第1章 第4讲 基本不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学讲义聚焦基本不等式高考核心考点，涵盖求最值（配凑、常数代换等四角度）、参数范围、实际应用，按“基础结论-多维方法-综合应用”逻辑架构知识。通过自测诊断梳理考点，方法指导突破难点，真题训练强化应用，构建系统复习路径。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用多维探究教学法，如配凑法例题引导学生变形构造“一正二定三相等”条件，培养推理能力。设置分层对点练和师生共研环节，结合真题链接保障复习效果，助力学生建立解题框架，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第4讲　基本不等式 【课程标准】　1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，并能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.　2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 【常用结论】 几个重要的不等式 当且仅当a＝b 时，等号成立. 【自测诊断】 1.(多选)下列说法错误的是(　　) A.不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B.函数y＝x＋(x＞0)的最小值为2 C.函数f(x)＝sin x＋的最小值为4 D.已知x，y均为实数，则“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件 答案：ACD 2.(链接人教A必修一P45例1)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：C 3.(链接人教A必修一P48复习巩固T1(2))的最大值为　　　　. 答案：5 解析：由x(10－x)≥0知0≤x≤10.当x＝0或10时，＝0；当0＜x＜10时，10－x＞0，由基本不等式可得≤＝5，当且仅当x＝10－x，即当x＝5时等号成立.综上，的最大值为5. 4.(链接人教A必修一P46例3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积为　　　m2. 答案：25 解析：设矩形的一边长为x m，面积为y m2，则另一边长为×＝m，其中0＜x＜10，所以y＝x≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积为25 m2. 学生用书⬇第11页 考点一　利用基本不等式求最值(高考超重点) 多维探究 角度1　配凑法 (1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为　　　　. (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为　　　　. 答案：(1)5　(2) 解析：(1)因为x＞，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号. (2)x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号. 角度2　常数代换法 (1)(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为　　　　. (2)(2025·湘豫名校联考)已知正实数x，y满足＋＝1，则4xy－3x的最小值为　　　　. 答案：(1)4　(2)9 解析：灵活利用“1”的代换，再利用基本不等式计算即可. (1)易知b＋＝＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时取得最小值. (2)由x＞0，y＞0，且＋＝1，可得xy＝x＋y，所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y，所以x＋4y＝(x＋4y)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即x＝3，y＝时取等号，所以4xy－3x≥9. 角度3　消元法 (1)已知正实数a，b满足＋b＝1，则的最大值为　　　　. (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值为　　　　. 答案：(1)　 (2)3 解析：(1) 因为正实数a，b满足＋b＝1，＝1－b＞0，0＜b＜1，＝·2b＝(1－b)·2b＝2·b·(1－b)≤2＝，当且仅当b＝1－b，即b＝，a＝2时等号成立. (2)因为x2＋2xy－3＝0，x＞0，y＞0，所以y＝，x∈(0，)，所以2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号. 角度4　构造不等式法 (多选)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是(　　) A.a2＋b2的最小值为2 B.a＋b的最大值为2 C.＋的最小值为2 D.lg a＋lg b＜0 答案：BC 解析：对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时等号成立，则a2＋b2≤2，故A不正确；对于B，由ab≤≤≤1，当且仅当a＝b时等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故B正确；对于C，由＋＝＝＝＋＝－. 因为0＜ab≤1，所以≥1，当＝1时，＋取得最小值为2，故C正确；对于D，因为0＜ab≤1，所以lg a＋lg b＝lg(ab)≤0，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故D不正确.故选BC. 利用基本不等式求最值的方法 前提：“一正”“二定”“三相等” 配凑法 一般形如“y＝ax＋b＋或y＝ax(c－bx)(b≠0)”的形式常用配凑法求最值 常数代换法 一般形如“已知x＋y＝t(t≠0)，求＋(ab≠0)的最值”或“已知＋＝t(t≠0)，求ax＋by(ab≠0)的最值”的问题常用常数代换法求最值 消元法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值 构造不等式法 当已知含“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值时，可利用“公式”转化为解不等式或构造定值求最值 还有直接法、换元法等都可以求“和为常数”或“积为常数”的形式的最值 对点练1.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则3x＋9y的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.2 答案：A 解析：因为x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，所以3x＋9y≥2＝2＝2，当且仅当时，等号成立，所以3x＋9y的最小值为2.故选A. 对点练2.(一题多解)若a＞0，b＞0，且a＋2b＝ab，则2a＋b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 答案：B 解析：法一 ：由a＋2b＝ab得b＝.因为b＞0，所以a－2＞0，所以2a＋b＝2a＋＝2(a－2)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当a－2＝，即a＝b＝3时，等号成立.故选B. 法二：因为a＞0，b＞0，且a＋2b＝ab，所以＝＋＝1.所以2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.故选B. 对点练3.(多选)(2025·山东青岛模拟)若实数a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是(　　) A.a＋b≤8 B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6 D.＋≥ 答案：BCD 解析：对于A，由a＋b＋8＝ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，则t2－4t－32≥0，解得t≥8或t≤－4.因为a＞0，b＞0，则a＋b≥8，故A错误；对于B，由ab－8＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设＝s，则s2－2s－8≥0，解得s≥4或s≤－2.因为s＞0，则s≥4，即ab≥16，故B正确；对于C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1＞0，且a＝，则a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6，当且仅当＝3(b－1)，即b＝＋1，a＝3＋1时取等号，a＋3b有最小值4＋6，故C正确；对于D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1＞0，b－1＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝时等号成立，由即当且仅当a＝，b＝7时，＋，故D正确.故选BCD. 学生用书⬇第12页 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 师生共研 (1)若不等式＋≥恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 (2)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m｜－1＜m＜4} B.{m｜m＜－4，或m＞1} C.{m｜－4＜m＜1} D.{m｜m＜－1，或m＞4} 答案：(1)D　 (2)D 解析：(1)由题意＋≥m恒成立，即5＋＋≥m恒成立.又5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时取等号.故实数m的最大值为9.故选D. (2)因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以＜m2－3m. 因为x＞0，y＞0，＋＝1，所以x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时等号成立，所以m2－3m＞4，所以(m＋1)(m－4)＞0，所以m＜－1或m＞4.故选D. 　　利用基本不等式求参数的值或取值范围时，一般需要结合题目特征，分离参数，利用基本不等式求解，常用的求解方法有两种：一是“∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a”；二是“∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a”. 对点练4.已知a＞0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案：C 解析：因为x＞－1，x＋1＞0，所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，所以x＋有最小值2－1.因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3，解得a≥4，所以a的最小值为4.故选C. 对点练5.已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞) C.(－∞，7＋4) D.(8＋4，＋∞) 答案：C 解析：因为(x－1)(y－2)＝2，x＞0，y＞0，所以xy＝2x＋y，即＋＝1，所以由基本不等式可得3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当时等号成立，综上所述，3x＋2y的最小值为7＋4.因为不等式3x＋2y＞m恒成立，所以m＜7＋4.故选C. 考点三　利用基本不等式解决实际问题 师生共研 (双空题)(链接人教A必修一P58T9)某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则S的最小值为　　　　，此时x的值为　　　　. 答案：118 000 　 解析：由题意知，AM＝，又AM＞0，则0＜x＜10，S＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×＝4 200x2＋42 000－210x2＋＝4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即 x＝时等号成立，所以当x＝时，S取最小值118 000. 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 对点练6.近年来冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为(　　) A.5千米 B.6千米 C.7千米 D.8千米 答案：A 解析：设供热站到社区的距离为x(x＞0)千米，则月自然消费y1＝，月供热费y2＝k2x.由题意得当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝＝，所以y1＝，y2＝x.所以两项费用之和为y1＋y2＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝5时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为5千米.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $