2027届高考数学一轮复习讲义第4讲 基本不等式

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖概念理解、变形应用及最值求解，按“条件-结论-拓展”逻辑梳理知识点，通过考点分类（理解辨析、最值求解）、命题点突破（直接法、配凑法等）、真题融入（2021全国乙卷等）及分层练习，构建系统性复习闭环，助力学生突破难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新设计“无字证明”几何直观案例（如例4）发展数学眼光，分命题点详解方法（如常数代换法解例8）提升逻辑推理能力。设置基础到综合的分层训练，结合高考真题即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

2027年高考一轮复习讲义 第4讲 基本不等式 知识点梳理 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 探究核心题型 考点一 基本不等式的理解及常见变形 例1(多选)下列说法不正确的是(　　) A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2 B.x+的最小值是4 C.+的最小值为2 D.存在a，使得a+<2成立 例2 若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 例3 （2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 例4 《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 跟踪训练 1 已知p：a>b>0，q：>2，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.≥ B.≤ C.≤ D．ab≤ 4. （2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 5. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 考点二 利用基本不等式求最值 命题点1　直接法 例1. (多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D.＋ 例2. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 例3. (苏教版必修第一册P61习题3.2 T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则+的最小值为　　　　.  例4. (人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　，此时x=　　　　.  命题点2 配凑法 例5. (2023·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A. B. C．2 D．2 例6. (2025·吉林模拟)已知x>3，则y=+2x的最小值是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 例7. (2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为　　　　.  命题点3 常数代换法 例8. (2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则+的最小值是(　　) A.+ B.4 C. D.+ 例9. (2025·上海)设a，b>0，a+=1，则b+的最小值为　　　　.  命题点4 消元法 例10. 已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 例11. 已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 例12. (多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 例13. 若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 命题点6 齐次化 例14. (2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为(　　) A.12 B.3+2 C. D. 跟踪训练 1. (多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sin x＋ B．y＝2－x－(x＜0) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 2. (多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是(　　) A．ab的最大值为2 B．a＋b的最小值为4 C．a＋2b的最小值为6－3 D.＋的最小值为 3. (多选)下列说法正确的是(　　) A.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4 B.函数y=(x>-1)的最小值为2 C.已知x+y=1，x>0，y>0，则+的最小值为 D.若正数m，n，满足m+n=2，则+的最大值为2 4. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为　　　　.  课时对点精练 一、单项选择题 1．(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是(　　) A.4 B.4 C.9 D.18 2．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 4．若x>0，则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 5．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知x，y是正数，且x＋y＝2，则(　　) A．x(x＋2y)的最大值为4 B．log2x＋log2y的最大值为0 C．2x＋2y的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 9. 下列说法正确的是(　　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 10. (2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是(　　) A.ab≤2 B.+≤1 C.a2+b2≥ D.3a+9b≥18 三、填空题 11．若x<2，则x＋的最大值为________． 12. 函数f(x)=的最小值为　　　　.  13．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 14．已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为________． 15．已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.  四、解答题(共28分) 16.(13分) 已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (1)x+y的最小值；(4分) (2)xy的最大值；(4分) (3)x-y的取值范围.(5分) 17. 已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 18. 已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题， (1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4，当且仅当a=b=c=d时等号成立)(5分) (2)求x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分) (3)已知a>0，求x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(5分) 19. 已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 20. (2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则的最小值为　　　　.  21. 设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________． 22. 若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1++++…++的最小值为　　　　　　.  2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第4讲 基本不等式 知识点梳理 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 探究核心题型 考点一 基本不等式的理解及常见变形 例1(多选)下列说法不正确的是(　　) A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2 B.x+的最小值是4 C.+的最小值为2 D.存在a，使得a+<2成立 答案　ABC 解析　选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，故A错误； 对于B，当x>0时，x+≥2=4(当且仅当x=2时取等号)，当x<0时，x+=-≤ -2=-4(当且仅当x=-2时取等号)，故B错误； 对于C，y=+≥2，等号成立的条件是=，即x2+2=1，显然不能取到，故C错误； 对于D，存在a=-1，使得a+<2成立，故D正确. 例2 若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 答案　C 解析　∵0<a<b，∴2b>a+b， ∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. 例3 （2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 例4 《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 答案　C 解析　根据图形，利用射影定理得 CD2＝DE·OD， 又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab， 所以DE＝＝， 由于OD≥CD， 所以≥(a>0，b>0)． 由于CD≥DE， 所以≥＝(a>0，b>0)． 跟踪训练 1 已知p：a>b>0，q：>2，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵a>b>0，则a2＋b2>2ab， ∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab， ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2， ∴>2， ∴由p可推出q； 当a<0，b<0时，q也成立， 如a＝－1，b＝－3时，＝5>2＝4， ∴由q推不出p， ∴p是q成立的充分不必要条件． 2. 已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵a>b>0，则a2+b2>2ab， ∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab， ∴2(a2+b2)>(a+b)2， ∴>，∴由p可推出q； 当a<0，b<0时，q也成立， 如a=-1，b=-3时，=5>=4， ∴由q推不出p， ∴p是q成立的充分不必要条件. 3. (多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.≥ B.≤ C.≤ D．ab≤ 答案　BD 解析　A选项，由选项可知a与b同号，当a>0且b>0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A选项错误； B选项，当a＋b>0时，>0，则2－2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； C选项，当a＋b>0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确． 4. （2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 5. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 考点二 利用基本不等式求最值 命题点1　直接法 例1. (多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D.＋ 答案　BC 解析　选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． 例2. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　由已知，得12＝4x＋3y≥2， 即12≥2， 解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号)． 例3. (苏教版必修第一册P61习题3.2 T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则+的最小值为　　　　.  答案　1 解析　∵x>0，y>0，且xy=4， ∴+≥2=2=1， 当且仅当即x=y=2时，等号成立， ∴+的最小值为1. 例4. (人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　，此时x=　　　　.  答案　4　1 解析　当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0. 由基本不等式可得≤=2， 从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4. 当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而当x=1时，y取得最大值4. 命题点2 配凑法 例5. (2023·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A. B. C．2 D．2 答案　D 解析　因为4a2＋b2＝7，则a＝×2a×＝≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，等号成立． 例6. (2025·吉林模拟)已知x>3，则y=+2x的最小值是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C 解析　由x-3>0，则y=+2(x-3)+6≥2+6=10， 当且仅当=2(x-3)，即x=4时等号成立，故最小值为10. 例7. (2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为　　　　.  答案　 解析　当0<x<1时，0<3x<3，4-3x>0， 故x(4-3x)=×3x(4-3x)≤=， 当且仅当3x=4-3x，即x=时取等号， 故x(4-3x)的最大值为. 命题点3 常数代换法 例8. (2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则+的最小值是(　　) A.+ B.4 C. D.+ 答案　D 解析　设x=a+2，y=b，则a=x-2，b=y， 故2x+y=8，其中x>2，y>0， +=(2x+y)=， 由+≥4， 当且仅当=，且2x+y=8， 即x=4(2-)，y=8(-1)时等号成立， 此时满足x>2，y>0， 故+的最小值为×(6+4)=+. 例9. (2025·上海)设a，b>0，a+=1，则b+的最小值为　　　　.  答案　4 解析　易知b+==ab++2≥2+2=4， 当且仅当ab=1，即a=，b=2时取等号，此时b+取得最小值4. 命题点4 消元法 例10. 已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 答案　B 解析　因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0， 所以x=， 则2x+y=+y=+≥2=， 当且仅当=，即y=时，等号成立， 所以2x+y的最小值是. 例11. 已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案　B 解析　∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0，则b＝＋，∴b－＝＋－＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝2时，等号成立，此时b＝. 命题点5 构造不等式 例12. (多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 答案　BC 解析　因为ab≤≤(a，b∈R)， 由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3， 解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确； 由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤， 解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确； 方法一　因为x2+y2-xy=1可变形为+y2=1， 设x-=cos θ，y=sin θ， 所以x=cos θ+sin θ，y=sin θ， 因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ =1+sin 2θ-cos 2θ+ =+sin∈，所以D错误. 方法二　因为x2+y2≥-2xy， 所以-xy≤， 所以1=x2+y2-xy≤x2+y2+=(x2+y2)， 则x2+y2≥，当且仅当x=-y=±时等号成立，所以D错误. 方法三　当x=，y=-时满足x2+y2-xy=1， 但是x2+y2≥1不成立，所以D错误. 例13. 若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去)． 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 命题点6 齐次化 例14. (2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为(　　) A.12 B.3+2 C. D. 答案　C 解析　由x+y=2，则= = ==++， ∵x，y为正实数，∴>0，>0， ∴++≥2+=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立. 故的最小值为. 跟踪训练 1. (多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sin x＋ B．y＝2－x－(x＜0) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 答案　AD 解析　对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意． 2. (多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是(　　) A．ab的最大值为2 B．a＋b的最小值为4 C．a＋2b的最小值为6－3 D.＋的最小值为 答案　BCD 解析　对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2， 即()2＋2－8≤0，解得－4≤≤2， 又因为a>0，b>0，所以0<≤2， 则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误； 对于B，ab＋a＋b＝8≤＋(a＋b)， 即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确； 对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a， 所以b＝>0，解得0<a<8， 所以a＋2b＝a＋2×＝a＋－2 ＝a＋1＋－3 ≥2－3＝6－3， 当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时取等号，故C正确； 对于D，＋＝[a(b＋1)＋b]＝≥×(2＋2)＝， 当且仅当＝，即b＝4，a＝时取等号，故D正确． 3. (多选)下列说法正确的是(　　) A.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4 B.函数y=(x>-1)的最小值为2 C.已知x+y=1，x>0，y>0，则+的最小值为 D.若正数m，n，满足m+n=2，则+的最大值为2 答案　ACD 解析　当x>0时，y=2-3x-=2-≤2-2=2-4，当且仅当3x=，即x=时，等号成立，所以y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4，故A正确； 因为x>-1，则x+1>0， 所以y===x+1++1≥2+1=3，当且仅当x+1=， 即x=0时，等号成立，故B错误； 因为x+y=1，x>0，y>0， 所以+=+=++≥+2=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，故C正确； 由(+)2=m+n+2=2+2≤2+(m+n)=4，当且仅当m=n=1时等号成立， 则+的最大值为2，故D正确. 4. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为　　　　.  答案　7 解析　∵x>0，y>0，2x+y=1， ∴= ==++1 ≥2+1=7， 当且仅当=，且2x+y=1， 即x=y=时，等号成立， ∴的最小值为7. 课时对点精练 一、单项选择题 1．(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是(　　) A.4 B.4 C.9 D.18 答案　D 解析　因为m>0，n>0，mn=81， 由基本不等式得m+n≥2=18， 当且仅当m=n=9时，等号成立， 所以m+n的最小值是18. 2．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 3．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 4．若x>0，则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 答案　D 解析　∵x>0，∴y==x++1 ≥2+1=11， 当且仅当x=，即x=5时，等号成立， ∴函数y=的最小值为11. 5．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 答案　D 解析　由题意得a>0，b>0，＋＝1， 故4a＋9b＝(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 故4a＋9b的最小值是25. 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 二、多项选择题 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 8．已知x，y是正数，且x＋y＝2，则(　　) A．x(x＋2y)的最大值为4 B．log2x＋log2y的最大值为0 C．2x＋2y的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 答案　BCD 解析　由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0<x<2,0<y<2， x(x＋2y)＝(x＋y－y)(x＋y＋y)＝(x＋y)2－y2＝4－y2， 由0<y2<4可得0<4－y2<4， 所以x(x＋2y)无最大值，故A错误； 由x＋y＝2≥2，得0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 所以log2x＋log2y＝log2xy≤log21＝0，故B正确； 由基本不等式可得2x＋2y≥2＝2＝4， 当且仅当x＝y＝1时取等号，故C正确； ＋＝(x＋y)＝≥＝＋， 当且仅当x＝2－2，y＝4－2时取等号，故D正确． 9. 下列说法正确的是(　　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 答案　ACD 解析　A选项，对于函数y=2x+(x<0)， 2x+=-≤-2=-4， 当且仅当-2x=，即x=-1时等号成立，所以A选项正确； B选项，y==+≥2=2， 当=时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误； C选项，对于函数y=x+(x>-2)，x+2>0， x+=x+2+-2≥2-2=6， 当且仅当x+2=，即x=2时等号成立，所以C选项正确； D选项，由基本不等式得≥， 所以x2+y2≥2·=2×22=8， 当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确. 10. (2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是(　　) A.ab≤2 B.+≤1 C.a2+b2≥ D.3a+9b≥18 答案　ACD 解析　ab=·a·2b≤=2，当且仅当a=2b=2时取等号，故A正确； +=(a+2b)=≥=， 当且仅当a=b=时取等号，故B错误； a2+b2=(4-2b)2+b2=5b2-16b+16=5+≥， 当b=，a=时取等号，故C正确； 3a+9b=3a+32b≥2=2=18， 当且仅当a=2b=2时取等号，故D正确. 三、填空题 11．若x<2，则x＋的最大值为________． 答案　－4 解析　x＋＝x－2＋＋2， 由于x<2，所以2－x>0， 故2－x＋≥2＝6， 当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立， 所以x－2＋＝－≤－6， 故x＋＝x－2＋＋2≤－4， 所以x＋的最大值为－4. 12. 函数f(x)=的最小值为　　　　.  答案　4 解析　函数f(x)=的定义域为(1，+∞)，f(x)==+≥2=4，当且仅当=，即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值，最小值为4. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 13．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 答案　 解析　因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)， 令x－1＝t，则t>0， 则f(t)＝＝＝≤＝， 当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立． 故f(x)在(1，＋∞)上的最大值为. 14．已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为________． 答案　 解析　因为a>1，b>2， 所以a－1>0，b－2>0， 又a＋b＝5， 所以(a－1)＋(b－2)＝2，即[(a－1)＋(b－2)]＝1， 所以＋＝[(a－1)＋(b－2)]· ＝ ≥ ＝×(5＋4)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 所以＋的最小值为. 15．已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.  答案　9 解析　设a+1=x>0，2-b=y>0， 则+=，a-b=x+y-3 =3(x+y)-3=3-3≥3-3=9. 当且仅当 即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立. 四、解答题(共28分) 16.(13分) 已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (1)x+y的最小值；(4分) (2)xy的最大值；(4分) (3)x-y的取值范围.(5分) 解　由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8， (1)由x+y=8-xy≥8-， 可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0， 解得x+y≥4， 当且仅当x=y=2时，等号成立， 故x+y的最小值为4. (2)方法一　因为x+y+xy=8，x>0，y>0， 所以8-xy=x+y≥2， 所以()2+2-8≤0， 所以(+4)(-2)≤0， 所以≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4. 方法二　由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立， 所以xy的最大值为4. (3)由x+y+xy=8，可得y=， 由可得0<x<8， 且x-y=x-=x+1-， 令t=x+1，则t∈(1，9)，构造函数f(t)=t-，t∈(1，9)，由于函数f(t)在(1，9)上单调递增， 所以f(t)的值域为(-8，8)， 故x-y的取值范围为(-8，8). 17. 已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解　(1)因为x>0，y>0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)， 令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0,0<x<30,2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 18. 已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题， (1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4，当且仅当a=b=c=d时等号成立)(5分) (2)求x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分) (3)已知a>0，求x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(5分) 解　(1)因为x∈[0，+∞)， 利用a+b+c+d≥4， 当且仅当a=b=c=d时等号成立， 得到x4+1+1+1≥4x， 所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3， 当且仅当x=1时等号成立， 即x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值为-3. (2)因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立， 得到x3++≥x， 所以x3-x=x3++--x≥x--x=-， 当且仅当x=1时等号成立， 即x3-x，x∈[0，+∞)的最小值为-. (3)因为x∈[0，+∞)，且a>0， 利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立， 得到x3++≥ax， 所以x3-ax=x3++--ax≥ax--ax=-， 当且仅当x==时等号成立， 即x3-ax(a>0)，x∈[0，+∞)的最小值为-. 19. 已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 答案　C 解析　由题得＋＝＋， 设＝t(t>0)， 则f(t)＝t＋＝t＋2＋－2 ≥2－2＝8－2＝6， 当且仅当t＋2＝，即t＝2，即y＝2x时取等号． 所以＋的最小值为6. 20. (2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则的最小值为　　　　.  答案　25 解析　由x+y=1，可得y=1-x， 代入S=中， 可得S==-5×， 设t=x+，由x>0，y>0得0<x<1， 则<t<，则x=t-， 于是S=-5× =-5×=-5×， t+≥2=，当且仅当t=时，等号成立， 即当x=，y=时，S=取得最小值25. 21. 设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________． 答案　4 解析　∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0， a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋ ＝a2－ab＋＋ab＋ ＝a(a－b)＋＋ab＋ ≥2＋2＝4， 当且仅当即a＝，b＝时，等号成立． ∴a2＋＋的最小值是4. 22. 若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1++++…++的最小值为　　　　　　.  答案　4 解析　原式=++…++++x1 ≥2++…++++x1 =++…++++x1 ≥2+…++++x1 =+…++++x1 ≥…≥+x1≥2=4， 当且仅当=xi(i=1，2，3，…，2 026，xi>0)， 即x1=x2=…=x2 026=2时，等号成立， 故x1++++…++的最小值为4. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $