精品解析：河北保定市卓秀中学等校2025-2026学年度第二学期期末学业质量检测八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学试题 注意事项：1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. 推出 B. 全等 C. 无穷大 D. 求和 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于． 【详解】解：由数轴可得，这个不等式组的解集为． 3. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长， 故选：B． 4. 下列分式的取值结果可以是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0成为解题的关键． 根据分式的值为0的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．分子恒为1，不可能为0，不符合题意； B．（），当分子时，分母，分式无意义，不符合题意； C．，当分子时，分母，分式值为，符合条件； D．．当分子（即）时，分母也为0，分式无意义，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合， 故选：B． 6. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 内角和变小 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和和外角和公式以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∵五边形的外角和为：，六边形的外角和为：， 将五边形沿虚线裁去一个角，外角和不变； 五边形的内角和为，六边形的内角和为， ∴内角和变大了； 由于裁去一个角，则减少一部分，故面积变小； ∵， ∴周长变小． 7. 若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可． 【详解】解：和都扩大为原来的倍， 分母变为，即分母扩大为原来的倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来的倍， A、若，新分子为，符合要求； B、若，新分子为，不符合要求； C、若，新分子为，不符合要求； D、若，新分子为，不符合要求． 8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可． 【详解】解：当时，直线在直线的上方， ∴的解集是， 则不等式的解集为． 9. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查角度的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，，重力的方向，，确定，即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，重力G的方向，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A．根据作图的过程可以判定是的角平分线；B．利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C．利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D．利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 12. 如图，是等边三角形三边垂直平分线的交点，，的边，与，分别相交于点，，绕点顺时针旋转，有下列结论：①；②；③与的面积相等；④四边形的面积是个定值．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点C作于H，由题意可证明，则可判定①②④；求出的面积表达式，根据表达式对③无法判定，最后可确定答案． 【详解】解：如图，连接，过点O作于H， ∵是等边三角形三边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积定值， 故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 而， 显然在变化，则的面积也随之变化，一般情况下不会相等； 故③错误； 综上，正确的有①②④三个； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分） 13. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为∶． 14. 若且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将原式通分后利用平方差公式化简，再代入已知条件求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 16. 如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中： （1）当与重合时，长为________； （2）线段的最小值为________． 【答案】 ①. 5 ②. 2.5 【解析】 【分析】（1）先求出，当与重合时，证明是等边三角形，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，则，即，，三点在同一直线上，当时，的长度最小，得出为的中位线，进而即可求解． 【详解】解：（1）中，，，， ∴， 如图，当与重合时， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）将绕点顺时针旋转得到， 则此时，，三点在同一直线上， ，， ， 随着点运动，总有，， 总有，即，，三点在同一直线上， 的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小， 中，，，， ，，即为的中点， ，， ，为的中位线， ， 三．解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为． （1）若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集； （2）嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）， 数轴表示： （2） 嘉嘉的说法正确． 理由：， 故恒成立． 【解析】 【分析】（1）根据条件列出不等式求解即可； （2）根据条件列出式子，利用完全平方公式进行化简证明即可； 【小问1详解】 解：由，得， 【小问2详解】 略 18. 下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： （1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 【答案】（1） （2）①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6； ②该分式的值也不可能为8 【解析】 【分析】（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可； （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ② 即该分式的值也不可能为8． 19. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，  （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）将平移后得到，若点对应点坐标为， ①请画出平移后的； ②若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________；（用含字母、的代数式表示）． （3）将绕某点旋转可得到，则点的坐标是__________； （4）若点是轴上的一点，且满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）即为所求作； （2）①即为所求作 ； ② （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）找到绕原点顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到； （2）①找到平移方式，按照平移方式找到对应点，顺次连接即可；②根据平移方式进行解答即可； （3）证明四边形是平行四边形，则点E即为四边形对角线的交点，根据中点坐标公式进行解答即可； （4）设点的坐标为．求出直线的解析式为，得到，根据列方程并解方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①将平移后得到，点对应点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②∵内部一点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标是； 【小问3详解】 解：由平移和旋转的性质可得， ∴四边形是平行四边形， ∵将绕某一点E旋转可得到， ∴点E即为四边形对角线的交点， ∵， ∴，即； 【小问4详解】 解：设点的坐标为． 设直线的解析式为，则 ， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴ 解得或， ∴或 20. 如图，在中，，F是的中点，E是的中点，D为延长线上一点，且，连接，，． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是平行四边形，证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理等，掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，再由平行四边形的判定方法，即可得证； （2）由勾股定理得，由平行四边形的面积得，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， 证明：F是的中点，E是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，， ， F是的中点， ， ， ． 21. 【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． （1）【验证】 的结果是8的_________倍； （2）【证明】 证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； （3）【延伸】 两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明：，为整数， 两个连续奇数，的平方差是8的整数倍； （3）两个连续偶数的平方差不是的整数倍，正整数的最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算的结果，并判断它是的多少倍即可． （2）计算两个连续奇数，的平方差，利用平方差公式展开，即可证明． （3）计算两个连续偶数，的平方差，利用平方差公式展开，可知不是的倍数，再根据平方差的结果加上正整数，最后让是的倍数即可得出的最小值． 【小问1详解】 解：， 的结果是的倍． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：因为两个连续的偶数分别为，(为整数)， ， 所以两个连续偶数的平方差不是的整数倍． 因为上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是的整数倍， 即是的整数倍， 所以加上的正整数的最小值是． 22. 先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… （1）观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； （2）根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； （3）由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． （4）利用（2）的结论直接写出方程的解：． 【答案】（1），； （2），； （3）， ，， 即， 或， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解； （4），． 【解析】 【小问1详解】 解：观察材料规律，方程​的解为，，因此当时，解为； 【小问2详解】 根据上述规律，直接推广可得该方程的解为； 【小问3详解】 详见参考答案； 【小问4详解】 令，， ， ， ，， 或， 解得或 当时，，，当时，，， ，是原分式方程的解； ，． 【点睛】本题运用了换元思想和归纳推理，在解题的过程中必须通过拆分、换元构造出的形式是解题的关键，注意分式方程要检验． 23. 2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多40元．该商店用6000元购进款手表的数量，与用7200元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表（两种都要购进）共50块，且进货总费用不超过10800元．已知每块款手表利润60元，每块款手表利润80元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】（1）款手表每块进价200元，款手表每块进价240元 （2）3400元 【解析】 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用6000元购进款手表的数量，与用7200元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过10800元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润60元，每块款手表利润80元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， （元）， 答：款手表每块进价200元，款手表每块进价240元； 【小问2详解】 解：设购进款手表（为整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， 根据题意得，， 解得， 两种都要购进， ，即， ，且为整数， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为（元）， 全部售出后可获得的最大总利润为3400元． 24. 综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： （2）【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； （3）【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：由旋转得，， 又， ，即， 在和中， ， ， ． （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转得，．又，故．结合公共边，可证，得． （2）①由且得．由（1）全等得，，故．作，在中得，，由得，在中由勾股定理得． ②分两种情况讨论直角三角形．当时，由全等得，由旋转得，结合推出，得，故．当时，由全等得，且，故，在中，得． （3）由旋转得，故，，又，得．由（1）全等得．设，则，在中由勾股定理，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，作，垂足为， ， 为等腰三角形， ， 由（1）同理可得，， ，，， ，且， ， 在中， ， ， 又， 在中 ． ②如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， 由旋转得，， ， ，即， ， ； 如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， ， ， ， 综上，或． 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由题意，，，， 为等腰直角三角形， ， 线段（）， 在线段上（不包括）， 由旋转可得，， ， 由（1）同理可得，， ，， 设，则， 在中，， 可得，即， 可得，解得， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学业质量监测 八年级数学试题 注意事项：1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. 推出 B. 全等 C. 无穷大 D. 求和 2. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 4. 下列分式的取值结果可以是的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 内角和变小 7. 若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 12. 如图，是等边三角形三边垂直平分线的交点，，的边，与，分别相交于点，，绕点顺时针旋转，有下列结论：①；②；③与的面积相等；④四边形的面积是个定值．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分） 13. 分解因式： _______． 14. 若且，则的值为_____． 15. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度． 16. 如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中： （1）当与重合时，长为________； （2）线段的最小值为________． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为． （1）若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集； （2）嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 18. 下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： （1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 19. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，  （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）将平移后得到，若点对应点坐标为， ①请画出平移后的； ②若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________；（用含字母、的代数式表示）． （3）将绕某点旋转可得到，则点的坐标是__________； （4）若点是轴上的一点，且满足，请直接写出点的坐标． 20. 如图，在中，，F是的中点，E是的中点，D为延长线上一点，且，连接，，． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）若，，求四边形的面积． 21. 【发现】 两个连续奇数的平方差是8的整数倍． （1）【验证】 的结果是8的_________倍； （2）【证明】 证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍； （3）【延伸】 两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值． 22. 先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… （1）观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； （2）根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； （3）由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． （4）利用（2）的结论直接写出方程的解：． 23. 2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多40元．该商店用6000元购进款手表的数量，与用7200元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表（两种都要购进）共50块，且进货总费用不超过10800元．已知每块款手表利润60元，每块款手表利润80元．求全部售出后可获得的最大总利润． 24. 综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： （2）【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； （3）【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $