精品解析： 安徽省六安市舒城县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

舒城县2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，计30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各组数中，组成勾股数的是（ ）． A. ，，1 B. ，， C. 8，， D. 4，5，6 4. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 5. 冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是 6. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将两条不同宽度的长方形纸条重叠在一起，使，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，的对角线相交于点，，，则的周长不可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，计20分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 若关于的方程有一个根为2，则的值为______． 13. 四边形中，，，若，，则的长为____． 14. 对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 15. 如图，矩形中，，在边上取一点P，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为________． 三、解答题（16、17每小题8分，18—20每小题10分，21、22每小题12分，计70分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 已知关于x的方程 （1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； （2）若该方程的两根分别是，且，求k的值． 19. 如图，在菱形中，，． （1）求菱形的面积； （2）若P为对角线上一点，，垂足分别为，求． 20. 某校从七年级随机抽取若干名学生，调查他们平均每周劳动时间的情况，以下是根据调查结果绘制的不完整的统计图： 请根据图中的信息，解答下列问题： （1）本次抽样的学生人数为 人，并补全频数分布直方图； （2）中位数在频数分布直方图中左起第 组范围内，该组频率为 ； （3）所抽取学生平均每周劳动时间的平均数的最小值是多少？ 21. 请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求代数式的值． 22. 如图，在正方形中，点P为边上一点，过点P作于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舒城县2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，计30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，与2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，符合定义，故该选项符合题意； B． 含有2个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； C．整理为，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； D.属于分式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组数中，组成勾股数的是（ ）． A. ，，1 B. ，， C. 8，， D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足的三个正整数是勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A、B中不是正整数，不能组成勾股数，故不符合要求； C中，能组成勾股数，故符合要求； D中，不能组成勾股数，故不符合要求； 故选：C． 4. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 5. 冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可． 【详解】将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15， A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意； B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意； C．这组数据的方差为=，此选项正确，不符合题意； D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键． 6. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，列出一元二次方程，是解题的关键． 根据题意，空白部分的面积占到总面积的，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：． 故选D． 7. 如图，将两条不同宽度的长方形纸条重叠在一起，使，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：C． 8. 一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和，根据外角和是内角和的列得，求解即可，熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则 解得 故选：D． 9. 如图，的对角线相交于点，，，则的周长不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系， 首先由平行四边形得到，，求出，进而求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长， ∴的周长不可能为14． 故选：A． 10. 如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，，根据题意证明出，得到，点F在射线上运动，当时，有最小值，如图所示，过点A作于点H，勾股定理求出，，得到，证明出四边形是矩形，即可得到的最小值为． 【详解】如图所示，取的中点G，连接， ∵矩形中，， ∴ ∴， ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点F在射线上运动 ∴当时，有最小值 如图所示，过点A作于点H ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（每小题4分，计20分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故答案为：． 12. 若关于的方程有一个根为2，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把方程的一个根代入方程中，得到关于的一元一次方程，再求出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得， 故答案为：． 13. 四边形中，，，若，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 延长、相交于点，利用含30度角的直角三角形的性质，得出，从而求得，进而利用由勾股和直角三角形的性质求出长即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， 即 故答案为：． 14. 对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 15. 如图，矩形中，，在边上取一点P，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为________． 【答案】1或9 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，，，结合，勾股定理，求得，解答即可． 【详解】解：当在矩形的内部时， ∵矩形中，，，将沿折叠得到，射线恰好经过的中点， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 当在矩形的外部时， ∴， ∴． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三、解答题（16、17每小题8分，18—20每小题10分，21、22每小题12分，计70分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、二次根式的加减混合运算．根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质、二次根式的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 18. 已知关于x的方程 （1）说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； （2）若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 19. 如图，在菱形中，，． （1）求菱形的面积； （2）若P为对角线上一点，，垂足分别为，求． 【答案】（1）8 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，度角的直角三角形，垂线段最短，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得，根据度角的直角三角形的性质得，最后根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先延长，交于一点，结合平行线的性质以及菱形的性质得，，再整理得，然后证明四边形是平行四边形，即可作答． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 则在中，， ∴， ∴菱形的面积为8； 【小问2详解】 解：延长，交于一点,如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， 即， ∴ ∵P为对角线上一点， ∴， 则， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 20. 某校从七年级随机抽取若干名学生，调查他们平均每周劳动时间的情况，以下是根据调查结果绘制的不完整的统计图： 请根据图中的信息，解答下列问题： （1）本次抽样的学生人数为 人，并补全频数分布直方图； （2）中位数在频数分布直方图中左起第 组范围内，该组频率为 ； （3）所抽取学生平均每周劳动时间的平均数的最小值是多少？ 【答案】（1）50； 补全图形如下： （2）四； （3）2.9小时 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，从统计图获取信息是解题的关键． （1）用组频数除以该组的占比，即可求出抽取的总人数，从而可求出小时人数为14人，据此补全直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用每组最小值乘以每组频数，再求出总时间，然后用总时间除以抽取的总人数计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生人数为（人）， 小时人数为（人） 【小问2详解】 解：∵中位数是学生的劳动时间按从小到大排列，第25、第26两数的平均数， ∴中位数在频数分布直方图中左起第四组范围内，该组频率为； 【小问3详解】 解： 答：所抽取学生平均每周劳动时间的平均数的最小值2.9小时． 21. 请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）8 （3）2028 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ，即． ； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 22. 如图，在正方形中，点P为边上一点，过点P作于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，得出，即可证明； （2）根据正方形的性质得，结合，得出，即可得，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理列方程求出，即可求解． （3）如图，作于F，设，根据正方形的性质得，得出，即可得，，由勾股定理得，同理可得，，，再由勾股定理求出，即可证明． 【小问1详解】 证明：正方形， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在正方形中，， ， ， ， 由勾股定理得，， 设， ， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ； 【小问3详解】 证明：如图，作于F， 设， 正方形， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 即， 同理可得，， ， 由勾股定理得，， 即， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $