第二章 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修一

该高中数学单元复习讲义以“直线与圆、圆与圆的位置关系”为核心，通过表格对比直线与圆的相交、相切、相离及圆与圆的五种位置关系，结合图形直观呈现几何特征与代数条件，系统梳理切线方程、弦长公式等重点知识，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如直线与圆位置关系判断（例1）、切线方程求解（例10）等，融入高考真题改编题（例7），培养数学思维与运算能力。针对训练和课后作业覆盖选择、填空、解答题，助力不同层次学生巩固提升，为教师精准教学提供支持。

2.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1、 直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0 几何观点 dr dr dr (2)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2. 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 （1）几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 3. 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 几何法： 圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 图形 公切线条数 外离 d>r1＋r2 无解 4 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 3 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 2 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 1 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 0 4. 圆与圆的公共弦 （1）圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. （2）公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 5. 圆上点到直线的最大（小）距离（另设一个专题讲） 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【题型精讲】 题型一、直线与圆的位置关系 例1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 例2．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线过定点与图形可得答案. 【详解】曲线即表示如图所示的半圆， 又过定点：. 当与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则， 当直线过如图点时，斜率为：， 则实数的取值范围是. 故选：B 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、点与圆的位置关系求参数 【分析】将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知直线经过的定点为 则定点在圆内或者圆上的时候满足题意， 所以， 又表示圆， 所以，解得或； 综上，. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，直线，若圆C上有四个点到直线l的距离为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆的位置关系列不等式计算即可. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径， 因为圆C上有四个点到直线l的距离为2， 则圆心到直线的距离为， 又圆心到直线的距离， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交过圆心 D．相交不过圆心 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】由圆的标准方程确定圆心、半径，再应用点线距离公式求圆心到直线的距离，并与半径比较大小，即可确定位置关系，注意直线是否过圆心即可. 【详解】由题设，圆的标准方程为， ∴圆心为，半径为4， 又到的距离为， ∴直线与圆的位置关系为相交且不过圆心. 故选：D 2．（25-26高二上·江苏·期中）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 【分析】求得直线所过定点，再判断该定点在圆的内部，从而得解. 【详解】因为直线可化为， 所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点. 故选：C. 3．（24-25高二下·广东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解. 【详解】圆心到直线的距离, 若点在圆上，则， 所以，则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以，则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外，则， 所以，则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即，所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：C. 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意可知，直线过定点，曲线表示半圆，做出图像，利用数形结合的思想可得斜率的最大值，最小值. 【详解】 由题意得直线过定点，画出曲线的图像，如图所示， 结合图像可知，当直线与半圆相切于点时，斜率最大， 根据，可得，此时 当直线与轴重合时，斜率最小，此时 所以实数的取值范围为 故答案为: 5．（2026·广东深圳·二模）在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先求旋转后的直线，再根据直线与圆的位置关系，即可求解 【详解】直线的斜率为，过点，绕原点逆时针旋转后，斜率为，过点，得到直线， 若该直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 解得， 故选：D. 6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】结合图形，将题意要求转化为使圆心到直线的距离等于1，由距离公式计算即得. 【详解】 如图，因圆的半径为，要使圆上恰有三个点到直线的距离等于1， 等价于圆心到直线的距离等于即可， 即，解得. 故选：B. 题型二：圆的切线与弦长问题 角度1：弦长问题 例5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】圆的弦长与中点弦 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 例6．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 例7．（2024·全国甲卷·高考真题 改编）已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 例8．（25-26高二上·山东东营·阶段检测）已知圆心为的圆经过这三个点． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求过已知三点的圆的标准方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案； （2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为过， 所以，解得， 所以圆的标准方程为 （2）当直线的斜率不存在时，其方程为， 由，解得或， 所以直线被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为10，所以， 即，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的一般式方程为或. 【针对训练】 1．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】由直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 所以. 故选：A. 2．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 3．（2025高二上·广东深圳·专题练习）已知圆，直线． (1)求证：直线与圆恒有两个交点； (2)求出直线被圆截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的的值； (3)设直线与圆的两个交点为，且（点为圆的圆心），求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2)，； (3) 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、判断直线与圆的位置关系、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果； （2）弦的中点与圆心连线与弦垂直时弦长最小，利用勾股定理可得结果； （3）设与的夹角为，由，可得，从而，可得点到直线的距离为，利用点到直线距离公式求出列方程求得，从而可得直线的方程 【详解】（1）由圆可得圆心，半径， 由于直线，即， 令，解得， 所以恒过点，所以， 所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点； （2）设直线与圆的两个交点为 当和过的直径垂直时，取最小值， 此时圆心到的距离， 所以，故的最小值为， 此时，和过的直径垂直时，所以的斜率 （3）设与的夹角为， 因为， 所以，因为，所以， 所以点到直线的距离为， 即，解得， 所以直线的方程是 4．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求． 【详解】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 角度2：切线问题 例9．多选（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知圆的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的半径为 B．点在圆内 C．直线与圆相离 D．过作圆的切线，切线方程为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】根据题意确定圆心和半径可判断A；求出点到圆心的距离与半径比较可判断B，根据圆心到直线的距离与半径比较判断直线与圆的位置关系；先可确定在圆上，则切线，进而得到切线斜率，写出方程即可判断D． 【详解】由题意可得，， 圆的圆心，半径，故A正确； ， 点在圆上，故B错误； 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 在圆上，所以切线，， 切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：ACD． 例10．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若直线过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）设圆心，由已知列出方程组求解即可. （2）按直线斜率存在与否分类，利用圆的切线性质求解. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上， 得，即，解得，则，圆C半径， 所以圆C的方程是． （2）圆心到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 若直线的斜率存在，设其方程为，即， 则，解得，直线的方程为． 所以直线l的方程为或. 例11．（25-26高二下·江西抚州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 例12．多选（2026高二下·全国·专题练习）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 【针对训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）；（2）和 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）先判断点在圆上，根据直线与切线垂直得到切线斜率，利用点斜式直线方程求得切线方程； （2）先判断点在圆外，根据切线斜率存在和不存在分类讨论，结合圆心到直线的距离等于圆的半径，求得切线方程. 【详解】(1)点在圆上，圆心，由斜率公式得， 故所求切线的斜率为．故所求的切线方程为：，即． （2）由于，所以点在圆外； ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 故，解得，所以切线方程为． ②当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离也为1，这时直线与圆也相切， 所以另一条切线方程是． 综上所述，所求切线方程为和． 2．（2026·天津河西·二模）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则，所以切线长为. 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切线长 【分析】证明出，可得出，则当取最小值时，四边形的面积取最小值，且的最小值为点到直线的距离，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心，半径， 连接，如下图所示： 由圆的切线的几何性质可知，， 又因为，，所以， 所以， 故当取最小值时，四边形的面积取最小值， 而为直线上一点与圆心之间的距离， 所以的最小值为点到直线的距离，为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 4．多选（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、切线长、切点弦及其方程 【分析】由勾股定理表示出即可判断A；由余弦定理及根的判别式即可判断B；得出，即可判断C；求得点坐标，得出的轨迹方程为圆，即可求解的最大值． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径， 点在轴上，过作圆的切线，切线长， 其中，故， 当时，取得最小值，故A错误； 对于B，圆上存在点使得， 所以，所以，故，又， 所以，故，故B正确； 对于C，四边形的面积， 当时面积最小，此时， 切点弦的方程为，与选项中不符，故C错误； 对于D，直线的方程为， 当时，直线的方程为，此时，， 当时，直线的方程为， 联立得交点的坐标：， 消去参数得的轨迹方程为圆：， 圆心为半径，点到的距离为， 故的最大值为，故D正确； 故选：BD． 题型三：圆与圆的位置关系 角度1：圆与圆的位置关系 例13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得. 【详解】由可知圆心为，半径为2； 由可知且圆心为，半径为. 因两个圆有三条公切线可知两圆外切， 即， 解得：. 故选：C. 例14．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 【针对训练】 1．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】利用配方法，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行判断即可. 【详解】圆的半径为. 圆， 所以该圆的半径为，圆心坐标为. 因为， 所以两圆相外切. 故选：C 2．（2026高二·全国·专题练习）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 3．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据两个圆有四条公切线可得两个圆相离，再用几何法即可解得. 【详解】由圆，即，得圆心，半径. 再由圆，即，得圆心，半径. 又因为两个圆有四条公切线，所以两个圆相离，所以， 即，解得或，所以实数的取值范围.故选：C 角度2：圆与圆的公共弦问题 例15．（24-25高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的弦长与中点弦 【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【详解】两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：C． 例16．多选（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【难度】0.68 【知识点】相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 【针对训练】 1．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程、求点到直线的距离、两圆的公共弦长 【分析】联立两圆方程得到公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解. 【详解】由得， 所以圆和圆的公共弦所在直线方程为， 圆的圆心为，半径， 到公共弦所在直线的距离为， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)或 (2)， 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【详解】（1），， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 角度3：圆的公切线问题 例17．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 例18．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 例19．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【针对训练】 1．（2026高二·全国·专题练习）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线方程 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 3．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【答案】，和 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 4．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系，结合圆心到直线距离与半径的大小关系进行判断即可. 【详解】∵点是圆内不同于原点的一点， ， ∵圆心到直线的距离， 故直线和圆相离. 故选：C 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）直线与圆相切，则实数m等于（    ） A．2 B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径求解即可 【详解】因为直线与圆相切，故，即，故 故选：D 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上皆有可能 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆的位置关系可得，从而确定点与圆的位置关系. 【详解】若直线与圆没有公共点，则直线与圆心的距离，即， 又点到圆圆心的距离为，因此点在圆内． 故选：C. 4．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知切线求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得. 【详解】因圆与直线只有一个公共点， 则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1， 即，而，则有， 所以的值为2. 故选：C 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、求平行线间的距离 【分析】由题意可得两直线平行，求出两平行线间的距离，从而可得圆心到直线的距离，再由弦长，圆心距和半径的关系可求出圆的半径，从而可求出圆的面积 【详解】因为两条直线与， 所以， 所以与间的距离为， 所以圆心到直线的距离为1， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆的半径为， 所以圆的面积为. 故选：A. 7．（24-25高三下·广东深圳·开学考试）已知直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】利用几何法即可求得弦的长. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦的长 故选：A 8．（2026·广西南宁·模拟预测）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 9．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】已知切线求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 10．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系、数量积的坐标表示 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示确定点的轨迹，结合圆与圆的位置关系即可判断. 【详解】设点，则，且， 由，得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为，半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为． 因为，所以两圆相交，满足这样的点有2个 故选：B 11．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 12．（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用两圆位置关系的判断方法列不等式求解即得． 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 13．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】确定两圆的圆心和半径，根据题意可知两圆相交，利用圆心距与半径的关系，可得实数的取值范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆有两个公共点，所以两圆相交，所以， 即，所以. 解得，且. 故选：C. 14．（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】由两圆的一般式作差，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B 15．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、圆的公切线长 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 16．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、圆的公切线长 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 17．（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线长 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 二、多选题 18．（2025·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】依题意可得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，结合选项逐一判断即可． 【详解】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为； 又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为， 圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立 故选：AD． 19．（25-26高二上·广东深圳·期中）圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】由题意可知圆心到直线的距离小于，建立不等式，求出的取值范围，从而得到结果. 【详解】圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 则，解得. 显然. 故选：ABC 20．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数的值可能取值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】因为所有到直线的距离为1的点都在两条件与已知直线平行的直线上，则可数形结合将问题转化为圆与两条直线有且仅有两个公共点的问题. 【详解】圆方程可化为， 的圆心，半径为， 则圆心到直线的距离， 平面内，若点到直线的距离为1， 则点在与直线平行且距离为的两条直线上， 如图，要使圆上有且仅有两个点到直线的距离为1， 则两平行直线与圆有且仅有两个公共点，则，解得， 即，解得. 故选：BC. 21．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（    ） A．圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为 C．直线AB恒过定点 D．当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长、由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题 【分析】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解. 【详解】由圆，得圆心，圆半径， A选项：点C到直线l的距离为，又，即， 所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，， 所以，B选项错误； C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上， 设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 圆的方程为， 即， 又A，B在圆C上，则， 得，则，解得， 所以AB恒过定点，C选项正确； D选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线PC方程为， 即，联立，解得，故，则， 所以，即，D选项正确． 故选：ACD． 22．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，直线：则以下命题正确的有（    ） A．圆被轴截得的弦长为 B．直线恒过定点 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先把圆的一般方程化为标准式，可以得到圆心和半径，再逐项分析；选项A：根据垂径定理，求出弦长 ，其中 是圆心到弦所在直线的距离；选项B：先整理含参数的直线方程，再令各部分为0，最后解方程组得定点；选项C：先通过计算定点到圆心的距离，再分析若小于半径时，则直线与圆相交；选项D：最短弦与“圆心-定点”连线垂直，先求该连线的斜率，再取负倒数得到直线斜率，最后用点斜式写出方程. 【详解】因为， 所以，则圆心 ，半径 ； 选项A： 因为圆心到轴的距离 ， 所以由垂径定理，弦长为 .A正确； 选项B：因为直线：， 整理得， 由，解得， 所以直线过定点.B错误； 选项C：直线过定点，到圆心 的距离为 ， 所以定点在圆内，直线与圆一定相交.C正确； 选项D：直线被圆截得弦最短时，直线且， 所以，则直线方程为，即.D错误． 故选：AC. 23．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（     ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为 D．当最小时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】由已知，圆心为，半径为，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式可判断；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断；利用圆的性质可判断；根据直线与圆相切和勾股定理可判断． 【详解】 对于A，已知点，，点在圆：上运动， 则圆心为，半径为，直线的方程为即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确； 对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确． 故选：ACD． 24．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则（   ） A． B．直线与圆相切 C．当时，圆与圆外切 D．当时，圆与圆有公共弦，且弦长为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程 【分析】根据圆的定义、点到直线的距离公式、圆与圆之间的位置关系、公共弦等知识逐项计算判断即可. 【详解】将圆的方程化为标准方程为. 则，解得，A正确； 圆的圆心为，半径为， 由于圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，B错误； 当时，圆，所以圆，半径为. 那么圆的圆心距为， 所以当时，圆与圆外切，C正确； 当时，圆，所以此时圆，半径为. 那么圆的圆心距为，所以圆与圆相交， 设圆与圆的公共弦长为，则. 化简得，两边平方得， 解得或（舍去），所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 25．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是______． 【答案】相交 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断条件即可得到结果. 【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 26．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的标准方程为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设轴正半轴上圆心为，由圆与两直线相切得圆心到两直线距离相等，去掉分母化简得，舍去不合题意的得，再求出半径平方，即可写出圆的标准方程. 【详解】设圆的圆心为，其中，半径为. 因为圆与直线和都相切， 则圆心到两条直线的距离均等于半径，即，. 化简得，即. 因为，分情况讨论：当时，解得； 当时，解得，不符合，舍去. 将代入距离公式，得，则. 所以圆的标准方程为. 27．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 28．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 29．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、由标准方程确定圆心和半径 【分析】把圆化为标准式，算出圆心距，再利用两圆外切时圆心距等于半径之和的条件，解方程求出. 【详解】圆：，配方得：，圆心为，半径为 ； 圆：，圆心为，半径为； 两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和， 圆心距为，所以， 解得. 故答案为： 30．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线方程 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 四、解答题 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线 (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)直线与圆相交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）由平行直线斜率相等求出直线的斜率，用直线的点斜式方程求解或设直线方程为，将点代入即可求解. （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据即可求解. 【详解】（1）解法一： 直线的斜率为 直线的斜率为 直线的方程为 即 解法二： 直线的方程为 直线过点 直线的方程为 （2）易知圆心，半径 圆心到直线的距离 32．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）设圆的方程为，由题意，列出方程组，求解得的值，即可写出圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点的坐标，计算弦长验证，斜率存在时，设的方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值即得. 【详解】（1）设圆的方程为，          由已知得，              解得，，，             所以圆的方程为，即； （2）① 若直线有斜率，可设的方程为，即，       由已知，则圆心到直线的距离         解得，                此时，直线的方程为，即；             ② 若直线没有斜率，则的方程为，                           将其代入，可得或， 即得，，满足条件，            综上所述，直线的方程为或． 33．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)点在圆上，求的取值范围； (3)若经过点直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆心坐标，利用圆心和圆经过已知两点构造方程求出圆心坐标，利用圆心到已知点的距离求出半径，从而得出圆的方程； （2）先分析得出表示原点到圆上距离的平方，再求出原点到圆心的距离，结合圆的半径得出原点到圆上距离的取值范围，从而得出的取值范围； （3）利用已知条件求出圆心到直线的距离，设直线斜率为得出直线方程，利用点到直线距离公式构造方程求出，从而得出直线方程． 【详解】（1）由题可设圆的圆心为， 又圆经过，两点， ，解得， ，圆的半径为， 圆的方程为； （2）表示圆上点到原点距离的平方， 原点到圆心的距离， 原点到圆上点的距离范围为，即， （3）． 直线过点与圆相交于，两点，而点在圆上， 所以于，两点有一个与P重合， 因为为直角三角形， ，， 圆心到直线的距离， 由题可知直线的斜率存在且设为，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得， 直线的方程为：或． 34．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点分别是，，，线段的垂直平分线方程为，圆为外接圆. (1)求以及圆的标准方程； (2)求过点，且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)和． 【难度】0.4 【知识点】由两条直线垂直求方程、求过已知三点的圆的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）由线段的垂直平分线得直线的斜率，得，又线段中点在上，得，解出即可；先线段的垂直平分线方程为结合线段的垂直平分线方程为求圆心的坐标，进而求得半径，最后利用圆的标准方程即可求解； （2）分当斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）因为线段的垂直平分线的斜率为，所以直线的斜率为， 即，又线段中点在上， 所以，解得，， 所以，，线段的中点为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， 联立解得圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设过的直线为，当斜率不存在时，直线l的方程为，到的距离为， 所以是圆的一条切线； 当斜率存在时，设，即l：，圆心到的距离为， 即，解得， 代入化简得，也是圆的一条切线. 综上所述，过的圆的切线方程为和． 35．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； （2）由点为圆的弦的中点，所以先求，根据弦长计算即可. 【详解】（1）由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 由圆心到直线的距离为：， 此时，直线与圆相切，满足题意， 当过点的直线的斜率存在时， 设方程为，即， 由题意知直线与圆相切可得：， 解得：， 所以切线方程为， 故过点的圆的切线方程为或． （2）由点为圆的弦的中点，且， 所以. 36．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标； (2)求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）； (3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】(1)，定点 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】已知切线求参数、切点弦及其方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）计算以为圆心，为半径的圆方程，与圆的方程相减得到直线方程. （2）线段的中点为，根据得到在以为直线的圆上，计算圆心的半径即可. （3）设出切线方程，根据相切得到，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，得到最值. 【详解】（1）圆，即，圆心，半径， ，， 故以为圆心，为半径的圆方程为：， 即， 故直线的方程为， 化简得到，直线过定点 （2）设线段的中点为，则，即在以为直线的圆上， 圆心为，即，半径为 故的轨迹方程为：. （3）设切线方程为 , 即 ， 故到直线 的距离，即， 设的斜率分别为，由韦达定理可得 ，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用两圆方程相减求弦所在的方程是解题的关键，韦达定理的应用也是考查的重点. 37．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程、切线长、圆的公切线长 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径，则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 第 23 页 共 65 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1、 直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0 几何观点 dr dr dr (2)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2. 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 （1）几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 3. 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 几何法： 圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 图形 公切线条数 外离 d>r1＋r2 无解 4 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 3 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 2 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 1 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 0 4. 圆与圆的公共弦 （1）圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. （2）公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 5. 圆上点到直线的最大（小）距离（另设一个专题讲） 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【题型精讲】 题型一、直线与圆的位置关系 例1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 例2．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______． 例4．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，直线，若圆C上有四个点到直线l的距离为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交过圆心 D．相交不过圆心 2．（25-26高二上·江苏·期中）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 3．（24-25高二下·广东·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 4．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是____________． 5．（2026·广东深圳·二模）在平面直角坐标系内，若直线绕原点逆时针旋转后与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：圆的切线与弦长问题 角度1：弦长问题 例5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 例6．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 例7．（2024·全国甲卷·高考真题 改编）已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 例8．（25-26高二上·山东东营·阶段检测）已知圆心为的圆经过这三个点． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的一般式方程． 【针对训练】 1．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 3．（2025高二上·广东深圳·专题练习）已知圆，直线． (1)求证：直线与圆恒有两个交点； (2)求出直线被圆截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的的值； (3)设直线与圆的两个交点为，且（点为圆的圆心），求直线的方程． 4．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 角度2：切线问题 例9．多选（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知圆的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的半径为 B．点在圆内 C．直线与圆相离 D．过作圆的切线，切线方程为 例10．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若直线过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 例11．（25-26高二下·江西抚州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 例12．多选（2026高二下·全国·专题练习）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【针对训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 2．（2026·天津河西·二模）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为_____________. 4．多选（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 题型三：圆与圆的位置关系 角度1：圆与圆的位置关系 例13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．16 C．32 D．36 例14．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．（2026高二·全国·专题练习）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 角度2：圆与圆的公共弦问题 例15．（24-25高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 例16．多选（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【针对训练】 1．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆的交点为，，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 角度3：圆的公切线问题 例17．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 例18．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 例19．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【针对训练】 1．（2026高二·全国·专题练习）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 4．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）直线与圆相切，则实数m等于（    ） A．2 B． C．或 D． 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上皆有可能 4．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·广东深圳·开学考试）已知直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 8．（2026·广西南宁·模拟预测）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 11．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 12．（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）若圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 16．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 17．（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 二、多选题 18．（2025·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 19．（25-26高二上·广东深圳·期中）圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数的值可能取值为（    ） A． B． C． D．6 21．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（    ） A．圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为 C．直线AB恒过定点 D．当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 22．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，直线：则以下命题正确的有（    ） A．圆被轴截得的弦长为 B．直线恒过定点 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 23．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（     ） A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为 D．当最小时， 24．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则（   ） A． B．直线与圆相切 C．当时，圆与圆外切 D．当时，圆与圆有公共弦，且弦长为 三、填空题 25．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是______． 26．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的标准方程为__________. 27．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 28．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 29．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 30．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 四、解答题 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线 (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)直线与圆相交于两点，求线段的长. 32．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 33．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)点在圆上，求的取值范围； (3)若经过点直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程． 34．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点分别是，，，线段的垂直平分线方程为，圆为外接圆. (1)求以及圆的标准方程； (2)求过点，且与圆相切的直线方程． 35．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 36．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标； (2)求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）； (3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 37．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 第 23 页 共 65 页 学科网（北京）股份有限公司 $