第1章 第4讲 基本不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义围绕基本不等式专题，覆盖不等式应用、最值求解等核心考点，按基础巩固、综合运用、创新拓展分层架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题框架，突破应用难点。 讲义采用分层测评与一题多解策略，如通过“1”的代换、权方和不等式等方法培养数学思维，结合生物跳跃高度等实例发展数学眼光，设置开放题与模拟题提升运算能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第4讲　 基本不等式 【课程标准】　1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)．　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．　3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 1.基本不等式 2.利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2． ［微提醒］　利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． ［常用结论］ 1.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 2.≥2(a，b同号)． 3.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.(当且仅当a＝b时，等号成立) 【自测诊断】 1.(多选)下列命题中不正确的是(　　) A．不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 B．若x＞0，则y＝x＋的最小值是2 C．函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4 D．“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件 答案：ACD 解析：对于A，不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，≥成立的条件是a≥0，b≥0，故A错误；对于B，由于x∈(0，＋∞)，故函数y＝x＋的最小值为2，故B正确；对于C，由于x∈，sin x＝时，sin x＝±2无解，故sin x＋的最小值不为4，故C错误；对于D，“＋≥2”的充要条件是“xy＞0”，故D错误.故选ACD. 2.(链接北师必修一P31A组T7)已知正数a，b满足＋b＝2，则的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：因为2＝＋b≥2≤1，所以≤1，当且仅当a＝b＝1时，取得最大值1.故选A． 3.(链接北师必修一P28T3)已知x＞1，x＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2＋1 D．5 答案：C 解析：由x＞1⇒x－1＞0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝⇒x＝1＋时等号成立，所以x＋的最小值为2＋1.故选C． 4.(链接北师必修一P30练习T3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　m2. 答案：25 解析：设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0＜x＜10，所以y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2. 学生用书⬇第10页 考点一　利用基本不等式求最值 高考超重点，多维探究 角度1　配凑法 (1)已知x∈，则－x＋的最小值为　　　． (2)已知－＜x＜0，则y＝x的最小值为　　　　． 答案：(1)3　(2)－ 解析：(1)由于x∈，所以0＜5－x＜5，故－x＋＝5－x＋－5≥2－5＝3，当且仅当5－x＝，即x＝1时等号成立． (2)由于－＜x＜0，则9－4x2＞0，故y＝x＝×2x＝－≥－×＝－，当且仅当4x2＝9－4x2，即x＝－时取等号，即y＝x的最小值为－. 角度2　常数代换法 (1)(2026·江苏南京模拟)已知x＞0，y＞0，且4x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案：B 解析：由4x＋y－xy＝0，x＞0，y＞0，得＝1，所以x＋y＝＝5＋≥9，当且仅当2x＝y＝6时，等号成立．故选B． 【教师备选】　(2026·陕西西安期末)设x＞0，y＞0，x＋y＝2，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为x＞0，y＞0，x＋y＝2，则＋＝＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即y＝2x＝时，等号成立，所以＋的最小值为.故选B. (2)(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为　　　　． 答案：4 解析：易知b＋＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时取得等号． 角度3　消元法 (1)(2026·重庆模拟)若正实数x，y满足xy＋x－3y＝－1，则x－y的最大值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 (2)(2025·山西太原模拟)已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)由xy＋x－3y＝－1有x＝，则x－y＝－y＝4－≤0，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．故选D． (2)因为正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则y＝－，则2x＋y＝2x＋－＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以2x＋y的最小值为.故选A. 角度4　换元法 (一题多解)若实数x，y满足xy＞0，则＋的最大值为(　　) A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2 答案：D 解析：法一：由实数x，y满足xy＞0，设故mn＞0，解得＋＝＋＝4－(＋)≤4－2＝4－2，当且仅当＝，及n＝m时等号成立，所以＋的最大值为4－2.故选D. 法二：令t＝＞0，则＋＝＋＝＋1－＝1＋＝1＋，由t＞0得2t＋≥2＝2，故1＋≤1＋＝4－2，当且仅当2t＝即t＝即y＝x时，取“＝”，故选D. 利用基本不等式求最值的方法 配凑法 根据式子特征变形，配凑积或和为常数，直接用基本不等式求最值 常数代换法 已知x＋y＝t(t为常数)时，，再用基本不等式 多元消元法 变量多元时先消元，再凑和(积)为常数形式，用基本不等式 换元法 为配凑或常数代换的拓展，适用于分母含一次二项式的情况 对点练1.已知x＞0，y＞0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案：C 解析：由题意可知xy＝x＋y＋8≥2＋8，当x＝y＝4时等号成立，即xy－2－8≥0，令＝t(t＞0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4或t≤－2(舍).即≥4，xy≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立.故选C. 对点练2.(多选)(2026·福建福州模拟)已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则(　　) A．xy≤ B．x2＋y≥ C．＋≥3＋2 D．x＋＞2 答案：ACD 解析：对于A，因为x＞0，y＞0，则1＝x＋2y≥2，即得xy≤，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故A正确；对于B，因为x2＋y＝x2＋＝(x－)2＋，由可得0＜x＜1，故x2＋y在x＝时取得最小值，故B错误；对于C，由(＋)(x＋2y)＝3＋(＋)≥3＋2＝3＋2，当且仅当x＝y＝－1时，等号成立，故C正确；对于D，因为x＞0，y＞0，由x＋＝x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，由上分析0＜x＜1，故有x＋＞2，即D正确.故选ACD. 对点练3.(一题多解)(2025·河北石家庄模拟)已知m＞2，n＞1，且3m＋3n＝mn＋7，则m＋2n的最小值为　　　　． 答案：13 解析：法一：由3m＋3n＝mn＋7可得m＝＝＝3－＝3＋.又因为m＞2，n＞1，所以n＞3，则m＋2n＝3＋＋2n＝9＋＋2.因为n－3＞0，所以由基本不等式得m＋2n＝9＋＋2≥9＋2＝13，当且仅当＝2，即n＝4时取等号，此时m＝5. 法二：由3m＋3n＝mn＋7可得＝2.因为m＞2，n＞1，所以m－3＞－1，n－3＞－2，所以m－3＞0，n－3＞0，则m＋2n＝＋2(n－3)＋9≥2＋9＝13，当且仅当时等号成立. 学生用书⬇第11页 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 师生共研 (1)(2026·江苏南京模拟)若两个正实数x，y满足＋＝2，且不等式xy＞m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　． (2)已知x＞0，y＞0且x＜y＜2x，x＋y＝3.若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　． 答案：(1)　(2) 解析：(1)由两个正实数x，y满足＝2，得2＝≥2，所以xy≥4，当且仅当，即y＝4x＝4时取等号，所以xy的最小值为4.因为不等式xy＞m2－3m恒成立，所以4＞m2－3m，解得－1＜m＜4. (2)若＋≥a恒成立，则a≤.又＋＝＋)(2x－y＋2y－x)＝［3＋＋］≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝3－时，等号成立，所以a≤. 　　利用基本不等式求参数的值或取值范围时，一般需要结合题目特征，分离参数，利用基本不等式求解，常用的求解方法为： 　　一是“∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a”． 　　二是“∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a”． 对点练4.(2025·安徽蚌埠模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则实数k的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 答案：C 解析：因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)](＋)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立，即＋≥.由题意可得≥1.又k＞0，解得0＜k≤24，故k的最大值为24.故选C. 对点练5.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若2x＋y＜m2－8m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)⋃(9，＋∞) B．(－∞，－1］⋃［9，＋∞) C．(－9，－1) D．［－9，1］ 答案：A 解析：因为x＞0，y＞0，且＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9.若2x＋y＜m2－8m有解，则9＜m2－8m，解得m＞9或m＜－1.故选A． 考点三　基本不等式的实际问题 师生共研 (2026·天津南开区模拟)勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于4 cm，则该三角形面积的最大值为　　　　cm2. 答案：12－8 解析：设直角三角形的两直角边长分别为a，b(a，b＞0)，则斜边长为.因为直角三角形的周长为4 cm，所以a＋b＋＝4.由a＋b＋≥2＋＝(2＋，当且仅当a＝b时，等号成立，所以(2＋≤4，即ab≤()2，所以S＝ab≤×()2＝12－8，即三角形面积的最大值为12－8. 利用基本不等式解决实际问题的方法 设函数 将待求最值的量表示为变量的函数 建模型 根据题意建立函数解析式 定范围 确定变量的实际约束条件(定义域) 求最值 在定义域内应用基本不等式，验证等号成立条件 验结果 检查所求最值是否符合实际意义 对点练6.如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域．四个小矩形AMQD，MNFE，BCPN，PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2，且AM＝ME＝3NB．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为1 000元/m2；在四个矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为200元/m2.则当总造价最低时，AD的长为　　　　m． 答案：4 解析：设AD的长为x m，总造价为y元，因为四个小矩形AMQD，MNFE，BCPN，PQHG与小正方形MNPQ面积之和为400 m2，且AM＝ME＝3NB，小正方形MNPQ的面积为x2，其中矩形AMQD的面积为，则AM＝·.因为AM＞0，所以0＜x＜20，阴影部分面积为400－x2.因为S△AME＝AM2＝×，S△DQH＝S△BNF＝S△AME，S△PCG＝S△AME，所以草坪面积是△AME面积的1＋＋＋＝(倍)；所以草坪面积为××，所以y＝1 000x2＋400×＋200×××(×)2＝100＋140 000，因为0＜x＜20，所以y≥100×2＋140 000＝240 000，当且仅当＝，即x＝4时，等号成立，所以当x＝4时，总造价y最小，最小值为240 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $