期末复习专题6 用公式法分解因式2025-2026学年人教版数学八年级上册期末备考冲刺

期末复习专题6 用公式法分解因式 知识点+题型专练+解题技巧+过关检测 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 3 【题型2 平方差公式分解因式】 5 【题型3 完全平方公式分解因式】 6 【题型4 综合运用公式法分解因式】 7 【题型5 综合提公因式和公式法分解因式】 10 【题型6 因式分解在有理数简算中的应用】 12 【题型7 十字相乘法】 14 【题型8 分组分解法】 16 【题型9 因式分解的应用】 21 【知识点1 用公式法因式分解】 公式法因式分解，是指逆用整式乘法公式，把多项式分解成几个整式乘积的形式。八年级阶段重点掌握 平方差公式 和 完全平方公式 两类。 一、核心公式 1. 平方差公式 · 公式表达式： · 公式特点： ① 多项式是二项式； ② 两项都能写成平方的形式； ③ 两项的符号相反（一正一负）。 · 常见易错点： · 忽略“两项都是平方形式”，比如 不能直接用平方差公式（ 不是平方数）； · 符号判断错误，比如 要先变形为 ，再分解为 。 · 例题： 分解 解：原式 2. 完全平方公式 · 公式表达式： ① 完全平方和： ② 完全平方差： · 公式特点： ① 多项式是三项式； ② 其中两项是平方项，且符号相同； ③ 第三项是两平方项底数乘积的 倍（符号可正可负）。 · 常见易错点： · 漏看系数的平方，比如 中，，，，分解为 ； · 混淆“”项的符号，比如 ，不是 。 · 例题： 分解 解：原式 【知识点2 用公式法因式分解的步骤】 1. 提公因式：先观察多项式各项是否有公因式，若有，先提取公因式，再用公式分解。 例：分解 解：原式 2. 套公式：判断剩余部分符合哪个公式的特点，套用公式分解。 3. 查彻底：检查分解后的整式是否还能继续分解，确保分解到不能再分解为止。 【知识点3 常见变形与拓展】 1. 底数为多项式的情况 例：分解 解：原式 2. 多次运用公式 例：分解 解：原式 四、注意事项 1. 公式中的 、 可以是单项式，也可以是多项式； 2. 因式分解的结果必须是整式的乘积形式，不能出现加减号； 3. 优先提公因式，再用公式，顺序不能颠倒。 总结：判断口诀 提公因式后再判断，项数先把范围圈； 二项只看平方差，两平方项符号反； 三项再看完全平，两正平方中间添； 中间等于二倍积，特征全符就能分解。 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 解题技巧：公式法分解因式的核心是“匹配公式特征”，解题的关键思路的是：先看前提（提公因式后）→ 再定项数 → 最后抓核心特征，逐步判断是否符合平方差公式或完全平方公式的要求。 【典例】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 平方差公式分解因式】 解题技巧：两项均能写成“某个整式的平方”形式（即两项都是“平方项”）； 判断技巧：看每一项的系数是否为完全平方数（如1、4、9、16…），字母部分的次数是否为偶数。两项符号相反（一正一负）； 判断技巧：先将多项式整理为“正项 - 负项”的形式，若无法整理则不符合。 【典例】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）分解因式： ． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·福建福州·月考）因式分解： ． 【跟踪专练3】．（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式： ． 【题型3 完全平方公式分解因式】 解题技巧：三项式：判断是否符合完全平方公式1.有两项是“平方项”，且这两项符号相同（均为正，八年级阶段无负平方项）； 判断技巧：先找出多项式中“系数为完全平方数、字母次数为偶数”的两项，观察其符号是否一致。2.第三项是“两平方项底数乘积的2倍”3.三项的顺序可调整（先平方项，再中间项，最后平方项）； 判断技巧：若顺序混乱，先整理为“平方项 + 中间项 + 平方项”的形式再判断。 【典例】．（25-26九年级上·广东广州·月考）因式分解： . 【跟踪专练1】．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【跟踪专练2】．（2025·广西·一模）分解因式： ． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则 ． 【题型4 综合运用公式法分解因式】 解题技巧：熟知分解因式的方法是解题的关键 【典例】．（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解 (1) (2) 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·山东日照·月考）因式分解： (1) (2) 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1) (2) (3) 【题型5 综合提公因式和公式法分解因式】 解题技巧：综合运用公式法分解因式，核心是“先化简、再匹配、多验证”，即先通过提公因式等步骤简化多项式，再根据化简后多项式的特征，灵活选用平方差公式、完全平方公式，必要时多次联用公式，最终确保分解彻底。 【典例】．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【跟踪专练1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·江西南昌·月考）把下列各式因式分解： (1) (2) 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）因式分解： (1)； (2)． 【题型6 因式分解在有理数简算中的应用】 解题技巧：核心思路是将复杂的有理数运算转化为“因式乘积”形式，通过“提取公因式、约分、凑整”等操作简化计算，避免繁琐的硬算。 【典例】．（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算 等于（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·陕西延安·月考）简便运算：． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型7 十字相乘法】 解题技巧：十字相乘法分解因式的核心解题技巧可概括为 “拆两头、凑中间、验十字” 【典例】．（25-26八年级上·山东淄博·期末）因式分解： 【跟踪专练1】．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）在实数范围内因式分解： ． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【题型8 分组分解法】 解题技巧：分组后提公因式或用公式，转化为可分解形式，具体步骤与技巧如下： 1. 观察结构，合理分组 根据多项式项数（通常4项或可拆分为4项）和系数特征分组，核心是“分组后每组内有公因式，或两组间能提取公因式/用公式”。 2.组内分解，提取公因式 对每组分别分解：若组内有公因式，先提取公因式；若组内是三项式，尝试用完全平方公式等分解，确保分组后出现“公共因式”或“可继续分解的公式形式”。 3. 整体分解，验证结果 提取两组间的公共因式，完成整体分解；若分组后得到平方差等公式形式，继续用公式分解，最后反向展开验证结果正确性。 关键技巧1.分组无固定方式，需灵活尝试，核心是“分组后能继续分解”； 2.遇到有括号的多项式，可先去括号整理后再分组； 3.多项式有公因式时，优先提取整体公因式，再分组分解。 【典例】．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （2）请用以上方法将分解因式． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·福建福州·月考）阅读下面的分解因式的过程，回答问题： ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法． (1)因式分解：______； (2)利用上述分解因式的方法证明：如果是的三条边的长，那么． (3)若、、为非零实数，且，求证：． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．具体过程如下： ． 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)已知，且，求的值． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）阅读下列材料：分解因式：． 解法：． 解法：． 【方法总结】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法分解下列因式： (1)； (2)． 【题型9 因式分解的应用】 解题技巧：因式分解的核心价值在于“化繁为简、化和为积”，其应用题型围绕“利用因式分解简化运算、解决求值/方程/不等式问题”展开。 【典例】．（25-26八年级上·河南信阳·月考）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： (1)解决问题：因式分解： (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式4，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·福建莆田·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是 ；判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 2．（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东汕头·月考）对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 4．（2025九年级上·重庆·专题练习）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 6．（25-26八年级上·山西朔州·月考）设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（    ） 甲 乙 丙 丁 1319 1716 2184 2730 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（25-26八年级上·山西朔州·月考）下列各式中，不是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若，，则= 9．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值为 ． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分解因式： 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若和均是的因式，则p的值为 ． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）对下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26八年级上·江西南昌·月考）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 14．（25-26七年级上·河南郑州·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”． 例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得． 【基础应用】 （1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：； 【方法深化】 （2）分解因式：； 【拓展创新】 （3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值． 16．（25-26八年级上·河南新乡·月考）小红在翻阅数学资料时，看到下列阅读材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据上述阅读材料，解决下列问题． (1)因式分解：． (2)因式分解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题6 用公式法分解因式 知识点+题型专练+解题技巧+过关检测 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 3 【题型2 平方差公式分解因式】 5 【题型3 完全平方公式分解因式】 6 【题型4 综合运用公式法分解因式】 7 【题型5 综合提公因式和公式法分解因式】 10 【题型6 因式分解在有理数简算中的应用】 12 【题型7 十字相乘法】 14 【题型8 分组分解法】 16 【题型9 因式分解的应用】 21 【知识点1 用公式法因式分解】 公式法因式分解，是指逆用整式乘法公式，把多项式分解成几个整式乘积的形式。八年级阶段重点掌握 平方差公式 和 完全平方公式 两类。 一、核心公式 1. 平方差公式 · 公式表达式： · 公式特点： ① 多项式是二项式； ② 两项都能写成平方的形式； ③ 两项的符号相反（一正一负）。 · 常见易错点： · 忽略“两项都是平方形式”，比如 不能直接用平方差公式（ 不是平方数）； · 符号判断错误，比如 要先变形为 ，再分解为 。 · 例题： 分解 解：原式 2. 完全平方公式 · 公式表达式： ① 完全平方和： ② 完全平方差： · 公式特点： ① 多项式是三项式； ② 其中两项是平方项，且符号相同； ③ 第三项是两平方项底数乘积的 倍（符号可正可负）。 · 常见易错点： · 漏看系数的平方，比如 中，，，，分解为 ； · 混淆“”项的符号，比如 ，不是 。 · 例题： 分解 解：原式 【知识点2 用公式法因式分解的步骤】 1. 提公因式：先观察多项式各项是否有公因式，若有，先提取公因式，再用公式分解。 例：分解 解：原式 2. 套公式：判断剩余部分符合哪个公式的特点，套用公式分解。 3. 查彻底：检查分解后的整式是否还能继续分解，确保分解到不能再分解为止。 【知识点3 常见变形与拓展】 1. 底数为多项式的情况 例：分解 解：原式 2. 多次运用公式 例：分解 解：原式 四、注意事项 1. 公式中的 、 可以是单项式，也可以是多项式； 2. 因式分解的结果必须是整式的乘积形式，不能出现加减号； 3. 优先提公因式，再用公式，顺序不能颠倒。 总结：判断口诀 提公因式后再判断，项数先把范围圈； 二项只看平方差，两平方项符号反； 三项再看完全平，两正平方中间添； 中间等于二倍积，特征全符就能分解。 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 解题技巧：公式法分解因式的核心是“匹配公式特征”，解题的关键思路的是：先看前提（提公因式后）→ 再定项数 → 最后抓核心特征，逐步判断是否符合平方差公式或完全平方公式的要求。 【典例】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可． 【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解． 选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解． 选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解． 故选D． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，需检查各选项是否符合此形式． 【详解】解：A、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； C、，能运用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； D、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【跟踪专练3】．（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 【题型2 平方差公式分解因式】 解题技巧：两项均能写成“某个整式的平方”形式（即两项都是“平方项”）； 判断技巧：看每一项的系数是否为完全平方数（如1、4、9、16…），字母部分的次数是否为偶数。两项符号相反（一正一负）； 判断技巧：先将多项式整理为“正项 - 负项”的形式，若无法整理则不符合。 【典例】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 观察多项式发现符合平方差公式的形式，直接应用公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·福建福州·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，提公因式法分解因式，平方差公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【跟踪专练3】．（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解即可，熟练掌握平方差公式是解题的关键 ． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型3 完全平方公式分解因式】 解题技巧：三项式：判断是否符合完全平方公式1.有两项是“平方项”，且这两项符号相同（均为正，八年级阶段无负平方项）； 判断技巧：先找出多项式中“系数为完全平方数、字母次数为偶数”的两项，观察其符号是否一致。2.第三项是“两平方项底数乘积的2倍”3.三项的顺序可调整（先平方项，再中间项，最后平方项）； 判断技巧：若顺序混乱，先整理为“平方项 + 中间项 + 平方项”的形式再判断。 【典例】．（25-26九年级上·广东广州·月考）因式分解： . 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式，进行分解即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因数，再根据完全平方公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】．（2025·广西·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 观察表达式，其为首项平方、末项平方数，且中间项为两数乘积的二倍，符合完全平方公式的特征． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 【题型4 综合运用公式法分解因式】 解题技巧：熟知分解因式的方法是解题的关键 【典例】．（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式将原式化为，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·山东日照·月考）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式．熟练掌握提公因式法，公式法，分组法分解因式，是解题的关键． （1）综合运用提公因式分解因式和运用平方差公式分解因式； （2）先分组，再综合运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先将后三项提取负号构成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先运用平方差公式分解因式，再计算加减即可； （3）提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【题型5 综合提公因式和公式法分解因式】 解题技巧：综合运用公式法分解因式，核心是“先化简、再匹配、多验证”，即先通过提公因式等步骤简化多项式，再根据化简后多项式的特征，灵活选用平方差公式、完全平方公式，必要时多次联用公式，最终确保分解彻底。 【典例】．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 【跟踪专练1】．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·江西南昌·月考）把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型6 因式分解在有理数简算中的应用】 解题技巧：核心思路是将复杂的有理数运算转化为“因式乘积”形式，通过“提取公因式、约分、凑整”等操作简化计算，避免繁琐的硬算。 【典例】．（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·陕西延安·月考）简便运算：． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 十字相乘法】 解题技巧：十字相乘法分解因式的核心解题技巧可概括为 “拆两头、凑中间、验十字” 【典例】．（25-26八年级上·山东淄博·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，准确的计算是解决本题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式在实数范围内的因式分解，解题的关键是利用十字相乘法或求根公式分解多项式． 先通过十字相乘法拆分二次项与常数项的系数，将拆分为两个一次式的乘积；或先求方程的根，再利用求根公式法分解． 【详解】解：用十字相乘法：． 故答案为：． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 【题型8 分组分解法】 解题技巧：分组后提公因式或用公式，转化为可分解形式，具体步骤与技巧如下： 1. 观察结构，合理分组 根据多项式项数（通常4项或可拆分为4项）和系数特征分组，核心是“分组后每组内有公因式，或两组间能提取公因式/用公式”。 2.组内分解，提取公因式 对每组分别分解：若组内有公因式，先提取公因式；若组内是三项式，尝试用完全平方公式等分解，确保分组后出现“公共因式”或“可继续分解的公式形式”。 3. 整体分解，验证结果 提取两组间的公共因式，完成整体分解；若分组后得到平方差等公式形式，继续用公式分解，最后反向展开验证结果正确性。 关键技巧1.分组无固定方式，需灵活尝试，核心是“分组后能继续分解”； 2.遇到有括号的多项式，可先去括号整理后再分组； 3.多项式有公因式时，优先提取整体公因式，再分组分解。 【典例】．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （2）请用以上方法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解， （1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·福建福州·月考）阅读下面的分解因式的过程，回答问题： ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法． (1)因式分解：______； (2)利用上述分解因式的方法证明：如果是的三条边的长，那么． (3)若、、为非零实数，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分组后用平方差公式分解因式； （2）将分解因式，再利用三边关系求解； （3）利用完全平方公式、多项式乘以多项式法则将的左、右两边分别展开，再统一移到等式的左边，再将左边分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ∵是的三条边的长， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、、为非零实数， ∴， 即． 【点睛】本题考查了分组分解法，平方差公式分解因式，三角形三边关系的应用，完全平方公式分解因式，因式分解的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．具体过程如下： ． 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； （2）先分组，然后提公因式，然后利用平方差公式与完全平方公式因式分解，即可求解； （3）对进行因式分解，可得，则可得，两边同时乘以即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ，即， 两边同时乘以可得， ． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）阅读下列材料：分解因式：． 解法：． 解法：． 【方法总结】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法分解下列因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【题型9 因式分解的应用】 解题技巧：因式分解的核心价值在于“化繁为简、化和为积”，其应用题型围绕“利用因式分解简化运算、解决求值/方程/不等式问题”展开。 【典例】．（25-26八年级上·河南信阳·月考）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： (1)解决问题：因式分解： (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 【答案】(1) (2)三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：三角形为等边三角形，理由如下： 原式展开得 ，整理得 ， ， ， ∴， ∴， ∴这个三角形为等边三角形． 【跟踪专练1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式4，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】141650 【分析】本题考查因式分解的实际应用，将多项式因式分解后代入数值求各因式的值，再从小到大排列得到密码即可． 【详解】解：多项式提取公因式得，再利用平方差公式分解为 ． 当，时，，． 将这些值从小到大排列为 14， 16， 50， 故密码为141650； 故答案为：141650． 【跟踪专练2】．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，解题的关键在于对已知关系式变形，推导出、、的关系．将已知关系式进行因式分解，得出，分或两种情况讨论，结合三角形边长关系排除不可能情况，从而确定三角形的形状． 【详解】解： ， ， 或 若，则， 这个三角形为等腰三角形； 若，则， ，， 为三角形边长，均大于， ，但此时，不满足三角形两边之和大于第三边，即， 该情况不成立， 综上，这个三角形一定是等腰三角形． 故选：A． 【跟踪专练3】．（25-26八年级上·福建莆田·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是 ；判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 【答案】(1) 2或5或8（写一个即可） 是 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设（a，b，c，d为整数），运用整式的乘方与因式分解证明能表示为两个整数的平方和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）证明：设（a，b，c，d为整数），则 ∵a，b，c，d为整数， ∴，都是整数， 是“完美数”． 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先将代数式分解因式，再根据密码手册匹配对应的字． 【详解】解： ． 根据密码手册：对应“勤”，对应“奋”，对应“自”，对应“主”， ∴密码信息为“勤奋自主”． 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的方法，利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、 ， 故选：． 3．（25-26八年级上·广东汕头·月考）对于任意整数n，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式，将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵n是任意整数， ∴都能被8整除， ∴多项式都能被8整除． 故选：C． 4．（2025九年级上·重庆·专题练习）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法与因式分解，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式．逐一检查各选项：A是整式乘法，B不是乘积形式，D分解后不等于左边，只有C正确，即可解答． 【详解】解：A∶ 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B∶ 右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C∶ ，是正确因式分解，符合题意； D∶ ，分解错误，不符合题意． 故选C． 5．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）已知的三边长分别是，，，且满足，判断此三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握分解因式的方法是做题的关键．将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得三边关系，从而可以判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ， ∴是等边三角形． 故选：D． 6．（25-26八年级上·山西朔州·月考）设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（    ） 甲 乙 丙 丁 1319 1716 2184 2730 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，可分解为，即三个连续整数的乘积，其中必为偶数；甲的结果1319为奇数，矛盾，故甲错误． 【详解】解：∵， 为三个连续整数之积，其中必含偶数， ∴为偶数， 甲的结果1319为奇数，与恒为偶数矛盾， ∴甲计算错误． 故选A 7．（25-26八年级上·山西朔州·月考）下列各式中，不是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解，先将多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到因式a、和，再逐一检查选项是否为因式． 【详解】解：∵多项式， ∴其因式包括a、、， 故选：B． 8．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若，，则= 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 将表达式因式分解后代入已知条件求解即可． 【详解】， 代入和，可得：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过因式分解将原式化为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：6． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再运用完全平方公式分解． 【详解】解：原式= = ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若和均是的因式，则p的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法，理解整式和因式分解是互逆运算是解答的关键． 根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵和均是的因式， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）对下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提取公因式，再由平方差公式进行因式分解； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先展开，再合并，然后利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ； （4）解： 13．（25-26八年级上·江西南昌·月考）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． （4）先整理原式，再令，整理原式，因为为正整数，得为正整数，即代数式的值一定是某个整数的平方． 【详解】（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设． ． （4）解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 14．（25-26七年级上·河南郑州·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据正方形的性质即可解决问题； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得根据，列出等式，整理后得，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴ 应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形． ∴ 此新的正方形的边长是， 故答案为：4，； （2）解：根据题意可知：， 故答案为：； （3）解：设， 根据题意，得 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”． 例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得． 【基础应用】 （1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：； 【方法深化】 （2）分解因式：； 【拓展创新】 （3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ，， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意利用分组分解法求解是解题的关键． （1）根据分组分解法组合求解即可； （2）根据分组分解法组合求解即可； （3）把展开，对照即可得解； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ， 根据是由多项式通过“多项式分裂重组法”分解得到， ， ，，． 16．（25-26八年级上·河南新乡·月考）小红在翻阅数学资料时，看到下列阅读材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据上述阅读材料，解决下列问题． (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式以及整体思想是解此题的关键． （1）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：令，则， 再将还原，得到原式． （2）解：令，则． 再将还原，得到原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $