17.1 第2课时 提公因式法（2）- 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“提公因式法（2）”进阶内容，核心涵盖互为相反数型公因式、多重整体公因式及首项为负多项式的因式分解。通过衔接上节课简单提公因式知识，以符号变形公式和“奇次变号，偶次不变”口诀搭建学习支架，引导学生从基础到复杂逐步掌握进阶题型。 其亮点在于以“五步满分法”和“高频易错点”为核心，结合数学思维的推理能力与数学眼光的抽象能力。如例3分解4(x-y)³-8(y-x)²时，通过整体公因式提取与符号变形展示逻辑推理过程，用口诀规范数学语言表达。学生能提升分解彻底性和符号准确性，教师可借助系统易错点和解题步骤高效教学。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 17.1 第2课时 提公因式法（2） 第十七章 因式分解 17.1 第2课时 提公因式法（2）总结与练习 一、本节课学习目标（进阶拔高） 在上节课简单提公因式的基础上，掌握三类进阶题型：互为相反数型公因式、多重整体公因式、首项为负复杂多项式因式分解，做到因式分解彻底、符号零出错，适配考试中档及拔高题型。 二、核心进阶知识点 1. 互为相反数的因式变形（本节课核心） 很多多项式看似无公因式，实则存在互为相反数的多项式因式，通过符号变形即可找出公因式，是本节课最大考点。 常用符号变形公式（必背）： $$b-a=-(a-b)$$ $$(b-a)^2=(a-b)^2$$（偶次幂，符号不变） $$(b-a)^3=-(a-b)^3$$（奇次幂，符号改变） 口诀：奇次变号，偶次不变。 2. 进阶公因式的两大类型 （1）相反数型公因式：如 $$a-b$$ 与 $$b-a$$，变形后为相同公因式； （2）多层整体公因式：公因式为带幂次的多项式，如 $$(x+y)^2$$、$$(m-n)^3$$。 3. 进阶提公因式解题五步满分法 ① 看结构：观察是否存在互为相反数的多项式项； ② 变符号：根据奇偶次幂统一因式形式，构造相同公因式； ③ 提取公因式：整体提取变形后的公共因式； ④ 化简括号：合并括号内同类项、整理式子； ⑤ 查彻底：检查无剩余公因式、无括号可化简、符号全部正确。 4. 重要解题规定（考试标准） 1. 因式分解最终结果，括号内首项必须为正数； 2. 多项式公因式优先统一为最简正形式； 3. 结果中禁止保留互为相反数的因式，必须统一化简。 三、高频易错重难考点 1. 奇偶次幂符号混淆：误以为 $$(b-a)^2=-(a-b)^2$$，偶次幂恒正，无需变号； 2. 变形不统一：部分项变号、部分项不变，导致公因式不匹配； 3. 漏提幂次公因式：公因式为最低次幂，容易只提整式、漏掉次数； 4. 结果不规范：括号内首项为负，未整体变号整理； 5. 分解不彻底：提取公因式后，括号内仍可继续化简、分解。 四、经典进阶例题精讲 例1 相反数型基础分解：分解 $$a(x-y)+b(y-x)$$ 解：先统一因式，$$y-x=-(x-y)$$ 原式$$=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)$$ 例2 平方偶次幂不变号：分解 $$m(a-b)^2-n(b-a)^2$$ 解：$$(b-a)^2=(a-b)^2$$，无需变号 原式$$=m(a-b)^2-n(a-b)^2=(a-b)^2(m-n)$$ 例3 复杂带幂次提公因式：分解 $$4(x-y)^3-8(y-x)^2$$ 解：$$(y-x)^2=(x-y)^2$$，统一公因式 $$4(x-y)^2$$ 原式$$=4(x-y)^2[(x-y)-2]=4(x-y)^2(x-y-2)$$ 例4 首项为负综合分解：分解$$-2a(a-b)+4b(b-a)$$ 解：统一因式 $$b-a=-(a-b)$$ 原式$$=-2a(a-b)-4b(a-b)=-2(a-b)(a+2b)$$ 五、课时同步进阶练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 对于 $$(x-y)^2$$ 与$$(y-x)^2$$ 的关系，说法正确的是（） A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 无关系 2. 分解 $$m(a-b)-n(b-a)$$ 的结果是（） A. $$(a-b)(m-n)$$ B. $$(a-b)(m+n)$$ C. $$(b-a)(m+n)$$ D. $$(b-a)(m-n)$$ 3. 多项式 $$3(x-2)+6(2-x)^2$$ 的公因式是（） A. $$3(x-2)$$ B. $$3$$ C. $$x-2$$ D. $$6(x-2)^2$$ 4. 下列变形正确的是（） A. $$a-b=b-a$$ B. $$(a-b)^3=(b-a)^3$$ C. $$(x-y)^2=(y-x)^2$$ D. $$m+n=-(m+n)$$ 5. 因式分解最终结果要求括号内首项（） A. 为负 B. 为正 C. 任意符号 D. 为0 二、填空题（每题4分，共20分） 6. $$p-q=$$________$$(q-p)$$；$$(p-q)^3=$$________$$(q-p)^3$$。 7. $$2(a-b)+4(b-a)=$$________。 8. $$5(m-n)^2-10(n-m)^2=$$________。 9. 提公因式时，多项式偶次幂相反数变形________变号，奇次幂相反数变形________变号。 10. $$3(x-y)^2-6(y-x)^3=$$________（最简形式）。 三、解答题（共60分） 11.（20分）基础进阶分解因式： （1）$$x(a-3)+y(3-a)$$    （2）$$4m(x-y)^2-2n(y-x)^2$$ 12.（20分）幂次综合分解：$$6(a-b)^3-12(b-a)^2$$ 13.（20分）综合拔高分解：$$-3x(x+y)+6y(-x-y)$$ 六、参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：偶次幂符号无影响，$$(x-y)^2=(y-x)^2$$。 2. B 解析：原式$$=m(a-b)+n(a-b)=(a-b)(m+n)$$。 3. A 解析：统一式子得 $$3(x-2)+6(x-2)^2$$，公因式为 $$3(x-2)$$。 4. C 解析：偶次幂相等，奇次幂互为相反数，其余变形均错误。 5. B 解析：因式分解规范要求，括号内首项必须为正数。 二、填空题 6. $$-$$；$$-$$ 7. $$-2(a-b)$$ 解析：原式$$=2(a-b)-4(a-b)=-2(a-b)$$。 8. $$-5(m-n)^2$$ 解析：平方不变号，合并同类项即可。 9. 不；要 10. $$3(x-y)^2(1+2x-2y)$$ 三、解答题 11. 解： （1）原式$$=x(a-3)-y(a-3)=(a-3)(x-y)$$ （2）原式$$=4m(x-y)^2-2n(x-y)^2=2(x-y)^2(2m-n)$$ 12. 解： 原式$$=6(a-b)^3-12(a-b)^2$$ $$=6(a-b)^2[(a-b)-2]$$ $$=6(a-b)^2(a-b-2)$$ 13. 解： 原式$$=-3x(x+y)-6y(x+y)$$ $$=-3(x+y)(x+2y)$$ 1. 能确定较复杂多项式的公因式，灵活运用提公因式法分解因式. (重点) 2. 准确找出多项式中各项的公因式，并正确进行因式分解.(难点) 3. 通过分解较复杂的多项式，经历从简单到复杂的螺旋上升的认识过程，体会整体的方法，培养观察、分析能力，提高运算能力. 学习目标 1. 什么是因式分解？ 2. 什么是多项式的公因式？ 把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解. 多项式的各项都有一个公共的因式，这个公共的因式叫作这个多项式各项的公因式. 思考：公因式只能是数字或单独的一个字母吗？ 公因式可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 3 例1 把 8a²b² + 12ab²c 分解因式. 探究点一：提公因式为较复杂单项式的因式分解 思考：如何寻找这两个单项式的公因式？ 系数 字母 相同字母的指数 8 12 a²b² ab²c a为2 ，b为2 找最大公约数___ 4 找相同的字母___ a , b 找相同的字母的最低次数___ 1 , 2 a为1 ，b为2 所以公因式是 4ab2 解：8a²b² + 12ab²c = 4ab²( 2a + 3c ). = 4ab² · 2a + 4ab² · 3c 例1 把 8a²b² + 12ab²c 分解因式. 探究点一：提公因式为较复杂单项式的因式分解 思考：如果例1中提出公因式 4ab，另一个因式是否还有公因式？ 把 8a²b² + 12ab²c 提出公因式 4ab，得 2ab＋3bc， 我们发现这个式子还有公因式 b. 注意：因式分解一定要把原来的式子分到不能再分为止. 因此造成分解因式不彻底. 探究点一：提公因式为较复杂单项式的因式分解 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一 个，即字母的最低次数. 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同 的字母； 找出多项式的公因式的一般步骤： 探究点一：提公因式为较复杂单项式的因式分解 (1) 3x2－6xy； (2) 9m2n－6mn； (3) －6x2y－8xy2； (4) 3a3c2＋12ab3c－a2c. 【针对训练】1.分解因式： 探究点一：提公因式为较复杂单项式的因式分解 解：(1) 3x2－6xy＝3x(x－2y)； (2) 9m2n－6mn＝3mn( 3m－2)； (3) －6x2y－8xy2＝－2xy( 3x＋4y)； (4) 3a3c2＋12ab3c－a2c＝ac( 3a2c＋12b3－a). 例2 分解因式： (1) 2a(b + c) - 3(b + c)； (2) 4(a - b)3 + 8(b - a)2. 探究点二：提公因式为多项式的因式分解 分析：(1) 2a(b + c) 和 -3(b + c) 的公因式是 b + c . 解：(1) 2a(b + c) - 3(b + c) = (2a - 3)(b + c)； (2) 4(a - b)3 + 8(b - a)2 = 4(a - b)2(a - b)+4(a - b)2 · 2 = 4(a - b)2(a - b + 2). (2) 因为 (a - b)² = (b - a)²， 所以 4(a - b)3 和 8( b - a)² 的公因式是 4(a - b)². 思考：如何检查因式分解是否正确？ 【归纳总结】提公因式法步骤： 在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相同，如果相同就说明没有漏项，否则就漏项了. ② 提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. ① 找出公因式； 探究点二：提公因式为多项式的因式分解 【针对训练】2. 分解因式： (2) x2(3a－2)＋x(2－3a)； (2)原式＝x2(3a－2)－x(3a－2) ＝x(3a－2)(x－1). 探究点二：提公因式为多项式的因式分解 (1) a(3b－3c)＋3(c－b)； 解：(1) 原式＝3a(b－c)－3(b－c) ＝3(b－c)(a－1). ＝2a(a－3)·(a－3)＋2a(a－3)·3a－2a(a－3)·4 (3) 2a(a－3)²－6a²(3－a)－8a(a－3). (3)原式＝2a(a－3)²＋6a²(a－3)－8a(a－3) ＝2a(a－3)[(a－3)＋3a－4] ＝2a(a－3)(4a－7). 探究点二：提公因式为多项式的因式分解 1. ［2025青岛期中］把多项式 分解因式，应 提的公因式是( ) B A. B. C. D. 2. 把 分解因式时，提出公因式后，另一个 因式是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 13 3. 把 因式分解，正 确的结果是( ) B A. B. C. D. 4. 把多项式因式分解时，提取的公因式是 , 则 的值可能为( ) A A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 返回 中考考法 14 5. 多项式 可以因 式分解成，则 的值是( ) C A. 2 B. 4 C. 4或 D. 【点拨】，故，或， ， 则或 .故选C. 返回 中考考法 15 提公因式法(2) 2.公因式为多项式的因式分解 1.如何找较复杂的公因式 3.提公因式法因式分解的注意事项 课堂小结 $