湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（四）

**基本信息** 以“旅游文化周”“全运会吉祥物”“居民BMI”等现实情境为载体，融合集合、统计、向量、三角函数等知识，通过基础题、综合题、创新题梯度设计，考查数学眼光观察现实、数学思维分析问题、数学语言表达规律的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、立体几何直观图、统计平均数、向量模|结合正方形直观图面积计算，考查空间观念| |多选题|3/18|三角函数性质、数据方差、二项式定理|通过函数图象判断周期与对称性，培养几何直观| |填空题|3/15|单位向量、分层抽样、圆锥与球|以全运会吉祥物抽样为背景，强化数据意识| |解答题|5/77|集合运算、统计案例（BMI）、解三角形、复数、新定义函数|设计居民BMI统计与概率问题，体现应用能力；新定义“函数”题考查逻辑推理|

湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（四） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 3．已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知向量满足，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 5．“国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动.为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图．若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率是（   ）. A． B． C． D． 6．已知，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D． 的图象关于点对称 10．已知函数，的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．在区间 上单调递减 D． 11．下列结论正确的有（    ） A．若数据，，…，的方差为9，则数据，，…，的方差为4 B．若一组数据3，6，，，12的60%分位数为8，则，的值分别可能为7，9 C．若，，，则 D．在的展开式中，项的系数为3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．与向量平行的单位向量的坐标为__________. 13．第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 16．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的分位数； (2)现从样本中利用分层随机抽样的方法从，这两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率. 17．在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 18．已知复数． (1)求||的最小值； (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 19．若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数s，t，都有，证明：对任意，都有． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B B C D A AD AD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】因为，， 所以. 2．B 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 3．D 【分析】根据平均数的概念和公式进行求解即可. 【详解】数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10， 数据的平均数为. 故选：D. 4．B 【分析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可. 【详解】平面向量的夹角为，，， 则向量. 5．B 【分析】利用给定的频率分布直方图，结合分层抽样求出两个区间内所抽人数，再利用列举法求出概率. 【详解】依题意，被抽取的人中，有人年龄在，分别记为，，，； 有人年龄在，分别记为，，记表示抽取、两人， 则“抽取人进行反馈”包含的基本事件为，共种， 其中 “至少有人的年龄在” 的事件包含的基本事件为，共种， 所以该事件发生的概率为. 故选：B. 6．C 【详解】因为，， 所以， 即，解得， 由知，. 7．D 【分析】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 8．A 【分析】先求出函数的解析式，根据题意，由零点，可以得方程，然后常变量分离，构造函数，利用新构造函数的对称性，得到之间的关系，再根据对数的运算性质，得到之间的关系，这样可以把化简成关于的代数式，最后利用换元法，基本不等式以及函数的单调性求出值域即可. 【详解】当时，所以有，因此有，所以函数的解析式为：，由题意可知：有四个不同的实数解，因此有：，设函数，因此由可知：函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，函数的图象如下图所示： 要想函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，必须有，此时有，再由，结合图象可知：函数是关于直线对称，因此有 ，所以，令，令，显然函数在上单调递减， 在上单调递增， 故，. 故选：A 【点睛】本题考查了根据函数零点的性质求代数式的取值范围，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力，考查了函数单调性的应用. 9．AD 【分析】首先求出函数解析式，然后结合正弦函数的性质逐个分析判断. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于A：最小正周期为，故A正确； 对于B：由，得，得， 因为在上递减，在上递增， 所以在区间上不单调递增，所以B错误； 对于C：因为， 所以的图象不关于直线对称，所以C错误； 对于D：因为，所以 的图象关于点对称，所以D正确. 故选：AD. 10．AD 【分析】根据图像得函数的表达式，即可根据选项逐一求解. 【详解】由图可知：最小正周期为,A正确， ，故，又 ,故， 因此，因为，则，因此，B错误， ，D正确， ，则，由于正弦函数在不是单调递减，故C错误. 11．BCD 【分析】利用方差的线性变换性质判断A，根据60%分位数的定义和计算方法验证B，利用条件概率和独立事件的性质计算C，用二项式展开的通项公式求指定项系数D. 【详解】对于选项A，已知，， 则，故A错误； 对于选项B，数据共个，，因此60%分位数为第、个数的平均值， 将数据从小到大排列后，第3、4个数的平均值为8， 当时，数据排序后为3，6，7，9，12， 此时第3、4个数的平均值为，满足条件，故B正确； 对于选项C，因为，则 ， 所以，即独立， ，故C正确； 对于选项D，展开式的通项为：， 的通项为：， 令，即，且. ：系数， ：系数， 总系数为，故D正确. 故选：BCD 12．或 【分析】设该向量坐标为，借助向量平行性质与单位向量定义计算即可得. 【详解】设与向量平行的单位向量的坐标为， 由题意得，解得或， 故与向量平行的单位向量的坐标为，. 13． 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 14． 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解． 【详解】 由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为． 小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环， 可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为， 所以扇环其面积为； 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为． 综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为． 故答案为： 15．(1)，或 (2) 【分析】（1）利用指数运算解不等式，再结合交集、并集、补集运算即可求解； （2）利用交集为空集可得到端点值的取值条件，从而可求范围. 【详解】（1）当时，，， 所以， ，所以或； （2）因为， 所以当时，由，解得，此时满足题意, 当时，由，则根据题意可得或， 解得或， 综上可得实数的取值范围为. 16．(1)，分位数为26.5 (2) 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，利用百分位数的求解方法得到分位数； （2）求出两组人数比值为，则在，中分别抽取2人，4人，利用列举法求解古典概型的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图得，解得. 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以样本数据的分位数在内，设为x， 则，解得， 故估计该社区居民身体质量指数BMI值的样本数据的分位数为26.5. （2）由频率分布直方图可知BMI值在内的频数为， 在内的频数为，所以两组人数比值为， 按照分层随机抽样的方法抽取6人，则在，中分别抽取2人，4人， 记这组2人的编号分别为，，这组4人的编号分别为，，，， 从这6人中随机抽取2人， 故样本空间， 共15个样本点， 设事件“抽取到的2人的BMI值不在同一组”， 则，共8个样本点， 故，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 18．(1) (2) 【分析】（1）由复数模的公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由复数， 可得， 故当时，的最小值为． （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故 设，则， 由题意得，解之得或，所以或， 所以. 19．(1)是“函数”； 不是“函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于任意， 所以， 即成立， 故是“函数”； 对于， 取，则． 因为，故不是“函数”. （2）因为函数是“函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立，所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数的取值范围为. （3）∵对于任意正数s，t，都有， 由函数为“函数”，可知， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $