17.1.1用提取公因式法分解简单的因式-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解概念及提取公因式法，课堂导入通过回顾小学分解质因数、最大公因数等旧知，过渡到整式乘积形式，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解因式分解与整式乘法的互逆关系。 其亮点在于以“找公因式三步法”“解题四步法”构建结构化模型，结合高频易错点分析和实例解析，培养学生抽象能力、运算能力与推理意识。如例2分解-3a²+6ab-3a强调符号处理，例3整体提取(x-y)，助力学生形成严谨思维，教师可直接使用系统资源提升教学效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 17.1.1用提取公因式法分解简单的因式 第十七章 因式分解 17.1.1 用提取公因式法分解简单的因式 总结与练习 一、因式分解基础概念 1. 因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 核心区别（必考）： 整式乘法：积 → 和差（展开、变繁） 因式分解：和差 → 积（化简、凑乘积） 二者为互逆运算。 2. 分解要求 分解要彻底，直到每一个因式不能再分解为止。 二、公因式与提取公因式法 1. 公因式的定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 找公因式三步法（满分技巧） ① 找系数：取各项系数的最大公约数； ② 找字母：取各项公共字母； ③ 找指数：取公共字母的最低次幂； 三者组合即为：最大公约数 × 公共字母最低次幂。 3. 提取公因式法法则 如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个整式的积的形式。 公式模板：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$ 4. 标准解题四步法 ① 观察多项式，准确找出全部公因式； ② 用每一项除以公因式，得到新因式； ③ 把公因式写在最前，剩余部分括号括起； ④ 检查：括号内无公因式、符号正确、分解彻底。 三、常见公因式类型 1. 单项式公因式（基础） 包含数字、单个字母、多字母单项式，是本节最常考类型。 例：$$3x^2+6x$$ 公因式为 $$3x$$ 2. 多项式公因式（进阶） 各项含相同多项式整体，可整体提取。 例：$$a(x-y)+b(x-y)$$ 公因式为 $$(x-y)$$ 四、高频易错点（扣分重灾区） 1. 公因式找不全：只提字母不提系数，或指数取最高次幂； 2. 漏项：某一项与公因式相除为1时，容易漏掉不写； 3. 符号错误：首项为负时，可提取负公因式，括号内全部变号； 4. 分解不彻底：剩余括号内仍有公因式，未继续提取； 5. 混淆运算：因式分解结果必须是「积的形式」，不能留有加减。 五、经典例题解析 例1：分解因式 $$4x^2-8x$$ 解：公因式为$$4x$$ 原式$$=4x(x-2)$$ 例2：分解因式 $$-3a^2+6ab-3a$$ 解：首项为负，提取公因式$$-3a$$ 原式$$=-3a(a-2b+1)$$ 例3：整体提取 $$2(x-y)^2+4(x-y)$$ 解：公因式为$$2(x-y)$$ 原式$$=2(x-y)[(x-y)+2]=2(x-y)(x-y+2)$$ 六、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 多项式$$6x^2y-9xy^2$$的公因式是（） A. $$3xy$$ B. $$6xy$$ C. $$3x^2y$$ D. $$xy^2$$ 2. 分解$$5a^2-10a$$正确的是（） A. $$5a(a-2)$$ B. $$5(a^2-2a)$$ C. $$a(5a-10)$$ D. $$5a^2(1-2a)$$ 3. 多项式$$-2x^2+4x$$提取负公因式后正确结果是（） A. $$-2x(x+2)$$ B. $$-2x(x-2)$$ C. $$2x(x-2)$$ D. $$-2(x^2-2x)$$ 4. 因式分解的结果必须是（） A. 和差形式 B. 整式积的形式 C. 单项式 D. 多项式 5. 分解$$a(x-2)+b(x-2)$$结果为（） A. $$(x-2)(a+b)$$ B. $$x(a+b)-2$$ C. $$(a+b)x-2(a+b)$$ D. $$(x-2)ab$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 因式分解是把一个________化为几个________的积的形式。 7. $$3x^2-6x=$$________。 8. $$4a^2b-8ab^2=$$________。 9. $$-5x^2+10xy=$$________。 10. $$m(a-b)-n(a-b)=$$________。 三、解答题（共60分） 11.（30分）基础提取公因式分解： （1）$$8x^3-12x^2$$    （2）$$6a^2b-9ab^2+3ab$$ 12.（15分）提取负系数公因式：$$-4x^2y+8xy^2-12xy$$ 13.（15分）整体公因式分解：$$3(a-b)^2-6(a-b)$$ 七、参考答案及解析 一、选择题 1. A 解析：系数最大公约数3，公共字母xy，最低次幂1次，公因式为$$3xy$$。 2. A 解析：原式$$=5a(a-2)$$，分解最彻底。 3. B 解析：原式$$=-2x(x-2)$$，提取负号后括号内全部变号。 4. B 解析：因式分解定义：和差化积，结果为整式的积。 5. A 解析：整体提取公因式$$(x-2)$$，得$$(x-2)(a+b)$$。 二、填空题 6. 多项式；整式 7. $$3x(x-2)$$ 8. $$4ab(a-2b)$$ 9. $$-5x(x-2y)$$ 10. $$(a-b)(m-n)$$ 三、解答题 11. 解： （1）原式$$=4x^2(2x-3)$$ （2）原式$$=3ab(2a-3b+1)$$ 12. 解： 原式$$=-4xy(x-2y+3)$$ 13. 解： 原式$$=3(a-b)[(a-b)-2]=3(a-b)(a-b-2)$$ 1. 了解因式分解与整式乘法之间的关系.(重点) 2. 了解因式分解的概念和提公因式法，能确定简单多项式各项的公因式，并能用提公因式法进行因式分解.(难点) 3. 在探索因式分解的概念和提公因式法因式分解的过程中体会逆向思维，并用类比的思想方法思考现实世界. 学习目标 填空. ① 将 60 分解成质数的乘积的形式为 __________. ② 将 75 分解成质数的乘积的形式为 __________. ④ 将 x2 - 4 写成整式的乘积的形式为 ____________. ③ 将 x2 + x 写成整式的乘积的形式为 __________. 2×2×3×5 3×5×5 x(x + 1) (x + 2)(x - 2) 在小学我们学习过公因数及最大公因数，回忆一下，求出下面 2 个数的最大公因数. 24 36 2 24 36 12 18 6 9 2 3 2 3 24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3 所以 24 和 36 的最大公因数是： 2×2×3 = 12 (1) x(x + 1) = ； (2) (x + 1)(x - 1) = ； (3) (x + 1)2 = . x2 - 1 x2 + x (1) x2 + x = ； (2) x2 - 1 = ； x(x + 1) (x + 1)(x - 1) 问题1：运用整式乘法法则或公式填空： 探究点一：因式分解的概念 x2 + 2x + 1 问题2：将下列多项式写成整式的乘积的形式： (3) x2 + 2x + 1=_______. (x + 1)2 等式左边 等式右边 x2 + x x(x + 1) x2 - 1 (x + 1)(x - 1) x2 +2x+1 (x + 1)2 多项式 整式的积 都是多项式化成了几个整式的积的形式. 观察问题 2 中左右两边的式子，你有什么发现？ 探究点一：因式分解的概念 因式分解 定义： 把一个多项式化成了几个整式的_____的形式， 像这样的式子变形叫作这个多项式的________，也 叫作把这个多项式________. 乘积 因式分解 分解因式 探究点一：因式分解的概念 问题3：因式分解与整式乘法有什么联系与区别? 联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. (多项式)“和” (整式乘积)“积” 整式乘法 因式分解 区别 化“积”为“和” 化“和”为“积” 探究点一：因式分解的概念 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 例1 下列各式从左到右的变形是否为因式分解？ ① (x＋1)(x－1)＝x2－1；② 7x－7＝7(x－1)； ③ x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)；④ 2x(x－3y)＝2x2－6xy； ⑤ y2＋x2－4＝y2＋(x－2)(x＋2). 解：①④⑤不是因式分解，②③是因式分解. 易错辨析：因式分解是由多项式向整式的乘积的转化. 探究点一：因式分解的概念 【针对训练】1.在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. x2 + x = x2(1 + ) ① ② ③ ④ ⑤ ③ am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x · 8xy x2－4 = (x + 2)(x－2) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 最后不是积的形式 等式左边不是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 是因式分解 探究点一：因式分解的概念 问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？ pa + pb + pc 相同因式 p x2 ＋ x 相同因式 x 如果多项式的各项都有一个______的因式 p，我们把因式 p 叫作这个多项式各项的_______. 公共 公因式 探究点二： 公因式 根据分配律有：p( a + b + c ) = pa + pb + pc， 探究点三：提公因式为数字或单字母的因式分解 思考：对于公因式为数字或者单字母时如何进行因式分解？ 反过来：pa + pb + pc = p( a + b + c ). 这样就把 pa + pb + pc 分解成两个因式乘积的形式. 其中一个因式是各项的公因式 p， 另一个因式 a + b + c 是 pa + pb + pc 除以 p 所得的商. 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有_______，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作__________. 公因式 提公因式法 pa + pb + pc = p( ) a + b + c 因式分解 探究点三：提公因式为数字或单字母的因式分解 例2 分解因式： (1) mx²＋my²； (2) 3x²－4xy²＋x. 解：(1) mx²＋my² ＝x · 3x－x · 4y²＋x · 1 ＝x ( 3x－4y²＋1 ). ＝m ( x²＋y²)； 探究点三：提公因式为数字或单字母的因式分解 (2) 3x²－4xy²＋x (1) 3x＋6y； (2) ab－2ac； (3) 2a2＋a； (4) 9m2－6mn＋m. 【针对训练】1.分解因式： 解：(1) 3x＋6y＝3( x＋2y)； (2) ab－2ac＝a( b－2c)； (3) 2a2＋a＝a( 2a＋1)； (4) 9m2－6mn＋m＝m( 9m－6n＋1). 例3 利用因式分解计算： 解：原式＝3.14×(21＋62＋17 ) ＝3.14×100 ＝314. 21×3.14＋62×3.14＋17×3.14. 探究点三：提公因式为数字或单字母的因式分解 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 【针对训练】2.利用因式分解计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.25＋72×20.25＋13×20.25－20.25×14. (2) 原式＝20.25×(29＋72＋13－14) ＝ 2025. ＝13×20＝260. 解：(1) 原式＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91) 1. 下列各式的变形中，表述正确的是( ) ； . C A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 返回 中考考法 18 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( ) C A. B. C. D. 3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是 ( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 19 4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式 可以因式分解，则 可以为__________________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 中考考法 20 5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为 ，那么 的值为( ) B A. B. 1 C. D. 2 【点拨】 ， ，， . ，故选B. 返回 中考考法 21 整式的乘法 相反 变形 因式分解 p(a + b + c) = ap + bp +cp ap + bp + cp =____________ p(a + b + c) 把一个多项式化成了几个整式的____的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的________ 乘积 因式分解 一般地，如果多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提取出来，将多项式 写成公因式与另一个因式的____的形式， 这种分解因式的方法叫作__________ 乘积 提公因式法 课堂小结 $