精品解析：江苏南京市鼓楼区六校2025-2026学年高一下学期6月期末调研数学试题

南京燕子矶集团校2025-2026学年第二学期期末调研试题 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】由向量，，因为，得，则实数的值为. 2. 已知一组数据的方差是4，那么另一组数据，，，，的方差是（ ） A. 10 B. 12 C. 34 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】利用数据方差的性质即可. 【详解】设数据的方差为， 根据方差的性质得所求方差为：. 3. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】，所以在第三象限，故选C． 4. 已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与平面，平面与平面的平行及垂直关系可判断. 【详解】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确； 对于B，若，，则平面与可能平行，也可能相交. 当且，满足题设条件，但与不平行，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，是平面与平面垂直的性质定理，故D正确. 5. 在等腰中，，，则的值为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据余弦定理得， 由，得. 6. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求出圆锥的母线长，进而可求得扇形的弧长，圆锥的底面半径、高，最后可得体积. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为. 由扇形的面积公式得，解得. 所以圆锥的侧面展开图的弧长为， 又圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，即，解得. 所以圆锥的高为， 所以体积为. 7. 某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆的高度.在过点的水平地面上确定两个观测点，.在点处测得在的北偏东60°方向上，米；点在点的正东方向上，米，在点处测得的仰角为60°.则旗杆的高度为（ ）米. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先运用余弦定理计算出，再运用直角三角形三边的关系求出结果. 【详解】由题可得，根据余弦定理， 得，解得，由题可得， 故. 8. 已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，再结合向量的数量关系应用数量积公式得出边长，最后应用角分线定理计算面积. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以， 又因为，所以，且， 所以，所以，所以，所以， 在中，，所以，所以，所以， 由角平分线定理得，所以，所以， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. 若是纯虚数，则 D. ，两点之间的距离为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由公式可得A；先求再求模即可得B选项； 为纯虚数可得所以C错；用两点间距离公式即可判D选项 【详解】由求模公式得则A选项正确； ，，，故B选项正确； 为纯虚数可得所以故C错； ，两点为和 ，所以距离为，所以D选项正确 10. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合正弦定理、余弦定理、向量的数量积、三角函数的单调性，逐项判断结论是否成立. 【详解】选项A：根据正弦定理（R为外接圆的半径），得， 代入得， 因为，所以均为正数， 故，排除（此时不符合三角形要求），得， 所以为等腰三角形，A正确. 选项B：因为，所以，故，所以为直角三角形，B正确. 选项C：由余弦定理及知，为钝角， 所以是钝角三角形，C错误. 选项D：为锐角三角形，则， 因为在上单调递增，故，D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点E是的中点，点P是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 当P是正方形的中心时，与平面所成角的正弦值为 C. 若平面，则线段的最小值为 D. 若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，将线线垂直转化为线面垂直找点P；选项B，连接，利用定义判断线面角为，通过边长关系计算正弦值；选项C，通过面面平行找到动点P的轨迹，利用余弦定理判断为钝角即得出最小值;选项D，通过球的相关知识，将球的关系转化成以为圆心的圆在平面内的弧长关系，找出轨迹，利用扇形的弧长公式计算轨迹. 【详解】选项A，因为，，所以平面， 因为平面，所以， 所以当点P与点重合时，选项A正确； 选项B，P是正方形的中心时，平面， 所以与平面所成角为， 因为，， 所以， 所以，选项B错误 选项C，过点作平面的平行平面，所以为线段的中点， 所以点， 在三角形内，， ， ，所以为钝角， 所以线段取最小值时为，选项C正确； 选项D，因为在平面的投影为， 所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线等价于以为圆心， 为半径的圆在平面的轨迹，如下图：为以为圆心，为半径扇形弧长， 所以，， 所以，所以， 由对称可知，所以， 所以由扇形弧长公式得，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理及合比性质即可得； 【详解】由正弦定理可知， 所以， 所以. 13. 已知，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】先应用两角和余弦及辅助角公式计算得出，结合角的范围得出，最后应用特殊角余弦计算求解. 【详解】因为 ， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 14. 如图，在三棱锥中，和均为边长为的正三角形，二面角的大小为90°，则三棱锥外接球的表面积为_____ 【答案】 【解析】 【详解】取的中点为，连接， 因为和均为边长为的正三角形，所以， 又二面角的大小为90°，所以平面平面， 又平面平面，所以平面，平面， 设与的外心分别为， 过分别作所在平面的垂线，相交于， 则为三棱锥外接球的球心，连接，则为外接球的半径， 因为，， 所以外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）.根据测评的数据制成频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用分层抽样的方式从评分在，，的市民中抽取200人，则从评分在内的市民中应抽取多少人? （3）估计本次测评分数的60百分位数和平均数. 【答案】（1） （2） （3） 百分位数为，平均数为 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为建立方程求解； (2) 计算各层对应的频率，利用分层抽样比例计算抽取人数； (3) 根据百分位数的定义利用面积法求解，利用组中值乘以频率求和计算平均数。 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为. 根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为， 可得： ， 即 ， 解得 ， 所以 . 【小问2详解】 评分在的频率为 ， 评分在的频率为 ， 评分在的频率为 . 因为采用分层抽样的方式抽取人， 所以从评分在内的市民中应抽取的人数为 （人）. 【小问3详解】 设本次测评分数的百分位数为. 前三组的频率之和为 ， 前四组的频率之和为 ， 所以百分位数位于第四组内. 由 ， 即 ， 解得 . 所以估计本次测评分数的百分位数为. 估计本次测评分数的平均数为：    . 所以估计本次测评分数的平均数为. 16. 如图，在平行四边形中，，.设，. （1）试用，为基底表示，； （2）若，，，求和的值. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则即可得解； （2）利用向量的模长和数量积计算即可. 【小问1详解】 由得. . 由得. . 【小问2详解】 . 代入，，. 得，故. . 17. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， （1）求证：； （2）若，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明：由已知条件， 利用二倍角公式，有，， 代入已知等式得， ​因为为锐角三角形，所以，即， 所以，则， 因为和均为锐角，正切函数在上单调递增， 所以，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用商数关系、二倍角正余弦公式化简条件为，根据三角形内角性质及正切函数性质即可证； （2）由正弦边角关系及（1）结论得，再应用平方关系、二倍角正弦公式求函数值； （3）由正弦边角关系及（1）结论，应用三角恒等变换得，且，应用换元法及余弦函数的区间值域及二次函数的性质求范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 因，则， 由（1）知，代入上式得，解得， 因为为锐角，所以， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理， 因为，且， 所以①， 因 ， 代入①得， 则， 由可得， 令，因为，所以， 设，可知在上单调递增， 而，，故， 即的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面是菱形，，平面平面，E，H分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）取的中点，连接， 因为在中，是的中点，是的中点， 所以是的中位线， 所以，且， 因为底面是菱形，所以，且， 因为是的中点，所以，所以，且， 所以四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面， 所以. （2）因为是边长为2的正三角形，为的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又是的中点，所以， 因为，所以， 由于，，且，所以平面， 因为平面，所以， 由（1）知，所以， 在中，，，且，所以是等腰直角三角形， 因为是斜边的中点，所以， 又因为，所以， 因为，且平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，利用线面平行的判定定理证出即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）使用等体积转换法，计算核心：，可求解出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点到平面的距离为。 在中，，， 所以， 因为平面，为中点，且， 所以点到平面的距离就是线段的长度，即， 所以， 在中，，，， ， 所以， 故， 所以， 由得： 解得：. 19. 已知点S是直线外一点，点M在直线上（点M与点P、Q任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点S对施以视角运算”： 若点在线段上，记； 若点在线段外，记. 已知在三棱锥中，侧棱平面，.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）若点D在棱的延长线上，且，由点O对施以视角运算，求的值； （2）若点E在边上，，，由点对施以视角运算，，求的最小值： （3）若是的边的等分点，由点A对施以视角运算，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得，进而求得相关线段长，应用正弦定理及运算新定义求解； （2）根据已知及运算新定义得，且，再应用三角恒等变换、正弦边角关系得到，然后由弦化切、换元法及二次函数的性质求最小值； （3）利用运算新定义及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 在中，则， 因为点在的延长线上，且，所以，， 在中，， 所以， 在中，由正弦定理得， 因为 ，且是等腰直角三角形， 所以，， 代入得，解得， 由于点在线段外， 根据定义； 【小问2详解】 点在上，根据运算新定义及三角形面积公式有， 已知，所以，即， 因为，所以，即， 所以， 展开得 ， 解得，所以，则， 在中，，所以， 在中，由正弦定理得，又，且， 所以，则， 令，由于，故，则， 当时，分母取得最大值，所以的最小值为； 【小问3详解】 因为点是边的等分点，所以， 点对施以视角运算， 同理，对于点​，有， 两者的乘积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京燕子矶集团校2025-2026学年第二学期期末调研试题 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 已知一组数据的方差是4，那么另一组数据，，，，的方差是（ ） A. 10 B. 12 C. 34 D. 36 3. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 5. 在等腰中，，，则的值为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆的高度.在过点的水平地面上确定两个观测点，.在点处测得在的北偏东60°方向上，米；点在点的正东方向上，米，在点处测得的仰角为60°.则旗杆的高度为（ ）米. A. B. C. D. 8. 已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. 若是纯虚数，则 D. ，两点之间的距离为5 10. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若是锐角三角形，则 11. 在棱长为2的正方体中，点E是的中点，点P是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 当P是正方形的中心时，与平面所成角的正弦值为 C. 若平面，则线段的最小值为 D. 若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则_____ 13. 已知，，则_____ 14. 如图，在三棱锥中，和均为边长为的正三角形，二面角的大小为90°，则三棱锥外接球的表面积为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）.根据测评的数据制成频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用分层抽样的方式从评分在，，的市民中抽取200人，则从评分在内的市民中应抽取多少人? （3）估计本次测评分数的60百分位数和平均数. 16. 如图，在平行四边形中，，.设，. （1）试用，为基底表示，； （2）若，，，求和的值. 17. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， （1）求证：； （2）若，求的值； （3）求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面是菱形，，平面平面，E，H分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离. 19. 已知点S是直线外一点，点M在直线上（点M与点P、Q任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点S对施以视角运算”： 若点在线段上，记； 若点在线段外，记. 已知在三棱锥中，侧棱平面，.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）若点D在棱的延长线上，且，由点O对施以视角运算，求的值； （2）若点E在边上，，，由点对施以视角运算，，求的最小值： （3）若是的边的等分点，由点A对施以视角运算，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $