. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）（i）； （ii）不相互独立，理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【小问1详解】 （i），， . （ii）事件M与N不相互独立，理由略 【小问2详解】 这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 17. 已知四棱台，底面四边形为菱形，，且侧棱平面. （1）证明：平面； （2）记，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）底面四边形为菱形，，则为的中点，可得，从而得到平面； （2）取中点，可以得到以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，根据长度写出点的坐标，根据得到，从而得到，利用向量求出的坐标，求出平面的法向量和， 利用向量的数量积得到直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 ，底面四边形为菱形，， ，则，设，连接， 底面四边形为菱形，为的中点，，， ，为平行四边形，， 平面，平面，平面； 【小问2详解】 底面四边形为菱形，，是等边三角形， 取中点，连接，则， ，，平面， 以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，，，，， ，，， ，，， ，，， 设，则， ，，， ， ，，，， 设平面的法向量为， ，则，取，解得，， 则，， ，，，， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标为，求得； （2）由（1）得抛物线的方程，设直线的方程为，并与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可得参数，从而得到直线的方程； （3）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得坐标关系，进而用点坐标表示；用坐标表示出点坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，得坐标关系，进而可用表示，利用基本不等式即可得的最小值. 【小问1详解】 因为是的焦点，所以，得. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. 【小问3详解】 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 19. 设函数． （1）证明：； （2）设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1）欲证，即证， 即， 令，则， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，故命题得证. （2） （3）由（1）可知，，即，等号成立时， 取，则， 则， 故， 故当时，. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导研究其单调性，求证； （2）通过构造函数研究其单调性，利用和的函数图象交点即可； （3）由（1）可知，，等号成立时，令，得，即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因在上存在一个极值点， 则在上存在一个变号零点， 令，则， 令，则， 故在上单调递减， 又，， 故使得， 则当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 又时，，， 则的图象大致为： 则欲使在上存在一个变号零点， 则和的函数图象存在一个交点， 且在交点的两侧使得一侧，另一侧， 则， 则实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口一中2026届高三全真模拟（一） 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数所对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 6. 已知函数，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点，是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为8 B. C. 的图像关于点中心对称 D. 在区间内的零点个数为1 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 11. 椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为．则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若点在椭圆上，的最大值为 C. 若点在椭圆上，则的最大值为 D. 过直线上一点分别作椭圆切线，交椭圆于两点，则直线恒过定点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 从，，，，这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为__________． 13. 记为数列的前n项和，已知，，则______． 14. 甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.设X为从乙袋中取出的红球数，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A； （2）若，，求的面积． 16. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 17. 已知四棱台，底面四边形为菱形，，且侧棱平面. （1）证明：平面； （2）记，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 19. 设函数． （1）证明：； （2）设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $