湖南岳阳市平江县2025-2026学年下学期期末教学质量监测高一数学试题

平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学 考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上，时量120分钟，满分150分． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ） A． B． C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定 3．使式子有意义的的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 4．已知，是第三象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．等边三角形的边长为1，如果，，，那么（ ） A． B． C． D． 6．一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．某单位职工进行了体检，其中体重（单位：）体检结果统计如下表格： 男性 女性 单位职工 人数 30 18 48 平均数 64 56 方差 151 169 则（ ） A．157 B．159 C．162 D．165 8．的内角，，的对边分别为，，．已知，，若是的中点，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（ ） A．当时，为纯虚数 B．一定是实数 C．的最小值为2 D．在复平面内对应点的轨迹是圆 10．已知向量，，满足，，，则（ ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 11．在体积为的正四棱锥中，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A． B．二面角的余弦值为 C．正四棱锥的外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正切值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．一组数据如下：，，，，，，，，，，则该组数据的第80百分位数是____________． 13．已知，则的最大值为____________． 14．若为偶函数，则____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在中，，，，，设，． （1）用，表示，； （2）若，，，则当时，求的值． 16．（15分）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 17．（15分）如图，四棱锥中，为正三角形，，，，为线段的中点． （1）在平面内，找到过点与平面平行的直线并证明； （2）若，证明：平面平面； 18．（17分）在中，内角、、所对的边分别为、、，． （1）求； （2）若外接圆的面积为，求面积的最大值． 19．（17分）已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数的取值范围； （3）设，当为何值时，关于的方程有实根？ 平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学参考答案与解析 一、选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B D D B B 二、多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AC BC BCD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．【解答】解：集合，集合，故．故选：A． 【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题． 2．【解答】解：因为，，所以，又，所以．故选：A． 【点评】本题考查空间中线线关系，属基础题． 3．【解答】解：要使式子有意义，则，解得且． 的取值范围是，且．故选：D． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数式的性质，是基础题． 4．【解答】解：因为，所以，因为β是第三象限角，所以，则．故选：B． 【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系，属于基础题． 5．【解答】解：在正三角形内，，，，，即， 即，则 ，故选：D． 【点评】本题主要考查向量数量积的计算，根据向量数量积的定义是解决本题的关键．注意向量夹角的计算． 6．【解答】解：设圆锥的母线长为l，因为圆锥的高是，则底面半径为， 侧面积，解得，则，故圆锥轴截面的周长为．故选：D． 【点评】本题考查圆锥侧面积的有关计算，属于基础题． 7．【解答】解：计算单位职工体重的平均数n：， 已知单位职工体重方差为169，根据分层方差的合并公式可得： ，化简得：．故选：B． 【点评】本题考查了分层方差的合并公式，属于基础题． 8．【解答】解：在三角形中，显然，， 由 ， 又，所以，又，所以，所以， 又M是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又，所以， 当时，，即．故选：B． 【点评】本题考查三角恒等变换以及解三角形的知识与方法，属于中档题． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．【解答】解：复数，当时，为纯虚数，故A正确；当时不是实数，故B错误；，所以的最小值为2，故C正确；设z在复平面内对应点，所以z在复平面内对应点的轨迹是直线，故D错误．故选：AC． 【点评】本题考查的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 10．【解答】解：足，，， ，故A错误．选项B：当时，存在实数k使得且，得，代入得：，，故选项B正确．选项C：当与垂直时，．，化简，即，故项C正确．选项D：足，，，，投影向量为，与选项中不符，故D错误．故选：BC． 【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 11．【解答】解：取的中点E，设O为正方形的中心，连接，，则， 因为，所以异面直线与所成的角即， 则， 设，则，，， 则， 所以正四棱锥的体积为， 解得，所以，A错误． 易证，则为二面角的平面角， 所以，B正确． 设正四棱锥的外接球的球心为M，且， 由，得， 即， 即， 解得， 所以正四棱锥的外接球的表面积为，C正确． 因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角． 过点O作，垂足为H．易证平面， 则为直线与平面所成的角， 则，D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【解答】解：将数据10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，从小到大排列： 10，11，12，13，15，15，17，18，20，21，又10×80%＝8，则该组数据的第80百分位数．故答案为：19． 【点评】本题考查百分位数相关定义，属于基础题． 13．【解答】解：，，当且仅当即时，等号成立， ，所以，，则的最大值为．故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 14．【解答】解：根据题意，设， 其定义域为R，若为偶函数，则， 变形可得，必有．故答案为：2． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【解答】解：（1）因为，，，， 设，． 则，．..........6分 （2）当时，， 即， 因为，， 所以， 故．...................................................................................................................13分 【点评】本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的应用，属于中档题． 16．【解答】解：（1）；.........................3分 （2）根据题意可知，这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为人；......................................................................................9分 （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为 ．.................................15分 【点评】本题考查了频率分布直方图，属于中档题． 17．【解答】解：（1）如图，连接，直线即为直线， 证明：取的中点E，连接，则， 因为， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面．............................................................................................7分 （2）证明：由，且，得， 又为正三角形，则， 又，， 因为，所以， 而，，所以，又因为，，平面， 所以直线平面，又因为平面， 所以平面平面．.................................................................................15分 【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题． 18．【解答】解：（1）利用正弦定理化简已知等式可得， 由余弦定理可得， 且， 所以；....................................................................................................7分 （2）设的外接圆半径为R，由题意，解得， 由正弦定理得， 则， 由（1）可得：，即， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值．......................17分 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题． 19．【解答】解：（1）由函数是定义域在R上的偶函数， 则对于，都有，即， 即对于，都有， ，解得；............................................................................5分 （2）结合（1）可得， 则， 令， 在R上单调递增，在R上单调递减， 在上单调递增，所以，即， 则不等式对任意的恒成立⇔在上恒成立， ， 又， 又，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为，即， ∴实数a的取值范围为；............................................................11分 （3）令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2， ，则， 令，则， 则原问题转化为关于p的方程的根的个数， 对于有解， 令，则表示开口向上的抛物线， ， a）当时，即或，此时对称轴， 函数在有唯一零点； b）当且在有唯一零点时， ，可得或； c）当在有两个不相等零点时， 解得． 综上，当时，关于x的方程有实根．........................................................................................................................17分 【点评】本题考查了指数函数、对数函数、对勾函数的性质，考查了转化思想及函数的零点，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学答题卡 学校： 姓名： 班级： 第 考室 座位号： 注意事项 正确 1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。 填涂 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。 条形码粘贴区 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。 正面朝上，请勿贴出实线框外 4答题请勿超出限定区域。请勿折叠，保持卡面清洁。 ☐此方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填涂 选择题（每小题5分，共40分） 选择题（每小题6分，共18分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 四、解答题（共77分） 15.(13分) 高一数学答题卡第1页（共4页） 16.(15分) 17.(15分) 高一数学答题卡第2页（共4页） 18.(17分) 高一数学答题卡第3页（共4页） 19.(17分) 高一数学答题卡第4页（共4页）