精品解析：江苏南京师范大学附属实验学校2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试卷

南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 15 5. 如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为 C. 若，则 D. 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 13. 已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 14. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 17. 已知i是虚数单位，复数． （1）当时，求z的共轭复数； （2）若z是纯虚数，求m的值： （3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类商家多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 19. 如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． （1）若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； （2）求证：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由复数在复平面内对应的点为，则. 2. 在中，若，，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合角的范围求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，所以， 又因为且，，所以. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， . 4. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的定义计算． 【详解】． 故选：C 5. 如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据在轴上或平行于轴的线段，在直观图与原图中保持长度不变，在轴上或平行于轴的线段，原图中的长度是直观图中长度的2倍来将直观图还原. 【详解】把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示： 其中,， 所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2． 故选：A. 6. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确. 【详解】 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以A错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确； 故选：D. 7. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解. 【详解】连接，设正四面体的棱长为2， 因为分别为的中点，则//， 所以异面直线，所成角为（或其补角）， 在中，则， 由余弦定理可得， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：复数的模，正确. B：复数的虚部为，正确. C：复数不能比较大小，错误. D：设则，，正确. 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 11. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 向量，， ∴ ，. 根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为， 代入数据得投影向量为. 13. 已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为， 则，故. 14. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求解,即可根据等面积法求解. 【详解】设边上的高为， 由余弦定理可得, 又，故， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ∵向量，， ∴，解得. 【小问2详解】 ∵向量，∴. ∵， ∴，解得. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，进而. 因为是三角形内角，所以. 【小问2详解】 因为​，为三角形内角，所以.  由正弦定理​，所以. 因此 . 17. 已知i是虚数单位，复数． （1）当时，求z的共轭复数； （2）若z是纯虚数，求m的值： （3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以共轭复数 【小问2详解】 ， 因为复数z是纯虚数，所以， 解得， 所以； 【小问3详解】 因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 即，所以 所以，实数m的取值范围是. 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类商家多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可； （2）①先根据频率和为1求出，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案. 【小问1详解】 根据分层抽样知：应抽取小吃类家； 【小问2详解】 ①根据题意可得，解得， 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元． ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． 19. 如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． （1）若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明：连接，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为劣弧的长为，则， 因为，则，所以为等边三角形， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）先利用圆锥的表面积公式求出及圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，再利用勾股定理求出展开图中扇形的弦长即可； （2）先通过证，，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，进而利用面面平行的性质得到平面． 【小问1详解】 由题意可知该圆锥的表面积， 又， , 解得，， 该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则 ， 则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形， 所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $