第十七章 因式分解【章末复习】- 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的定义、与整式乘法的关系、提公因式法及公式法等核心知识，通过全章总纲、方法对比表和解题步骤流程，将各知识点逻辑串联，帮助学生构建完整的因式分解知识网络。 其亮点在于采用“口诀记忆-易错警示-分层演练”策略，如“一提二套三检查”口诀培养推理能力，基础题到拔高题的分层设计（如整体换元题）发展应用意识，助力学生巩固知识，也为教师提供系统复习工具，提升教学针对性。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 章末复习 第十七章 因式分解 第十七章 因式分解 全章知识点总结与综合练习 一、因式分解核心基础（全章总纲） 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2. 与整式乘法的关系 互逆运算： 整式乘法：积 → 和差（展开变繁） 因式分解：和差 → 积（化简变简） 3. 三大硬性解题要求（考试必守） ① 分解彻底：直到每个因式不能再分解为止； ② 结果为纯乘积形式：括号内无加减运算； ③ 结果最简：括号首项为正、无重复括号、合并同类项完毕。 4. 因式分解万能顺序（必考口诀） 一提、二套、三检查 1. 一提：优先提取公因式（数字、字母、多项式整体）； 2. 二套：二项式套平方差，三项式套完全平方； 3. 三检查：复查是否有剩余公因式、能否继续分解。 二、17.1 提公因式法（基础方法） 1. 公因式寻找三步法 ① 系数：取各项系数最大公约数； ② 字母：取各项公共字母； ③ 指数：取公共字母最低次幂。 2. 两类公因式 （1）单项式公因式：数字、单个字母、多字母单项式 例：$$6x^2-9x=3x(2x-3)$$ （2）多项式整体公因式（进阶） 核心符号变形（必背）： $$b-a=-(a-b)$$ $$(b-a)^2=(a-b)^2$$（偶次幂不变号） $$(b-a)^3=-(a-b)^3$$（奇次幂变号） 口诀：偶同、奇反 例：$$a(x-y)-b(y-x)=(x-y)(a+b)$$ 3. 提公因式高频易错点 ① 某项全部提完剩1，不可漏写； ② 首项为负，优先提负公因式，括号内全部变号； ③ 公因式找不全，漏系数、漏低次幂。 三、17.2 公式法（核心重难点） 1. 平方差公式（二项式专用） 公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 适用条件（缺一不可）： ① 只有两项；② 两项符号一正一负；③ 两项均可写成平方形式 口诀：两项、异号、皆平方 常见考法：基础平方、带系数平方、先提后套、多次分解 例：$$x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$ 2. 完全平方公式（三项式专用） 公式： $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 适用条件（缺一不可）： ① 二次三项式；② 首尾平方项同为正；③ 中间项为首尾平方根乘积的2倍 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央 常见考法：标准型、带系数型、先提后套、整体换元型 例：$$(m+n)^2-6(m+n)+9=(m+n-3)^2$$ 四、两大公式核心对比（防混淆神器） 对比项目 平方差公式 完全平方公式 项数 二项式 三项式 符号特征 一正一负 首尾为正，中间可正可负 分解结果 两个不同因式相乘 一个整式的平方（两个相同因式） 核心结构 平方相减 平方±两倍积 五、全章终极解题步骤（标准满分流程） 步骤1：提公因式（无论有无公式结构，先彻底提公因式） 步骤2：判断结构套公式 • 剩两项 → 判平方差 • 剩三项 → 判完全平方 步骤3：彻底分解（多次分解、整体换元分解） 步骤4：检查化简（去括号、合并同类项、首项为正） 六、全章高频易错汇总（扣分重灾区） 1. 混淆公式：$$a^2+b^2$$不能分解，$$a^2-b^2$$可用平方差分解； 2. 完全平方漏中间项：严禁出现 $$(a\pm b)^2=a^2\pm b^2$$ 错误； 3. 平方系数遗漏：$$4x^2=(2x)^2$$，不可忽略系数平方； 4. 变号不彻底：提负公因式、相反数变形时，部分项漏变号； 5. 分解不彻底：一次分解结束，未检查剩余因式是否可继续分解； 6. 结果不规范：保留和差形式、括号首项为负、多余未化简项。 七、全章综合真题演练（基础+拔高） 一、基础分解题 1. $$8x^2-12xy$$    2. $$-3a^2+6a-3$$ 3. $$x^2-49$$    4. $$36a^2-25b^2$$ 5. $$x^2-12x+36$$    6. $$9x^2+12x+4$$ 二、进阶综合题（先提后套） 7. $$2x^2-18$$    8. $$4a^3-16a^2+16a$$ 三、拔高整体换元题 9. $$4(x-y)^2-9(x+y)^2$$ 10. $$(a-b)^2-8(a-b)+16$$ 八、真题参考答案及详细解析 1. 原式$$=4x(2x-3y)$$ 【提公因式】 2. 原式$$=-3(a^2-2a+1)=-3(a-1)^2$$ 【先提负公因式，再套完全平方】 3. 原式$$=(x+7)(x-7)$$ 【平方差公式】 4. 原式$$=(6a+5b)(6a-5b)$$ 【平方差公式】 5. 原式$$=(x-6)^2$$ 【完全平方差公式】 6. 原式$$=(3x+2)^2$$ 【完全平方和公式】 7. 原式$$=2(x^2-9)=2(x+3)(x-3)$$ 【先提后套平方差】 8. 原式$$=4a(a^2-4a+4)=4a(a-2)^2$$ 【先提后套完全平方】 9. 原式$$=[2(x-y)]^2-[3(x+y)]^2$$ $$=[2(x-y)+3(x+y)][2(x-y)-3(x+y)]$$ $$=(5x+y)(-x-5y)=-(5x+y)(x+5y)$$ 10. 原式$$=(a-b-4)^2$$ 【整体换元，完全平方公式】 整式的乘法 乘法公式 (a + b)(a－b) = a2－b2 (a±b)2= a2±2ab + b2 相反变形 因式分解 相反变形 特殊 形式 ①提公因式法 ②公式法 因式分解 把一个多项式化为几个______的____的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 1. 因式分解的定义 整式 积 整式的乘法 因式分解 2. 因式分解的方法 (1) 提公因式法： (2) 公式法 ① 平方差公式： ② 完全平方公式： pa + pb + pc = p( a + b + c ) a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2±2ab + b2 = (a±b)2 例1 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 考点一 因式分解的概念 B 【归纳总结】 判断是否是因式分解的关键是结果必须为几个整式的乘积的形式 . 【变式训练】 1. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是 ( ). A. a(m + n) = am + an B. x²-y²+1= (x + y)(x - y) + 1 C. 10x² - 5x = 5x(2x - 1) D. (a + b)² = a²+2ab+b² 2.下列式子从左到右变形是因式分解的是 ( ). A. 10xy² = 2x · 5y² B. (x+y)(x-y) = x² - y² C. x² - 3x + 1 = x(x - 3) + 1 D. x²+x-6 = (x + 3)(x - 2) C D 考点一 因式分解的概念 考点二 提公因式法因式分解 例2 把下列各式分解因式： (1) 5xy - 10x； (2) m(a² + b²) - n(a² + b²). 解：(1) 原式 = 5x · y - 5x · 2 = 5x(y - 2)； (2) 原式 = (a² + b²)(m - n). 3.利用提公因式法分解多项式 x3 + x2 可以得到( ). A. x² - 1 B. x²(x + 1) C. x² + 1 D. x² - x 解析：x3 + x2 = x2(x + 1) . 【变式训练】 B 考点三 公式法因式分解 例3 (1)下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是( ). A. a² + 4 B. a3 - 8 C. -a² + 4 D. -a² - 4 (2) 下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数 为 ( ) . ① x² - 10x + 25；② -4a² + 4a - 1； ③ x² - 2x - 1； A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ④ -m² + m - ⑤ 4x4 - x² + . C B 考点三 公式法因式分解 例4 利用因式分解说明： 当 n 为自然数时，(n + 7)2 - (n - 5)2 能被 24 整除. 解：(n + 7)2 - (n - 5)2 = [ (n + 7) + (n - 5) ][ (n + 7) - (n - 5) ] = ( 2n + 2 )( n + 7 - n + 5) = 12( 2n + 2 ) = 24(n + 1). 因为 n 为自然数 ，故 n + 1 也为自然数，24(n + 1) 能被 24 整除，所以 (n + 7)2 - (n - 5)2 能被 24 整除. 例5 先阅读下面的内容，再解答问题： 求多项式 m² + 2mn + 2n² - 6n + 13 的最小值. 解：m² + 2mn + 2n² - 6n + 13 = (m² + 2mn + n²) + (n² - 6n + 9) + 4 = (m + n)² + (n - 3)² + 4. 因为(m+ n)²≥0，(n-3)²≥0， 所以多项式 m² + 2mn + 2n² - 6n + 13 的最小值是 4 . 求多项式 -2x² + 4xy - 3y² - 6y + 7 的最大值. 考点三 公式法因式分解 求多项式 -2x² + 4xy - 3y² - 6y + 7 的最大值. 解：-2x² + 4xy - 3y² - 6y + 7 = -2x² + 4xy - 2y² - y² - 6y - 9 + 16 = -2( x² - 2xy + y²) -( y² + 6y + 9 ) + 16 = -2( x - y)² - (y + 3)2 + 16. 因为 -2( x - y)²≤0，-(y + 3)2≤0， 所以多项式 -2x² + 4xy -3y² - 6y + 7 的最大值是 16. 考点三 公式法因式分解 1．深圳期末下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 12 2.多项式与多项式 的公因式为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 13 返回 3．若x2－ax－2可以因式分解为(x－2)(x＋b)，则a－b的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．0 D 中考考法 14 返回 4．把－6a3＋4a2－2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是(　　) A．3a2－2a＋1 B．6a2－4a＋2 C．3a2－2a D．3a2＋2a－1 A 中考考法 15 返回 5．青岛期末下列多项式能用平方差公式分解因式的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 16 返回 6.下列因式分解正确的是( ) D A.B. C.D. 中考考法 17 返回 7.若将多项式加上一个单项式 后，就能够在我们所学范围内分 解因式，则单项式 不可能是( ) D A. B. C. D. 中考考法 18 返回 8．教材P132习题T7变式对于任意自然数n，关于代数式(n＋7)2－(n－5)2的值，下列说法错误的是(　　) A．总能被3整除 B．总能被4整除 C．总能被6整除 D．总能被7整除 D 中考考法 19 返回 9．内江中考已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝________． 4 中考考法 20 10.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 中考考法 21 （5） ； 解：原式 . （6） . 解：原式 . 返回 中考考法 22 11．教材P132习题T4变式利用因式分解计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 中考考法 23 12．(1)已知a－b＝3，ab＝4，求a4b2－2a3b3＋a2b4的值； 解：∵a－b＝3, ab＝4， ∴a4b2－2a3b3＋a2b4＝a2b2(a2－2ab＋b2)＝(ab)2(a－b)2＝42×32＝144. 中考考法 24 (2)已知a2＋2ab＋b2－c2＝10，a＋b＋c＝5，求a＋b－c的值． 返回 解：∵a2＋2ab＋b2－c2＝10， ∴(a＋b)2－c2＝10, ∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝10. ∵a＋b＋c＝5，∴ 5(a＋b－c)＝10, ∴a＋b－c＝2. 中考考法 25 13．如图是由六块纸板拼成的一块大长方形纸板，其中一块是边长为a的大正方形，两块是边长为b的小正方形，三块是长为a、宽为b的小长方形(a＞b)．观察图形，发现多项式a2＋3ab＋2b2可因式分解为____________________． (a＋b)(a＋2b) 返回 中考考法 26 14．淄博期末【阅读材料】 分解因式：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1. 解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝t，则原式＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2. 再将“t”还原，原式＝(x＋y＋1)2. 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 中考考法 27 (1)分解因式：(a＋b)(a＋b－4)＋4； 中考考法 28 返回 (2)证明：若n为正整数，则代数式(n＋1)(n＋2)·(n2＋3n)＋1的值一定是某个整数的平方． 证明：原式＝(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1. 设n2＋3n＝C，则原式＝(C＋2)C＋1＝C2＋2C＋1＝(C＋1)2， 还原，得原式＝(n2＋3n＋1)2. ∵n为正整数，∴n2＋3n＋1为正整数． ∴代数式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某个整数的平方． 中考考法 29 解：设a＋b＝B，则原式＝B(B－4)＋4＝B2－4B＋4＝(B－2)2， 还原，得原式＝2＝(a＋b－2)2. $