《湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（五）》

**基本信息** 覆盖高一数学核心知识，通过立体几何、统计等情境梯度考查数学眼光、思维与语言，如莱洛三角形面积计算与频率分布直方图分析体现应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式、向量、立体几何|以莱洛三角形面积计算考查几何直观| |多选题|3/18|复数、统计|结合相关系数与残差分析数据观念| |填空题|3/15|函数、分层抽样、解三角形|通过角平分线长考查推理能力| |解答题|5/77|四棱锥体积、统计图表、正三棱柱证明|以立体几何证明与统计分析体现应用意识|

《湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B B C A C BD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】将不等式移项得，通分得，即， 等价于，解得，故C正确. 2．C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得． 故选：C 3．C 【分析】依题意可得，又幂的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C 4．B 【分析】根据面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由“内至少有一条直线与平行”，可得平面与平面平行或相交，即充分性不成立； 反之：若“”，则“平面内任一条直线与平行”，即必要性成立， 所以“内至少有一条直线与平行”是 “”的必要不充分条件. 5．B 【分析】根据互斥事件概率公式即得. 【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与是对立事件， 所以． 故选：B. 6．C 【详解】，扇形的面积， 莱洛三角形的面积为. 7．A 【分析】先通过已知求出，再利用平方关系求的值. 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以， 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．C 【分析】设 的中点为 ，则 ，连接 ，则梯形 就是过，，正方体的截面，其面积为 ，故选C. 9．BD 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 10．BCD 【分析】由相关系数的含义可判断A；由残差的散点图的性质可判断B；决定系数越大，模型的拟合效果越好可判断C；由古典概率可判断D. 【详解】对于A，若，两组数据的样本相关系数分别为，， 且，则组数据比组数据的相关性较弱，故A错误； 对于B，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验， 恰好抽到一件次品的概率是，故D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围判断C；则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误； 对于C，设，则方程，即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，设， 依题意，需使， 解得，故C正确； 对于D，作出函数的图象，由时，≤5， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，， 当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，， 由图知，， 则，解得＝4，又由解得， 由解得x＝1，则有，于是， 因函数在单调递减，故， 则，故D正确. 12．2 【分析】令，解方程，再运用代入法进行求解即可. 【详解】令， 所以有，即. 故答案为： 13．300 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人， 则每个学生被抽到的概率为， 可得，解得（人）， 故答案为：. 14．/ 【分析】由题意得出，结合余弦定理可求得角的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值，结合余弦定理可得出的值，再利用并结合三角形的面积公式可求得的长. 【详解】因为，则， 所以， 由余弦定理可得， 又因为，故， 由平面向量数量积的定义可得，故， 所以，可得， 故，故， 因为的平分线交于点，则， 由三角形的面积公式可得， 即，故. 故答案为：. 15．（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接交于点，连，证明，从而证明平面； （2）连，证明平面，得出，计算得到，从而求出三棱锥的体积. 【详解】 （1）连接交于点，连， 正方形，点是的中点，又点是的中点， 又平面，平面， 平面； （2）连， 平面，， ，平面， 为直线与平面所成的夹角，， 又，， 又，点到平面的距离为1 . 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，三棱锥体积的求解，直线与平面所成角的定义，考查了学生的空间想象能力，运算求解能力，属于基础题. 16．(1) (2) (3)92分； 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组的频率之和为1，即可求解； （2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，再根据古典概型的概率公式，即可求解； （3）先求出第80%分位数，即可确定答案. 【详解】（1）根据题意可得，解得； （2）因为，两组的频率之比为， 所以在，两组中分别抽人，人， 所以再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析， 则两人中至少有一人成绩来自的概率为； （3）因为各组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，0.25， 故第80%分位数位于内， 所以第80%分位数为； 所以拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，则估计优胜成绩的分数线为92分； 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解； （2）利用正弦定理相互转换即可求解. 【详解】（1）因为，又，所以， 即．     由余弦定理得：，即．     所以，    所以，又，所以． （2） 在中，由正弦定理得， 则，     在中，由正弦定理得， 则，     因为， 所以，     在中，由正弦定理得，即，     所以 ， 所以，即． 18．(1)证明：连接交于点，连接． 在中，为的中点，为的中点． 是的中位线， ， 平面平面， 平面； (2)证明：在正三棱柱中， 平面平面， ， 在等边中，为的中点， ， 又是平面内的两条相交直线， 平面，又平面， 平面平面； (3) 【分析】（1）连接交于点，根据线面平行的判定定理可得平面； （2）根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （3）根据线面垂直的判定定理证得平面，得为直线与平面所成的角可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接， 和都是直角三角形，且， ， ， ， 由（2）得，平面平面，平面平面，又平面， 平面，则为直线与平面所成的角． 在中，，则 所以直线与平面所成角的正切值为. 【点睛】 19．(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（五） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C．2 D．18 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（    ） A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98 6．如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（   ） A． B． C． D． 7．已知，且，则 （    ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为 A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 10．以下说法正确的是（   ） A．若，两组数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C．决定系数越大，模型的拟合效果越好 D．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数，则______. 13．某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则________. 14．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与面的夹角为，求三棱锥的体积. 16．某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． (1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值； (2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； (3)在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线． 17．在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 18．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面； (3)若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值． 19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $