精品解析：安徽省六安市舒城县2025—2026学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，计30分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解： A、∵， ∴ ，根指数为2，满足二次根式的定义，一定是二次根式，故选项符合题意； B、被开方数，无意义，不是二次根式，故选项不符合题意； C、当时，无意义，不一定是二次根式，故选项不符合题意； D、根指数为3，是三次根式，不是二次根式，故选项不符合题意． 2. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 3. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即． 4. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到结论． 【详解】解： A、∵，，， ∴ ，， ∵ ， ∴不是直角三角形，故选项不符合题意； B、∵ ，设 ，，， ∴ ，， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故选项符合题意； C、∵， ∴设 ， ，， ∴， 解得， ∴ 最大角， ∴不是直角三角形，故选项不符合题意； D、∵，设 ，则，， ∴， 解得， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故选项不符合题意． 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 6. 若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 7. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先推导出，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】解：在矩形中，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 10. 如图，在中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出的长，进而得到和的长，判断选项 A；取的中点，连接，，证明，可得，从而将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可知当三点共线时和最小，最小值为的长，进而判断选项 C、D；根据，利用当三点共线且在延长线上时，取得最小值，进而判断B． 【详解】解：在 中，，，， ， 绕点摆动到， ， 为的中点， ，故选项 A 错误； 如图，取的中点，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时和最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项C错误，选项D正确； ∵， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵当三点共线且在延长线上时，取得最小值，此时点与点重合，即此时， ∴的最小值为，故选项B错误． 二、填空题（每小题4分，计20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，解得． 答案为：． 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 13. 在中，，，高，则的周长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，分别为高在内部和高在外部，利用勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，即可计算出的周长． 【详解】解：分两种情况讨论：当高在的内部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 当高在的外部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 综上所述，的周长是或． 14. 等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 15. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形性质可知为等边三角形，且为中点，所以并可算出，设，则，翻折得，又因可得，最后在中利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点M恰好为边的中点， ∴， 在中，， 设，则， ∵沿翻折得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 三、解答题（16、17每小题8分，18—20每小题10分，21、22每小题12分，计70分） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先化简负整数指数幂，运用二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴，． 18. 如图，在中，，是边上一点，且，连接，，分别为，的中点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理，熟记有关定理是解题的关键． (1)根据三角形中位线的判定与性质推出，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； (2)根据直角三角形的性质求出，再根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵在中，∠，为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 20. “感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． （2）若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】（1）20；84.5；84；87 （2）估计七、八年级参赛学生中成绩为优秀的总人数为140人 （3）八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，理解题意，找到有用信息是解答的关键． （1）求得八年级B等级所占百分比，进而可求得n值；根据中位数和众数的求解方法求解即可； （2）分别用两个年级的参赛总人数乘以其在样本中优秀人数所占的比例求解即可； （3）比较各年级的统计量的大小关系，进而可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，八年级B等级所占的百分比为， ∴，则； ∵八年级A等级人数为（名）， ∴八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为86和88， ∴中位数； 七年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为84和84， ∴中位数， 又数据84出现次数最多，故众数， 故答案为：20；84.5；84；87； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数为140名； 【小问3详解】 解：八年级学生的竞赛成绩更好， 理由：七八年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级，所以八年级八年级学生的竞赛成绩更好． 21. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 【答案】（1）这个降价率为 （2）每根跳绳应定价为32元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用-增长率与销售，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． （1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）设跳绳的降价元，根据该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：设跳绳的降价率为， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 答：这个降价率为． 【小问2详解】 解：设跳绳降价元， 根据题意得：， 解得：，， 因为要尽可能扩大销售量，所以降价要多，因此降价8元，， 答：每根跳绳应定价为32元． 22. 已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，在中，勾股定理求得，∴中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 ①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，计30分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 3. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A. 2 B. C. D. 6. 若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 8. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 10. 如图，在中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 二、填空题（每小题4分，计20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________． 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______． 13. 在中，，，高，则的周长是______． 14. 等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 15. 如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______． 三、解答题（16、17每小题8分，18—20每小题10分，21、22每小题12分，计70分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，是边上一点，且，连接，，分别为，的中点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的周长． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值 20. “感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． （2）若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 21. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 22. 已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $