精品解析：海南海口市琼山中学2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试卷（二）

海南海口市琼山中学2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试卷（二） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 A. B. C. D. 5. 函数，则导函数的展开式中的系数为（　　） A. B. C. D. 6. 若函数（）为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ） A. B. C. D. 8. l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（ ） A. 0.001 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.004 二、多选题 9. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为 D. 方程在上有5个实数根 10. 已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当为正三角形时，直线与圆相离 C. 的最小值为 D. 有且仅有一个点，使得 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 4是的一个周期 C. D. 的图象关于点对称 三、填空题 12. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 13. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 的角平分线交边 于点 则 _____ 14. 已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为______. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）记为区间中的整数个数，求数列的前项和． 16. 已知函数，. （1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围. 17. 如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且． （1）在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）设直线与平面所成的角为，求的值． 18. 为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示. 订单：（单位：万件） 频数 1 2 2 3 订单：（单位：万件） 频数 40 20 20 10 2 （1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. 业绩突出城市 业绩不突出城市 总计 外卖甲 外卖乙 总计 （2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题： ①从全国各城市中随机抽取6个城市，记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数，求的数学期望； ②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？ 附：①参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ②若，则，. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （ⅱ）求直线的斜率的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口市琼山中学2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试卷（二） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故A、B错误； ，故C错误，D正确． 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，故每四个连续的项之和为0， ，则， 由于，故，所以. 3. 已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】注意与平行这一特殊情况： 且，再结合充要条件分析即可 【详解】，是平面内的两条直线 且，反之，若，则且 所以“直线且”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】由，所以， 又是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为， 所以点处的切线的斜率为，因为，所以， 所以角的取值范围为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 . 5. 函数，则导函数的展开式中的系数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 对于展开式中最高次数为，所以的系数为； 对于的展开式中的系数为 对于的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 6. 若函数（）为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，然后由可得即可， 【详解】由奇函数性质可得，（）的定义域关于原点对称，由，即且， 故，解得. 又，故， 此时，满足，函数为奇函数， 故， 故选：A. 7. 三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，三棱锥外接球的半径为R，由外接球的表面积可求出R，结合二面角的大小可求出a，当时，点P到平面ABC的距离最大，即体积最大． 【详解】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得， 设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为， 过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O， 即为三棱锥外接球的球心． 因为二面角的大小为，所以， 于是，， ， 因为，即， 解得，即， 因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大， 其最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值等于. 故选：A. 8. l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（ ） A. 0.001 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.004 【答案】D 【解析】 【分析】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”，求得，且，结合贝叶斯公式，即可求解. 【详解】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”， 根据题意，可得，且， 由贝叶斯公式， 可得 . 故选：D. 二、多选题 9. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 函数的最大值为 D. 方程在上有5个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，即可得出和解析式，根据三角函数性质即可选出答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到， 所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期， 又是的一个单调递增区间，所以， 即，，解得，， 因为，所以，故， 的最小正周期，故A正确； 令，，解得，， 即的递增区间为，， 所以在上单调递增，故B错误； ， 所以 ， 所以函数的最大值为，故C正确； 当时，令， 则、、、、， 即方程在上有5个实数根，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当为正三角形时，直线与圆相离 C. 的最小值为 D. 有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离即可求解；B选项，由正三角形求得直线方程即可判断；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，可求最小值即可；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为，设准线与x轴交点为D， 圆的圆心到直线的距离显然是， 因为准线和圆相切，所以，A选项正确； B选项，因为为正三角形时， 所以， 又,在直角三角形中，， 所以, 所以此时直线方程为：， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故B错误； C选项，， 当且仅当（P在F，M之间）三点共线时，等号成立， C选项正确； D选项， 设，由可得，又， 又，根据两点间的距离公式，， 整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 4是的一个周期 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得到，再结合，求得，再通过赋值代换逐项判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 而，故，故， 又为偶函数，所以，即， 所以，故即， ，所以4是的周期，故B正确. 对A，由两边求导得， 令得，解得，A正确： 对C，由上知，所以， 所以C错误； 对D，因为， 故，故的图象关于对称，因为4是的周期，故的图象关于点对称 故选：ABD 三、填空题 12. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角与数量积正负的关系，列出不等式求解即可. 【详解】由向量与的夹角为钝角， 可得：， 解得， 由当时，，与共线反向，舍去， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 13. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 的角平分线交边 于点 则 _____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，由等面积建立等量关系可得结果. 【详解】依题意，因为， 即， 所以， 化简得：， 故答案为：. 14. 已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意求出点的坐标，从而得，再结合点差法建立的关系式，从而得解. 【详解】因为，，过作轴交于， 则，， 所以的横坐标为，即的横坐标为，且， 即， 设，，，，则的中点，， 即，， 所以，又，所以， 将，的坐标代入椭圆的方程可得， 作差整理可得， 即， 所以则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用点差法是解决中点弦问题的常用方法. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）记为区间中的整数个数，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)根据关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式; (2)计算后再应用等差数列前项和公式,等比数列前项和公式分组求和即可. 【小问1详解】 因为，所以当时，； 当时，， 时也成立，所以． 设等比数列公比q，因为，，成等差数列，且， 所以， 则，所以，所以． 【小问2详解】 因为为在区间中的整数个数，所以， 则 所以． 16. 已知函数，. （1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可； （2）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可. 【小问1详解】 由题知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 经检验，符合题意. 故. 【小问2详解】 由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意； 故，又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以，可得， 即实数的取值范围是. 17. 如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且． （1）在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； （2）设直线与平面所成的角为，求的值． 【答案】（1）存在，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，再由线面平行的性质，结合向量计算推理即得. （2）利用（1）中信息，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即得. 【小问1详解】 依题意，，平面，则平面， 由，，得，，即， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在上存在一点，使得直线与平面平行， 由平面，平面平面，得， 令，则，， 于是，解得， 所以在上存在一点，使得直线与平面平行， 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则， 令，得，， 所以为平面的一个法向量， 所以. 18. 为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示. 订单：（单位：万件） 频数 1 2 2 3 订单：（单位：万件） 频数 40 20 20 10 2 （1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. 业绩突出城市 业绩不突出城市 总计 外卖甲 外卖乙 总计 （2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题： ①从全国各城市中随机抽取6个城市，记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数，求的数学期望； ②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？ 附：①参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ②若，则，. 【答案】（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算的观测值，即可结合临界值作出判断. （2）①先根据所给数据求得样本平均值，根据所给今年3月订单数区间，并由及求得，.结合正态分布曲线性质可求得，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解. 【详解】（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为， 对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为. 由以上数据完善列联表如下图， 业绩突出城市 业绩不突出城市 总计 外卖甲 40 60 100 外卖乙 52 48 100 总计 92 108 200 且的观测值为， ∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. （2）①样本平均数， 故 = =， ， 的数学期望， ②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间内的有（个）， 每月订单数在区间内的有（个）， 若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元）， 若开展营销活动，则一个月的利润为（万元）， 这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元. 【点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （ⅱ）求直线的斜率的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由及点在椭圆上进行求解； （2）（ⅰ）设，则由及平面向量的坐标运算进行求解； （ⅱ）由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理得点的坐标，再求出，利用不等式求解． 【小问1详解】 由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点， 故，故椭圆：，代入解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，则由知， 故，，故为定值. （ⅱ）由（ⅰ）可知直线：，直线：； 联立，整理得：， 故由韦达定理：； 同理可得：； 故 ， 故， 当且仅当时取等号；此时， 故在椭圆内成立； 综上所述：直线的斜率的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $