精品解析：四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末模拟试卷二数学试题

宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷二 数学试题 命题人：杨仁萍 审题人：李丹丹 满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的四则运算求出导函数，将1代入导函数即可求解. 【详解】，， ． 故选：A 2. 某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由以及正态曲线的对称轴为， 故， 故选：B 3. 的展开式中所有的有理项有（ ）项 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项，由为整数且，求出的值，再代入通项求出有理项，即可得到其系数和. 【详解】由题意得的展开式的通项公式如下， 为， 由题意可知，为整数且， 所以或或，所以， ，， 所以的展开式中所有的有理项有3项. 4. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 5. 已知某厂甲､乙两车间生产同一批商品，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的，甲､乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式结合题设可得答案. 【详解】设产品来自甲车间为事件，产品来自乙车间为事件，取到优品为事件C. 由题可得，，， 则由全概率公式，. 6. 高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（     ） A. 120 B. 160 C. 180 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论C，A同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行， 区域A有5种涂法，B有4种涂法， C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2=120种， C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3=60种， ∴共有180种不同的涂色方案 . 故选：C. 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集． 【详解】函数的定义域为， 则 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得或， 因此，不等式的解集为． 8. 已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和指数型函数的单调性，结合零点的定义、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】因为，且函数和都是上的增函数， 所以要想恒成立，则需函数和的零点相同， 令， 令， 所以，则， 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 故，所以最大值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与B互相独立，且，则 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式和条件概率公式，决定系数得概念，二项分布的均值以及均值的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】已知事件A与B互相独立，则，则，所以A正确； 决定系数越接近1拟合效果越好，则甲拟合效果更好，所以B错误； 根据二项分布均值公式可知，根据均值的性质可知，所以C正确； 根据规则，只有连续五次投不中，才游戏失败，所以成功的概率为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．在被调查者中，下列说法正确的是（ ） 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B. 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C. 经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2倍 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 【答案】BD 【解析】 【分析】本题关键在于： 1.先根据总人数和男女生人数差求出男、女生各自的人数，这是后续计算的基础； 2.等高条形图的高度代表比例，结合人数可直接算出各分类的具体人数； 3.独立性检验的核心是计算值，并与临界值比较，从而判断两个变量是否有关联. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，由题意得，解得， 即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下列联表， 性别 锻炼情况 合计 经常锻炼 不经常锻炼 男 48 32 80 女 40 60 100 合计 88 92 180 由表可知，显然错误；男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多，正确； 在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为， ，错误； 零假设：是否经常锻炼与性别无关，则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，正确． 故选：. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（   ） A. 有相同的最大值 B. 若对任意的，都有成立，则的最小值为 C. 若时，则 D. 若直线与函数与恰有三个交点，则成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过导数求单调性即可；对于B，根据得，且，将其通过同构方法变形为,结合函数单调性化简；对于C，由得，要证，只需证，只需证， 再构造函数，通过单调性证明即可；对于D，由函数图像及可得，由得，由得，然后根据等比中项即可求解. 【详解】对于A，如图所示，函数，导函数为， 令，解得， 令，解得， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以. 如图②所示，函数，导函数为， 令，解得， 令，解得， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以,故A正确； 对于B，对任意的，都有， 所以，且， 所以，两边取对数得， 即， 令，且， 所以在上单调递增， 所以，即， 则， 令，即， 令，解得，则在单调递增， 令，解得，则在单调递减， 所以，故B正确； 对于C，因为，如图②所示， 即. 要证，只需证， 因为，所以，且函数在单调递减， 所以只需证，且， 即证， 令， 即， 因为， 又因为。 所以在恒成立， 所以在单调递增， 所以， 即，故，故C错误； 对于D，如图③所示，直线与函数恰有三个交点， 所以，即， 即，且，， 因为，且， 又因为函数在单调递增， 所以， 因为，且， 又因为函数在单调递减， 所以， 所以， 所以成等比数列，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了通过导数求函数的单调性、同构及极值点偏移，选项B解题的关键是，将其通过同构方法变形为,结合函数单调性化简；选项C，要证，只需证，只需证， 再构造函数，通过单调性证明即可. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，则． 13. 亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分组方式按人数分为、两种，再应用分步计数原理及排列组合数求两种分组方式对应的分配方法种数. 【详解】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种， 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种， 所以共有种； 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种， 所以共有种； 综上，共有种分配方法. 故答案为： 14. ，，当时，，则的范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将题设条件转化为，从而构造函数，得到在上单调递减，进而利用导数即可得解. 【详解】因为，， 两边取对数，得， 则， 令，则在上单调递减， 所以在上恒成立， 而，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对题设条件进行变形，从而利用函数单调性的定义判断得单调递减，进而利用导数即可得解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列中，，． （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求首项，再根据等比数列的定义证明为常数； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再根据等差和等比数列的前项和公式，利用分组转化法求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：， 则 16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）连接交于点，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，则平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，求证即可求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量为，计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 所以， 则直线与平面夹角的正弦值为． 17. 下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求； （2）该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望. 【答案】（1） （2）抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的分布列： 600 300 150 【解析】 【分析】（1）由古典概率计算公式及条件概率公式即可求解； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 由数表知，. 【小问2详解】 设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色，依题意，；则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：，奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 18. 如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点. （1）求顶点A的轨迹方程； （2）记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的的值，可得答案； （2）根据联立直线与椭圆写出的韦达定理，表示出直线的直线方程，联立整理方程，可得答案. 【小问1详解】 由，则A的轨迹为以为焦点的椭圆，且，； 由，则，，即， 故A的轨迹方程为. 【小问2详解】 直线方程可设为， 联立可得，消去可得：， 显然成立， 设，则，即， 设，， 联立上述两方程，消去可得， ，， ，， 由，则， ，解得； 综上所述，动点的轨迹方程为直线. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷二 数学试题 命题人：杨仁萍 审题人：李丹丹 满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中所有的有理项有（ ）项 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某厂甲､乙两车间生产同一批商品，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的，甲､乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（     ） A. 120 B. 160 C. 180 D. 240 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与B互相独立，且，则 B. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 10. 暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．在被调查者中，下列说法正确的是（ ） 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B. 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人 C. 经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2倍 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关 11. 已知函数，则下列结论正确的是（   ） A. 有相同的最大值 B. 若对任意的，都有成立，则的最小值为 C. 若时，则 D. 若直线与函数与恰有三个交点，则成等比数列 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设，则_____． 13. 亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为__________． 14. ，，当时，，则的范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列中，，． （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 17. 下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求； （2）该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望. 18. 如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点. （1）求顶点A的轨迹方程； （2）记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $