精品解析：海南海口市第二中学2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试卷

海南海口市第二中学2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数b的值为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 3. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 4. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 180 D. 288 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （ ） A. B. C. D. 7. 著名数学定理 “勾股定理” 的一个特例是 “勾3股4弦5 ”，我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5 ”的问题， 比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5 ”，设，为线段上的动点， 且满足，若， 则（ ） A. 0 B. C. D. 8. 过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 的最小值为3 D. 若，则 10. 设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 11. 已知函数，（），下列结论正确的是（ ） A. f(x)有极小值，且极小值为1+lna，无极大值 B. 当a<0时，直线l与函数f(x)图象相切，则该直线斜率k的取值范围(0，+∞) C. 若函数f(x)在[1,e]上的最小值为，则a的值为 D. f(x)在区间(1,2)上存在单调减区间，则a的取值范围是[1,+∞) 三、填空题 12. 已知函数则______． 13. 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数） 14. 已知函数的部分图象如图所示，且点，，若，且，则__________． 四、解答题 15. 已知数列满足，数列是等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列前n项和为，，求. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点在棱上，平面，，. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. （1）若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； （2）若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 18. 已知函数. （1）证明函数为偶函数； （2）设函数，若函数在定义域上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在象棋比赛中积1分的概率； （2）记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； （3）若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口市第二中学2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可 【详解】， 由，得，解得， 所以， 所以， 故选：B 2. 已知复数为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数b的值为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又复数z为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0，即可求出实数b的值. 【详解】复数， 又复数z为纯虚数，则有，解得. 故选：C. 3. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求参数得函数解析式，再求值即可. 【详解】由题意可知， 所以， 所以. 故选：A 4. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆台的下底面半径为r， 由题意知， 整理得，解得（负值舍去）， 设圆台的母线长为，则， 所以该圆台的侧面积为. 5. 春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 180 D. 288 【答案】C 【解析】 【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 7. 著名数学定理 “勾股定理” 的一个特例是 “勾3股4弦5 ”，我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5 ”的问题， 比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5 ”，设，为线段上的动点， 且满足，若， 则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得，设，根据平面向量基本定理可求得，从而可将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】解：由题意可得， 设， 则， 所以， 所以，所以， 所以， ， 则. 故选：A. 8. 过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，根据平面几何的知识可知，则，又，从而只需求，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径. 因为是圆的两条切线，所以， 由圆的知识可知四点共圆，且， 所以， 又，所以当最小，即时，取得最小值， 此时， 所以. 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 的最小值为3 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. 10. 设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A:利用正弦定理求解即可，选项B：利用同角的三角函数关系结合两角和与差的余弦求解即可，选项C：利用三角函数的个数的判断方法进行求解即可，选项D：利用正弦定理结合二倍角公式求解即可. 【详解】选项A：若，则由正弦定理得：则，则选项A正确. 选项B：因为在中，则 因为所以 当时， 当时， 故选项B错误， 选项C：若，则则则无符合条件的故选项C错误. 选项D：若则由正弦定理得 则则则或 则则为等腰三角形或直角三角形,故选项D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，（），下列结论正确的是（ ） A. f(x)有极小值，且极小值为1+lna，无极大值 B. 当a<0时，直线l与函数f(x)图象相切，则该直线斜率k的取值范围(0，+∞) C. 若函数f(x)在[1,e]上的最小值为，则a的值为 D. f(x)在区间(1,2)上存在单调减区间，则a的取值范围是[1,+∞) 【答案】BC 【解析】 【分析】A由时的单调性即可判断；B由导函数，结合二次函数性质求的值域即可；C由A分析有，利用导数研究的极值，进而确定a值；D根据C的分析判断a的取值范围. 【详解】由题设且， 当时，即在定义域上递增，此时无极值，A错误； 令，则且，则在上递增， 故在上递减且，B正确； 当时，即在定义域上递增，无解， 时，在上，递减；在上，递增； 无解， 无解， 所以有极小值也是最小值，则，可得，C正确； 由C分析知：在(1,2)上存在单调减区间，则，D错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：注意讨论参数a，利用导数研究的单调区间、极值. 三、填空题 12. 已知函数则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式分别代入计算即可得出结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 13. 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为_______.（结果保留整数） 【答案】76 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出的值，然后根据中位数的定义求出结果即可. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 由，， 设中位数为，则， 有，解得. 故答案为：76. 14. 已知函数的部分图象如图所示，且点，，若，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图象求得参数，确定函数解析式，再根据可得，确定的范围，结合正弦函数性质，可得的值，即可求得答案. 【详解】由图象可得，周期，解得， ，，， 点在轴的非负半轴上，结合图象知y轴图象右侧先递增，故为锐角, 故， ，又且， ，而， 由于在之间的对称轴为， ， ， 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列满足，数列是等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列前n项和为，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，得出数列是首项为1，公比为3的等比数列，即可求得其通项公式； （2）设等差数列的公差为，列出方程组求得，得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列满足，可得， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以， 又由， 所以数列的前项为： 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点在棱上，平面，，. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形作出辅助线，根据线面平行的性质定理即可证明； （2）结合图形建立空间直角坐标系，可求得平面与平面的法向量，根据向量的数量积公式与法向量所成的角与平面与平面所成的角的关系即可求解. 【小问1详解】 如图，连接交于，连接，则为的中点， 因为平面，平面平面，平面，所以； 又为的中点，所以为的中点； 【小问2详解】 如图，作的中点，连接，则， 因为平面，所以平面，又平面， 所以，因为底面是菱形，，所以，所以两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，则 ，所以， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，即，令，则，所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，即，令，则，所以； 所以； 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. （1）若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； （2）若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2） 方法一：设直线的斜率为，则直线， 联立，整理得. 因为点的横坐标为，所以恰是该方程的解， ， 整理得，即. 又，所以， 直线过点且与双曲线交于第一象限的点， ，即直线的斜率为定值. 方法二：点的横坐标为，在第一象限，且在双曲线上， ，解得，故， 因为直线过点，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义求出，再在中由余弦定理即可求出； （2）方法一：设，与双曲线方程联立，将代入方程中化简即可；方法二：求出点坐标，再化简直线的斜率即可. 【小问1详解】 点在双曲线右支上，， 由，得. 又直线与双曲线的左半支交于点，所以，得， 在中由余弦定理得 ， 整理得，解得或（舍去）. 实数的值为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）证明函数为偶函数； （2）设函数，若函数在定义域上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用偶函数的定义即可证明结论； （2）求出函数的定义域，利用函数在定义域上有且仅有一个零点即可求出的值； （3）化简不等式，令，通过换元解不等式可得，构造函数，结合的范围与函数的单调性可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 在中，，解得或， 又，∴为偶函数. 【小问2详解】 由题意及（1）得，或， ∵函数在定义域上有且仅有一个零点， ∴即在定义域内有唯一解， ∵为偶函数，∴，即， 当，解得，零点为， 检验：当时，的定义域为，符合题意. 当时，的定义域为，符合题意； 当，由，可得方程有两解， 由得或，解得或； 现在要求两个解中恰好一个满足定义域，定义域满足， 若不在定义域内，在定义域内，则且， 即且 解 ，可得或或； 解，可得， 因为时，没有意义，所以， 所以； 若不在定义域内，在定义域内，则且， 即且 解 ，可得或或； 解，可得， 因为时，没有意义，所以， 所以； 综上所述，. 【小问3详解】 由题意得， 由在上恒成立，得在上恒成立， 整理得， 令，则，不等式变形为， 解得， 要使不等式对任意恒成立，则， 令，， 因为，又对勾函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又在上单调递增， 所以，， 所以实数的取值范围为. 19. 某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在象棋比赛中积1分的概率； （2）记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； （3）若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)利用n次独立重复试验中恰好k次成功”的二项分布模型求解； (2)利用全概率公式求解，再考虑其单调性； (3)全概率公式和条件概率公式的综合应用. 【小问1详解】 甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为． 【小问2详解】 证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2， 由全概率公式， 因为二次函数在上单调递增， 所以当p越大时，越大． 【小问3详解】 象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分， A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， A与同时发生时，有， 由全概率公式， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $