17.1～17.2 因式分解：提公因式法与公式法的综合应用、阅读理解类问题 专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

因式分解：提公因式法与公式法的综合应用、阅读理解类问题专项训练 因式分解：提公因式法与公式法的综合应用、阅读理解类问题专项训练 考点目录 提公因式法与公式法的综合应用 以因式分解为背景的阅读理解类问题 考点一 提公因式法与公式法的综合应用 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ， （2）解∶ ； （3）解： ． 例2．（25-26八年级上·北京·期末）因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 =； （2）解：原式 ． 例3．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式1．（25-26八年级上·广西钦州·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（25-26八年级上·山东德州·期末）分解因式∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：原式 ． 考点二 以因式分解为背景的阅读理解类问题 例1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行分解因式，我们把这种分解因式的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行分解因式的过程． 解：设，则 原式（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了分解因式的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学分解因式的结果不彻底，请你帮助小涵同学将过程补充完整； (3)请你用换元法对多项式进行分解因式． 【答案】(1)C (2) (3) 【详解】（1）解：小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法． 故选：C； （2）解： 设， 则：原式 把代入， ． （3）解：设， 原式 把代入， ． 例2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 【答案】(1) (2) (3)，． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级上·河南信阳·月考）现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆． 其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，将这三个数按从小到大的方式排列，此时可以得到六位数的数字密码． 【生成密码】（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成什么数字密码? 【破译密码】（2）已知a为正整数，若多项式因式分解后，利用本题的方法，得到前两个数分别是10和12，问第三个数是什么?这个六位数密码是什么? 【答案】（1）；（2）第三个数是， 【详解】（1）解：， 当，时，，， 可得数字密码是； （2）， 因为前两个数分别是和， 则，，， 则第三个数是， 可得数字密码是． 例4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如、以及形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？ 【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如的多项式若改写成具有平方差或完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解． 例如；即先加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，再写成整式乘积的形式． 【解决问题】分解因式：①；②． 【答案】 ① ② 【详解】解：① ； ② ． 变式1．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 变式2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2)有最大值，最大值为 【详解】（1）解：①②④都不是完全平方式，，则③是完全平方式； （2）解： ， ， ∴ ． 有最大值，最大值为． 变式3．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 变式4．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $因式分解：提公因式法与公式法的综合应用、阅读理解类问题专项训练 因式分解：提公因式法与公式法的综合应用、阅读理解类问题专项训练 考点目录 提公因式法与公式法的综合应用 以因式分解为背景的阅读理解类问题 考点一 提公因式法与公式法的综合应用 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)． 例2．（25-26八年级上·北京·期末）因式分解 (1)； (2) 例3．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）因式分解 (1) (2) 例4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式： (1) (2) 变式1．（25-26八年级上·广西钦州·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）因式分解 (1) (2) 变式3．（25-26八年级上·山东德州·期末）分解因式∶ (1) (2) 变式4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）分解因式： (1)； (2)． 考点二 以因式分解为背景的阅读理解类问题 例1．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行分解因式，我们把这种分解因式的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行分解因式的过程． 解：设，则 原式（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了分解因式的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学分解因式的结果不彻底，请你帮助小涵同学将过程补充完整； (3)请你用换元法对多项式进行分解因式． 例2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 例3．（25-26八年级上·河南信阳·月考）现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆． 其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，将这三个数按从小到大的方式排列，此时可以得到六位数的数字密码． 【生成密码】（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成什么数字密码? 【破译密码】（2）已知a为正整数，若多项式因式分解后，利用本题的方法，得到前两个数分别是10和12，问第三个数是什么?这个六位数密码是什么? 例4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如、以及形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？ 【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如的多项式若改写成具有平方差或完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解． 例如；即先加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，再写成整式乘积的形式． 【解决问题】分解因式：①；②． 变式1．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 变式2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 变式3．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 变式4．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $