专题01三角形的概念、边、中线、角平分线、高（暑假预习讲义）-2026-2027学年人教版数学八年级上册.

专题01三角形的概念、边、中线、角平分线、高 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 三角形基本概念与分类：定义、构成要素、规范表示、按边、按角分类 三角形的边与三边关系：三边核心定理、取值范围、稳定性、实际应用 三角形的中线：定义、重心性质、面积等分结论 三角形的角平分线：定义、内角等分性质、易混辨析 三角形的高：定义、三类三角形高的位置、垂直性质、面积应用 ✅本节是是初中几何逻辑推理的基础起点。依托线段、垂线、角的前置几何知识，系统学习三角形基础定义、分类、三边关系及三类特殊线段，是后续三角形内角和、全等三角形、轴对称等重难点知识的核心铺垫，贯穿初中几何学习全过程。 ✺学习目标： 知识要求：1.掌握三角形的定义、基本要素及规范表示方法，熟记三角形按角、按边的标准分类； 2.理解并掌握三角形三边关系定理与三角形的稳定性； 3.精准掌握三角形中线、角平分线、高的定义与基础性质，了解三角形重心概念，区分几何易混概念。 能力要求：1.能准确识别、分类不同类型的三角形； 2. 熟练运用三边关系判定三条线段能否构成三角形、求解第三边取值范围，了解三角形稳定性的实际应用； 3. 可规范绘制锐角、直角、钝角三角形的中线、角平分线和高，能利用中线面积等分、高的垂直及面积性质解决基础几何计算与辨析题型。 素养要求：培养规范识图、标准作图的几何能力，初步建立几何逻辑推理思维，养成严谨辨析、分步解题、规范作答的几何学习习惯，夯实初二几何入门基础。 ✺题型归纳： 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.三角形的分类 题型4.等腰三角形的定义 题型5.构成三角形的条件 题型6.确定第三边的取值范围 题型7.三角形三边关系的应用 题型8.三角形的稳定性及应用 题型9.根据三角形中线求长度 题型10.根据三角形中线求面积 题型11.重心的概念 题型12.三角形角平分线的定义 题型13.画三角形的高 题型14.与三角形的高有关的计算问题 题型15.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、三角形的概念及表示方法 1.三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边。点A，B，C是三角形的顶点。∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2. 三角形的表示方法 三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 △ABC的三边，有时也用a，b，c表示。在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 3. 角形的分类 ▶按角分类： 直角三角形：三角形中有一个角是直角。 锐角三角形：三角形中三个角都是锐角。 钝角三角形：三角形中有一个角是钝角。 ▶按边分类：分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形包含腰与底边不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 4. 三角形的稳定性 ▶定义：只要三角形三边的长度确定了，它的形状和大小就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。 ▶性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 ▶实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 知识点二、三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 应用 图形 三角形两边的和大于第三边 设三角形三边长为 a、b、c，则：a+b>c，a+c>b，b+c>a 两点之间，线段最短 （1）判断三条线段能否组成三角形；（2）已知三角形的两边，求第三边或周长的取值范围；（3）证明线段的不等关系 三角形两边的差小于第三边 设三角形三边长为 a、b、c，则：a-b<c，a-c<b，b-c<a 知识点三、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 定义： 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 高是线段，垂线是直线， 三角形三条高的交点称为垂心 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于点D或∠ADB=∠ADC=90° 2. 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 任意三角形都有三条中线，且全部位于三角形内部。三角形三条中线的交点称为重心。 ★三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等. 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的中线或BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC中点。 3. 三角形的角平分线 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部。三角形三条角平分线的交点称为内心。 ★三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 几何表达形式：AD是△ABC的角平分线或∠BAD=∠CAD=∠BAC 4.“三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在的直线都分别相交于一点。 三种线段 线的位置 交点名称 图形 三角形的高 锐角三角形：三条高均在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合、一条高在内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部、一条高在内部； 垂心 三角形的中线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条中线全部在三角形内部 重心 三角形的角平分线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线全部在三角形内部， 内心 ✺题型◆精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 2．如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 3．（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 【答案】（1）3；3；2；（2）=；； 【分析】本题主要考查了三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．根据三角形的性质计算即可； 【详解】解：（1）根据测量可得：，，； 故答案为：3；3；2； （2），，． 故答案是：=；；． 题型2.三角形的个数问题 1．如图，以点为顶点的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数．根据三角形的定义得出答案即可． 【详解】解：以点为顶点的三角形有，共有个 故选：D． 2．如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有_____________个三角形． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 3．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 【答案】图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的定义，即可解答． 【详解】解：由图，可知 图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 题型3.三角形的分类 1．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 2．如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 【答案】 5 2 【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】解：直角三角形：，，，，，共5个； 钝角三角形：，，共2个． 故答案为：6；2． 3．如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】等边三角形有，等腰三角形． 【分析】本题考查了三角形的分类，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴等边三角形有，等腰三角形． 题型4.等腰三角形的定义 1．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 2．的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【答案】 等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 3．已知等腰三角形的周长是，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是．求此等腰三角形各边的长． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，则底边长为，再根据两个三角形的周长差是，求出x的值即可． 【详解】解：如图所示，等腰中，，点D为的中点，设，    ∵点D为的中点， ∴，， 当的周长大于的周长时， ∴，即， 解得， ∴底边长为； 当的周长大于的周长时， ∴，即， 解得， ∴底边长为． 综上所述，这个等腰三角形的各边的长为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 题型5.构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，故不能组成三角形； B．，故能组成三角形； C．，故不能组成三角形； D．，故不能组成三角形． 2．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】 15 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为． 3．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 【答案】(1)4根火柴不能搭成三角形 (2)12根火柴能搭成三种不同的三角形，示意图见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系为解题关键． （1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【详解】（1）解：把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， 根火柴不能搭成三角形； （2）12根火柴能搭成三种不同的三角形， 第一种边长分别为：4，4，4； 第二种边长分别为：5，5，2； 第三种边长分别为：3，4，5， 示意图如下： 题型6.确定第三边的取值范围 1．若三角形的两条边长分别为2和7，则第三边的边长可以是（     ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配符合范围的选项即可，三角形三边关系为三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边． 【详解】设第三边的长为c， ∵三角形已知两条边长分别为2和7， ∴，即， 选项中只有C选项的8满足该范围，因此选C． 2．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答． 【详解】解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 3．已知三角形的三边分别为，和． (1)求a的取值范围； (2)若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系． （1）根据第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和求解即可； （2）根据第三边的取值范围确定三角形的另一边，进而求出周长． 【详解】（1）解：∵两边为和， ∴， 解得； （2）解：∵，a为小于8的偶数， 当时，该三角形周长为． 题型7.三角形三边关系的应用 1．为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：连接， 在中， ∴，即， 解得， 只有在范围内． 2．如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：16． 3．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 【答案】(1) 是等边三角形 (2) 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 题型8.三角形的稳定性及应用 1．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三内角和为 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符. 2．如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 【答案】 三角形具有稳定性 【详解】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 3．如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在生活中的具体应用，根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是三角形的稳定性． 题型9.根据三角形中线求长度 1．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 2．如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 3．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 题型10.根据三角形中线求面积 1．如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 2．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 【答案】36 【分析】先根据中点定义得出为中线，再根据中线的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， ∵分别为边上中点， ∴为的中线， ∴，，，为的中线， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 3．如图，点D是的边上一点，且，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为． (1)求的面积； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握三角形中线的性质是解此题的关键． （1）先由求出，，再根据三角形中线的性质计算即可得解； （2）先求出，从而可得，再根据三角形中线的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：和不等底等高，， ， ∴． 点E是的中点， ； （2）解：点E是的中点， ， ． 点F是的中点， ． 题型11.重心的概念 1．如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题考查了重心的定义，根据定义即可求解． 【详解】解：∵中线的交点叫重心，而其中在中，只有线段是的中线， ∴的重心一定在线段上． 故选：B． 2．下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是_______． 【答案】① 【分析】根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：∵用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡 ∴点O是的重心， ∴线段是的三条中线，故①满足题意． 答案为①． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键． 3．如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【答案】解：如图，点Q即为所求作的边的中点． 连接，相交于点H，连接并延长交于点O，则O是的中点． 连接，相交于点K，连接并延长交于点Q，则Q是的中点． 【详解】略 题型12.三角形角平分线的定义 1．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 2．（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则________；若，则_________． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则________． 【答案】 /80度 3 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 3．如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知） ∴_______（_______） ∵（已知） ∴_______（_______） ∴（_______） ∵（已知） ∴_______（等量代换） ∴（_______） ∴（_______） 【答案】，角平分线的定义；，两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质，根据角平分线的定义和平行线的判定与性质进行证明，即可求解． 【详解】解：证明过程如下：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两条直线平行）， ∴（两条直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：，角平分线的定义；，两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补． 题型13.画三角形的高 1．中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 2．如图，中边上的高为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：根据三角形的高的定义可知中边上的高为． 故答案为：． 3．如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查三角形的高线、中线画法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）结合图形，找出以为高的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2） 根据图形得：为以为高的三角形． 题型14.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据即可求出点到边的距离． 【详解】解：作，如图， ， ， ． 2．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特点，三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性． 【详解】解：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，都是三角形，具有稳定性； 梯形不具有稳定性， 故选：C． 2．下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若大于则能构成，反之不能构成． 【详解】解：∵选项A中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项B中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项D中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． 3．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 4．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 5．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形， 根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 二、填空题 6．已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 7．用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰长和底边长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到符合条件的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ，不满足三角形三边关系， 这种情况不成立，舍去； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ，满足三角形三边关系， 此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为． 8．如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中线定理及利用三角形面积求对应的高．根据三角形中线定理得出，再由三角形的面积及三角形的高求得的值，从而求得的值． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 又∵的面积为6，，且为的高， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：8． 9．如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【答案】4 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 三、解答题 11．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2)13或14或15． 【分析】（1）根据非负数的性质得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为正数得出c的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解： ，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 的周长为13或14或15． 12．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 13．如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据中线的性质，作答即可； （2）根据角平分线的定义作答即可； （3）根据高线的定义作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 14．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：画出如图所示： （2）解：画出的高如图所示； （3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等． 15．如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)20；60 (2)24 【分析】本题考查了三角形的中线以及面积公式的应用，解题的关键是利用中线的性质确定底边长度，结合面积公式进行计算． （1）利用中线性质求的长，再用三角形面积公式求面积； （2）通过三角形面积的两种表示方法求的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 则， 的面积为； （2）解：， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形的概念、边、中线、角平分线、高 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 三角形基本概念与分类：定义、构成要素、规范表示、按边、按角分类 三角形的边与三边关系：三边核心定理、取值范围、稳定性、实际应用 三角形的中线：定义、重心性质、面积等分结论 三角形的角平分线：定义、内角等分性质、易混辨析 三角形的高：定义、三类三角形高的位置、垂直性质、面积应用 ✅本节是是初中几何逻辑推理的基础起点。依托线段、垂线、角的前置几何知识，系统学习三角形基础定义、分类、三边关系及三类特殊线段，是后续三角形内角和、全等三角形、轴对称等重难点知识的核心铺垫，贯穿初中几何学习全过程。 ✺学习目标： 知识要求：1.掌握三角形的定义、基本要素及规范表示方法，熟记三角形按角、按边的标准分类； 2.理解并掌握三角形三边关系定理与三角形的稳定性； 3.精准掌握三角形中线、角平分线、高的定义与基础性质，了解三角形重心概念，区分几何易混概念。 能力要求：1.能准确识别、分类不同类型的三角形； 2. 熟练运用三边关系判定三条线段能否构成三角形、求解第三边取值范围，了解三角形稳定性的实际应用； 3. 可规范绘制锐角、直角、钝角三角形的中线、角平分线和高，能利用中线面积等分、高的垂直及面积性质解决基础几何计算与辨析题型。 素养要求：培养规范识图、标准作图的几何能力，初步建立几何逻辑推理思维，养成严谨辨析、分步解题、规范作答的几何学习习惯，夯实初二几何入门基础。 ✺题型归纳： 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.三角形的分类 题型4.等腰三角形的定义 题型5.构成三角形的条件 题型6.确定第三边的取值范围 题型7.三角形三边关系的应用 题型8.三角形的稳定性及应用 题型9.根据三角形中线求长度 题型10.根据三角形中线求面积 题型11.重心的概念 题型12.三角形角平分线的定义 题型13.画三角形的高 题型14.与三角形的高有关的计算问题 题型15.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、三角形的概念及表示方法 1.三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边。点A，B，C是三角形的顶点。∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2. 三角形的表示方法 三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 △ABC的三边，有时也用a，b，c表示。在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 3. 角形的分类 ▶按角分类： 直角三角形：三角形中有一个角是直角。 锐角三角形：三角形中三个角都是锐角。 钝角三角形：三角形中有一个角是钝角。 ▶按边分类：分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形包含腰与底边不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 4. 三角形的稳定性 ▶定义：只要三角形三边的长度确定了，它的形状和大小就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。 ▶性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 ▶实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 知识点二、三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 应用 图形 三角形两边的和大于第三边 设三角形三边长为 a、b、c，则：a+b>c，a+c>b，b+c>a 两点之间，线段最短 （1）判断三条线段能否组成三角形；（2）已知三角形的两边，求第三边或周长的取值范围；（3）证明线段的不等关系 三角形两边的差小于第三边 设三角形三边长为 a、b、c，则：a-b<c，a-c<b，b-c<a 知识点三、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高 定义： 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 高是线段，垂线是直线， 三角形三条高的交点称为垂心 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于点D或∠ADB=∠ADC=90° 2. 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 任意三角形都有三条中线，且全部位于三角形内部。三角形三条中线的交点称为重心。 ★三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等. 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的中线或BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC中点。 3. 三角形的角平分线 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部。三角形三条角平分线的交点称为内心。 ★三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 几何表达形式：AD是△ABC的角平分线或∠BAD=∠CAD=∠BAC 4.“三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在的直线都分别相交于一点。 三种线段 线的位置 交点名称 图形 三角形的高 锐角三角形：三条高均在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合、一条高在内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部、一条高在内部； 垂心 三角形的中线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条中线全部在三角形内部 重心 三角形的角平分线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线全部在三角形内部， 内心 ✺题型◆精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中， ，若的周长为，则______． 3．（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 题型2.三角形的个数问题 1．如图，以点为顶点的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有_____________个三角形． 3．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 题型3.三角形的分类 1．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 2．如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 3．如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 题型4.等腰三角形的定义 1．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 2．的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 3．已知等腰三角形的周长是，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是．求此等腰三角形各边的长． 题型5.构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 2．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 3．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 题型6.确定第三边的取值范围 1．若三角形的两条边长分别为2和7，则第三边的边长可以是（     ） A．3 B．5 C．8 D．9 2．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 3．已知三角形的三边分别为，和． (1)求a的取值范围； (2)若a为小于8的偶数，求该三角形的周长． 题型7.三角形三边关系的应用 1．为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 3．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 题型8.三角形的稳定性及应用 1．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三内角和为 D．垂线段最短 2．如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 3．如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 题型9.根据三角形中线求长度 1．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 3．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 题型10.根据三角形中线求面积 1．如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 3．如图，点D是的边上一点，且，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为． (1)求的面积； (2)求的面积． 题型11.重心的概念 1．如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 2．下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是_______． 3．如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 题型12.三角形角平分线的定义 1．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 2．（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则________；若，则_________． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则________． 3．如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知） ∴_______（_______） ∵（已知） ∴_______（_______） ∴（_______） ∵（已知） ∴_______（等量代换） ∴（_______） ∴（_______） 题型13.画三角形的高 1．中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中边上的高为___________． 3．如图，在中，是钝角，完成下列作图题． (1)作的高线、中线与的延长线交于点F； (2)连接，请写出以为高的三角形． 题型14.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 3．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 2．下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 3．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 5．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 二、填空题 6．已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 7．用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 8．如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 9．如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 10．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 三、解答题 11．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 12．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 13．如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 14．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 15．如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $