精品解析：江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

2025～2026学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年6月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，已知，，，则AB边的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 甲、乙两名同学做同一道数学题（甲乙做对与否互不影响），甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.56 B. 恰好有一人做对的概率是0.38 C. 两人都做错的概率是0.16 D. 至少有一人做对的概率是0.94 5. 若一组数据5，1，，6，1，7，4，5的第75百分位数是6，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 6. 已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 7. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 8. 如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体，则（ ） A. 与AD所成的角为30° B. 与是异面直线 C. D. 直线与平面所成的角为45° 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积最大值为6 11. 已知平面向量，，满足，，，则的可能值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________. 13. 已知，，，的平均数为3，方差为，在此基础上加入新数据8，则，，，，8的平均数为__________，方差为__________. 14. 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 16. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点. （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面AFG. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，， （1）若，求； （2）若△ABC为钝角三角形，且a为正整数，求△ABC的面积. 18. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为. （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面 （ⅰ）求证： （ⅱ）求二面角的大小. 19. 我们知道，复数可以用（a，）的形式来表示，复数与复平面内的点是一一对应的，与平面向量也是一一对应的．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.叫做复数的三角形式，简称三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则，其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为1，，点A，B，C所对应的复数分别为，，． （1）若，将表示成三角形式，并直接写出，（代数形式与三角形式均可）； （2）如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若M，N在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若M，N在上方，且向量，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年6月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标运算列方程求解即可. 【详解】,, 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 在△ABC中，已知，，，则AB边的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由条件可知，， 根据正弦定理，得. 4. 甲、乙两名同学做同一道数学题（甲乙做对与否互不影响），甲做对的概率为0.7，乙做对的概率为0.8，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.56 B. 恰好有一人做对的概率是0.38 C. 两人都做错的概率是0.16 D. 至少有一人做对的概率是0.94 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件概率公式和对立事件的概率公式，根据选项事件分别求其概率逐一判断即可. 【详解】已知甲乙做对与否相互独立，记甲做对为事件，则， ； 乙做对为事件，则， ， 依题意，事件相互独立，则. 对于A：两人都做对的概率，故A正确； 对于B：恰好一人做对的概率为 ，故B正确； 对于C：两人都做错的概率为 ，故C错误； 对于D：至少一人做对的概率为 ，故D正确. 5. 若一组数据5，1，，6，1，7，4，5的第75百分位数是6，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】将以外的数据进行从小到大排列，根据第75百分位数的定义即可判断. 【详解】该组数据中包含的全部数据共8个，其中不含的7个数据从小到大排序为, 因为，故8个数据的第75百分位数为排序后第6个和第7个数据的平均数， 由于第75百分位数为6即第6个和第7个数据的平均数为6，则第6、7个数据之和为12, 将包含的所有8个数据排序，仅当时，排序结果为,第6、7个数据均为6，平均数为6， 符合题意，故. 6. 已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的表面积公式结合已知，即可求出圆锥的底面半径． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴， ∴， ∵圆锥的表面积为， ∴，即. 7. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：事件A为“第一次向下的数字为2或3”，所以第一次抛满足事件A的结果有2种，，所以选项A错误. 选项B：互斥事件是指在某一试验中不可能同时发生的事件. 第一次向下数字为2，第二次向下数字为4，既满足事件A，也满足事件B. 所以两事件可以同时发生，故不是互斥事件，B选项错误. 选项C：抛掷正四面体木块两次，总的事件数为种. 若事件A,B同时发生，第一次向下的数为2或3，且两次之和为偶数. ，，， 因为，所以事件A与事件B相互独立，C选项正确. 选项D：根据概率加法公式. 所以D选项错误. 8. 如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，点在正方形内，若，平面AEF，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出平面截正方体所得的截线，再过点作平面平行于平面，找到点的运动轨迹，再计算出的最小值. 【详解】连接,则,所以平面截正方体所得的截线为梯形,分别取中点，连接，那么 所以，,平面, 由于四边形为平行四边形，故,平面, 又平面, 所以，平面平面, 因为平面AEF，点P在正方形内 所以，点的运动轨迹为除了点， ，由于边最长，且, 故为锐角三角形，则的最小值是边上的高，设为，那么 ,故为锐角， ， ，. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体，则（ ） A. 与AD所成的角为30° B. 与是异面直线 C. D. 直线与平面所成的角为45° 【答案】BC 【解析】 【分析】由异面直线的定义及性质进行判断A，B，由线面垂直性质及线面角的定义判断C，D． 【详解】如图所示： 对于A，由，则与AD所成的角为，显然，故A错误； 对于B，平面，平面，平面，， 得与是异面直线，故B正确； 对于C，因为平面， 得平面，平面，得，故C正确； 对于D，连接，记交点为，连接，易得平面， 则直线与平面所成的角为， 不妨令正方体的棱长为2，则，得，得，故D错误． 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，再结合化简可判断A，由，代入条件可判断B，将代入化简可判断C，由三角形面积公式结合一元二次函数可判断D. 【详解】已知，由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，. 将其代入中，得到，即. 因为，所以，那么. 根据两角和的正弦公式， 则，移项可得. 两边同时除以（因为，为三角形内角，，）， 得到，即，所以选项A正确. 由余弦定理，将其代入中， 可得. 化简可得， 进一步整理得，所以选项B正确. 由余弦定理， 将代入可得. 所以，即， 当且仅当时取等号， 又为三角形内角，，故等号不成立， 所以，选项C错误. 由，，可得. 根据余弦定理. 则. 三角形面积公式 . 将代入上式可得： . 当，即时，取得最大值，最大值为，所以选项D正确. 11. 已知平面向量，，满足，，，则的可能值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】关键在于根据已知条件求出，再设出向量，的坐标，进而得到向量的坐标满足的方程，最后根据方程求出的取值范围，从而判断选项. 【详解】 已知，所以，即 因为，所以，代入，解得. 设则，不妨取， 所以. 设则，. 所以，整理得 配方得. ,其几何意义是圆上的点到原点的距离. 圆心坐标为，半径为.圆心到原点距离为 所以的最大值为最小值为 最后选项中在范围内的有1，2， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接， 过作，垂足为，可知为四棱台的高，     则，， 所以，． 故该棱台的体积为． 13. 已知，，，的平均数为3，方差为，在此基础上加入新数据8，则，，，，8的平均数为__________，方差为__________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【详解】由题意可得，， 加入新数据8后，平均数为， 则这五个数的方差为 . 14. 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图： 取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 【答案】（1） （2）平均数为74分，中位数75 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有长方形的面积之和是1求出即可； （2）利用平均数和中位数的求法直接求出； （3）利用分层抽样抽取4人，然后再利用超几何分布求出概率, 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得; 【小问2详解】 样本成绩的平均数为：分; ，，的频率之和为0.35，所以中位数在之间，设中位数为x，则，得; 【小问3详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在的频率为，答卷成绩在的频率为，所以样本答卷成绩在和的人数比为3∶1，即从答卷成绩在和中分别抽取3人和1人, 记为A，B，C，，从这4人中随机抽取2名依次交流，则样本空间为： ，共有6种情形，即, 设事件“2名进行交流分享的学生成绩均在区间”，则事件，共有3种，即， 由古典概型的概率计算公式，可得， 所以2名进行交流分享的学生成绩均在区间的概率为. 16. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点. （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面AFG. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证平面，有，再由，可证平面PBC； （2）连接交于点，由，得为中点，可得，线面平行的判定定理得平面. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 又，为中点，则， 平面，，所以平面. 【小问2详解】 连接交于点，连接， 由四边形为矩形，分别为中点，所以， 则，即为中点，又因为为中点，有， 平面，平面，所以平面. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，， （1）若，求； （2）若△ABC为钝角三角形，且a为正整数，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用二倍角公式得到，然后利用正弦定理和余弦定理求解； （2）结合，，由余弦定理和角C为钝角得到，再由三角形三边关系得到，根据，得到，然后利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以，所以， 根据正弦定理，，因，联立解得， 故，， 由余弦定理，； 【小问2详解】 因为，，所以， 由△ABC为钝角三角形，可得C为钝角， 由余弦定理，， 又，则得，解得，故， 由三角形三边关系可得，可得，则有， 因为，故，此时，， 则，则， 所以. 18. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为. （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面 （ⅰ）求证： （ⅱ）求二面角的大小. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）取的中点，连接，因为，所以， 又平面平面， 平面平面，且平面， 所以平面，又平面，故， 在直三棱柱中，平面， 平面，可得， 又，平面且相交于，所以平面， 又平面，所以 （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用体积桥可构造方程求得结果； （2）（ⅰ）利用线面垂直的判定与性质可证得平面，由此可证， （ⅱ）过点作，交于点，证明即为二面角的平面角，解三角形求其大小. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点到平面的距离为， 则 解得，所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）由（1）得，所以， 由（ⅰ）得平面，又平面， 所以，所以，所以，又，， 所以，过点作，交于点，连接， 因为，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中，，，， 所以，故， 在中，，， 所以，又， 所以，故二面角为. 19. 我们知道，复数可以用（a，）的形式来表示，复数与复平面内的点是一一对应的，与平面向量也是一一对应的．一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.叫做复数的三角形式，简称三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则，其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为1，，点A，B，C所对应的复数分别为，，． （1）若，将表示成三角形式，并直接写出，（代数形式与三角形式均可）； （2）如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若M，N在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若M，N在上方，且向量，求的范围． 【答案】（1），， （2）（ⅰ）存在，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求确定辐角的主值，进而表示，再利用复数乘法旋转性质求，利用菱形向量关系求； （2）（ⅰ）利用复数旋转建模，通过向量关系写出对应复数，利用模长公式建立方程，再利用辅助角公式解三角方程，结合取值范围筛选有效解，得到；（ⅱ）上方旋转乘，求出坐标，向量等式两边取模平方，利用向量模长展开，化简等式，同时除构造目标式，转化为关于的一次函数，根据的范围得出范围，结合单调性求出结果． 【小问1详解】 因为，所以，辐角的主值， 故， 菱形中，，是逆时针转： ； ： ． 【小问2详解】 设，，则， 设对应的复数为，则． （ⅰ）存在，设对应的复数为， ． 设对应的复数为，，，则， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以． （ⅱ）如图，设对应的复数为，则 ， 所以， 又，，， 所以 ， 所以， 所以， 同时除以得， 又，所以， 所以的范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $