02讲 与三角形有关的线段 暑期预习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形中与线段相关的核心知识点，系统梳理三角形的边（三边关系及稳定性）、中线（定义与重心）、角平分线（定义与内心）、高（定义与垂心），构建从基础概念到性质应用的完整学习支架。 资料通过9类题型归纳（如构成三角形条件、中线求面积等），结合生活实例（折叠凳宽度、钢管规格选择）培养数学眼光，通过例题变式训练提升推理能力（数学思维），巩固练习融入实际情境（池塘距离估计）强化应用意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

第十三章 三角形 02讲 与三角形有关的线段 题型归纳 【题型1. 构成三角形的条件 3】 【题型2. 确定第三边的取值范围 6】 【题型3. 三角形三边关系的应用 8】 【题型4. 三角形的稳定性及应用 12】 【题型5. 根据三角形中线求长度 14】 【题型6. 根据三角形中线求面积 19】 【题型7. 三角形的角平分线 22】 【题型8. 画三角形的高 25】 【题型9. 与三角形的高有关的计算 27】 【巩固练习 31】 知识清单 知识点1 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点2 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. , 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 题型专练 题型1. 构成三角形的条件 【例1】下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（    ） A．1，2，4 B．1，2，3 C．3，2，2 D．1，2，7 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，只需验证两个较短边的和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、较短边为1和2，最长边为4，∵，∴不满足三边关系，不能摆成三角形； B、较短边为1和2，最长边为3，∵，∴不满足三边关系，不能摆成三角形； C、较短边为2和2，最长边为3，∵，满足任意两边之和大于第三边，∴符合三边关系，能摆成三角形； D、较短边为1和2，最长边为7，∵，∴不满足三边关系，不能摆成三角形． 【例2】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17 B．13 C．17或22 D．22 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题时需分类讨论，并验证是否满足三边关系． 等腰三角形的两边长分别为4和9，需分两种情况讨论：当腰为4底为9时，当腰为9底为4时． 根据三角形三边关系，只有腰为9时能构成三角形，周长为22． 【详解】解：当腰为4底为9时，三边为4，4，9． ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形． 当腰为9底为4时． ∵，， 满足三角形三边关系， ∴ 能构成三角形，周长． ∴ 这个等腰三角形的周长为22． 故选D． 【变式1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不能摆成三角形，不符合题意； B、∵， ∴不能摆成三角形，不符合题意； C、∵， ∴能摆成三角形，符合题意； D、∵， ∴不能摆成三角形，不符合题意． 故选C． 【变式2】若从如图所示的四根小木棒中选取三根摆成一个三角形，则所摆成的三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴符合题意的只有②③④， ∴所摆成的三角形的周长是． 故选：D． 【变式3】已知等腰三角形的一边等于另一边等于，则它的周长为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 分情况讨论即可． 【详解】解：当为腰，为底时， ，， 能构成三角形， 等腰三角形的周长； 当为腰，为底时， ，， 能构成三角形， 等腰三角形的周长； 故答案为：或． 【变式4】用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形． 【答案】12 【分析】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 可把三角形的周长看作24，再根据三角形的三边关系可得出结论． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边， 只能有12种答案，即① 2、11、11；② 3、10、11；③ 4、9、11；④ 4、10、10；⑤ 5、8、11；⑥ 5、9、10；⑦ 6、7、11；⑧ 6、8、10；⑨ 6、9、9；⑩ 7、7、10；⑪ 7、8、9；⑫ 8、8、8． 故答案为：12． 题型2. 确定第三边的取值范围 【例1】已知三角形的两边长分别为5和8，那么第三边的长可能是（     ） A． B．14 C．2 D．5 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项即可得到答案． 【详解】解：设第三边的长为， ∵三角形的两边长分别为5和8， ∴ ，即， 观察选项，只有D选项的5满足，故D正确． 【例2】设的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，则第三边c的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查绝对值的非负数的性质和三角形三边关系，注意绝对值和平方的非负性． 根据非负数的性质求出和的值，再利用三角形三边关系求解c的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 根据三角形三边关系：， ∴， 故选：C 【变式1】一个三角形的三边长分别为20、x、27，且x为正整数，则x的值不可能是（   ） A．22 B．26 C．27 D．47 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∴x的值不可能是47． 故选：D 【变式2】如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边之间的关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：D． 【变式3】若一个三角形的三边分别为，则其周长的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，进而可求周长的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：， 即：， ∴， ∴， 故答案是：． 【变式4】一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】6 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三边关系定理求出第三边的取值范围，然后取满足条件的一个数即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2、5、， 则， 故答案可为：6（答案不唯一）． 【变式5】已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求第三边的取值范围，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 题型3. 三角形三边关系的应用 【例1】如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据，则，据此即可作答． 【详解】解：， ∴， A、B、C、D四个选项只有D选项符合上述范围， 故选：D． 【例2】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】(1)2 (2)购买铁条共需元 【分析】本题考查三角形三边关系，有理数加法的实际应用． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 共有2种制作方案； （2）解：当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需（元）， 答：购买铁条共需元． 【变式1】为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好，，三段篱笆，其长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系得到的取值范围即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， 设在篱笆上接上新的篱笆的长度为， 若要围成一个三角形的空地，则， 解得， 故选项D符合题意， 故选：D． 【变式2】图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面上，为支架连杆，为台灯灯面，它们可绕连接点旋转，已知，台灯长，在旋转接点的过程中，点之间的最大距离是____．若 ，则_____度． 【答案】 50 83 【分析】连接，交于点G，根据题意，继而得到即，当三点共线时，取得最大值，结合，解答即可；过C作，过B作，结合，得到，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形不等式，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】如图，连接，交于点G， 根据题意，得， ∴即， 当三点共线时，取得最大值， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：50； 过C作，过B作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：83． 【变式3】某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根． 规格/dm 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 【答案】(1)长度为、、的钢管可供选择； (2)做成三角形支架一共需要花75元购买钢管． 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用： （1）根据三角形三边关系“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”即可求解； （2）根据题意求出第三边长，进而可求解． 【详解】（1）解：设第三根钢管的长度为， 则，即：， ∴长度为、、的钢管可供选择； （2）解：∵三角形支架的周长为偶数， ∴三边长分别为、、， 则花的钱数为：（元）， 答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管． 题型4. 三角形的稳定性及应用 【例1】北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构， 设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性． 【例2】下列图形具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．正方形 C．三角形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，四边形、六边形都没有稳定性． 【详解】解：只有三角形才具有稳定性，所以选项是正确的；而梯形、正方形属于四边形，正六边形是六边形，四边形和六边形都不具有稳定性． 故选：． 【变式1】自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 【变式2】如图，西峰区某公园里的双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计蕴含的数学原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．三角形的外角和等于 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：∵双人漫步机采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：A． 【变式3】空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【变式4】如图所示，盖房子时，在窗框未安装之前，为防止窗框变形，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，其原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，掌握三角形的性质是解题的关键；根据三角形具有稳定的性质回答即可． 【详解】解：盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做是利用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性 题型5. 根据三角形中线求长度 【例1】如图，已知是的中线，且的周长比的周长大，则与的差为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：是的中线， ， 与的周长之差， 比的周长大， 与的差为． 故选：B． 【例2】如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【变式1】如图，是的中线，已知，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段．利用三角形的中线的定义可知，所以两个三角形的周长差即为． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵是中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A．22 B．18 C．28 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．根据的周长为20，，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴的周长是． 故选：A． 【变式3】在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则____________． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键．根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长多，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长多， ， ∵ ． 故答案为：． 【变式4】如图，在中，是中线，若，则的长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴为的中点， ∴， ∴； 故答案为：8． 【变式5】如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查三角形中线的相关计算，理解图示，掌握周长的计算是关键． （1）根据中线得到，由周长的计算公式及周长的计算得到周长差为，代入计算即可； （2）根据周长的计算，结合题意得到，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为，是中线， ∴ ； （2）解：的周长为，四边形的周长为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型6. 根据三角形中线求面积 【例1】如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质、三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点，的面积等于12， ， ∵D是的中点， ． 故选B． 【例2】如图，在中，D、E分别是的中点，的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：，，依此即可求解． 【详解】解：∵D是的中点，的面积为， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【变式1】如图，是的边上的中线， 是的边上的中线，BF是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是的边上的中线，， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 同理可得：， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是____，三角形的面积是____． 【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是：在高相等的情况下，面积比等于底边比． 据三角形的面积底高，结合边的比例关系，就能找到各三角形面积的关系，结合三角形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∴在和中，底，高相等， ， 在和中，底，高相等， 设，则， ， 在和中，底，高相等， ， ， ， 在和中，底，高相等， ∴，即， 解得． 故答案为：4 ； ． 【变式3】如图，在中，点E，F分别为，上的点，若，，连接，，与交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型7. 三角形的角平分线 【例1】下列是真命题的是（   ） A．过三角形的顶点和它对边中点的直线，是三角形的中线 B．三角形的角平分线其实就是角的平分线 C．三角形的高就是顶点到对边的垂线 D．三角形的三条中线的交点叫做重心，重心一定在三角形内部 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判定，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据三角形的中线、角平分线、高、重心的定义判断即可． 【详解】解：A、连接三角形的顶点和它对边中点的线段，是三角形的中线，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，角的平分线的射线，三角形的角平分线是顶点与角的平分线与对边交点之间的线段，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、三角形的高就是顶点到对边的垂线段，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、三角形的三条中线的交点叫做重心，重心一定在三角形内部，故本选项命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【例2】如图，在中，平分，，则是______三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【变式1】三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的定义，线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线， ∴三角形的角平分线是线段． 故选：C． 【变式2】如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【变式3】在中，的外角的平分线．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的性质得到，，推出，即可证明． 【详解】证明： 平分， ， ， ，， ， ． 题型8. 画三角形的高 【例1】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【例2】如图，以为高的三角形有___________个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．由图可得一共10个三角形，且都以A为顶点，结合以为高即可得出结论． 【详解】解：由图可得，一共有个三角形，且都以A为顶点， 又交于D， 以为高的三角形有10个． 故答案为：10． 【变式1】小花将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．根据三角形高的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，垂直于， 则当点、共线时，是的高， 故选：C． 【变式2】如图，的边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义，理解并能准确区分三角形的高是解题的关键； 根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高， ∴中的边上的高是线段， 故选：B． 【变式3】如图，在中，画出中边上的高； 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高定义作图即可． 【详解】解：如图所示，即为中边上的高 题型9. 与三角形的高有关的计算 【例1】如图，下列算式表示的面积求法的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积公式，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． 根据三角形的面积公式逐项判断即可． 【详解】解：由图可知是的高，不是的高， ， 故选：C ． 【例2】如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 【变式1】如图，已知是的角平分线，是边上的高，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线，高的含义，先求解，结合角平分线可得，结合与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【变式2】如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是_______ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 【变式3】已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理，角平分线，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】（1）解：是的高， ， ． （2）是的角平分线． ． ． 【变式4】如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 巩固练习 1．（2026·湖南衡阳·二模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，6 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需验证较短两边之和是否大于最长边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B、 ，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； C、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； D、 ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 2．（2026·福建莆田·二模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（   ） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）已知点，．点B在y轴上，且，则点B的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】点B在y轴上，先设出B点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设点B的坐标为 ，则． ∵点坐标为，点和都在y轴上，中，底对应的高为点到y轴的距离，即高为． 又∵， ∴， 化简得， ∴或， ∴点的坐标为或． 4．（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 5．（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积等于20， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 7．（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 【答案】 【分析】设边上的高为，根据“三角形的中线平分三角形的面积”求出，再根据可得答案． 【详解】解：设边上的高为， ∵， 分别是 ， 的中点，，， ∴是的边上的中线，是的边上的中线， ∴， ∴，即， 解得：， 即边上的高为． 8．（2026·湖北随州·二模）如图湖泊对岸的凉亭和到大门的距离分别是30m和20m，则的长可能是________m（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 9．（2026·河北沧州·模拟预测）如图是折叠凳的侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用三角形的定义，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边找出取值范围解答即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴可能为（答案不唯一） 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或． 【分析】根据非负性可得，，求解得，，再分成是腰长和3是底边长，分别讨论，进而可得出周长． 【详解】解：∵实数满足，，， ∴，， 解得：，， 若是腰长， ∵， ∴以、、为边可以构成三角形， ∴的周长是； 若3是底边长， ∵， ∴以、、为边能构成三角形， ∴的周长是． 故答案为：或． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 【答案】 4 【分析】根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵为的中线，的面积为30， ∴的面积是的面积的一半，为15， ∵， ∴， ∴的面积是的面积的，为， ∴中边上的高为. 12．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点都在格点上．请分别按下列要求完成解答： (1)画出的高，中线； (2)画出将向右平移3格，再向上平移4格所得到的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图平移变换，三角形的高与中线，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据网格即可画出的高，中线； （2）根据平移的性质即可画出将向右平移3格，再向上平移4格所得到的． 【详解】（1）解：如下图所示，线段、线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和三角形的中线的性质，熟知三角形的高的定义和三角形的中线的性质是解题的关键． （1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 15．（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为______． (2)若是的中点，，连接． ①求三角形的面积； ②已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平移的性质，进行求解即可； （2）①根据平移的性质，结合三角形面积公式求出结果即可； ②过点作于点，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形沿方向平移至三角形， ∴； （2）解：①由题意得， ， 是的中点， ， ， ； ②如图，过点作于点， ∵， ∴， 即点到的距离为． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】连接，根据中线的意义可得，，，再根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 17．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2）；理由见解析 （3）；证明见解析 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （2）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （3）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】（1）； 证明：， ， ， ； （2）过点作交于点， ， ， 点为中点， ， ， ； ， ， ． （3）过点作交于点， ， ， ， ， 则． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 02讲 与三角形有关的线段 题型归纳 【题型1. 构成三角形的条件 3】 【题型2. 确定第三边的取值范围 3】 【题型3. 三角形三边关系的应用 4】 【题型4. 三角形的稳定性及应用 6】 【题型5. 根据三角形中线求长度 7】 【题型6. 根据三角形中线求面积 9】 【题型7. 三角形的角平分线 10】 【题型8. 画三角形的高 11】 【题型9. 与三角形的高有关的计算 12】 【巩固练习 14】 知识清单 知识点1 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点2 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. , 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 题型专练 题型1. 构成三角形的条件 【例1】下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（    ） A．1，2，4 B．1，2，3 C．3，2，2 D．1，2，7 【例2】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17 B．13 C．17或22 D．22 【变式1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若从如图所示的四根小木棒中选取三根摆成一个三角形，则所摆成的三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知等腰三角形的一边等于另一边等于，则它的周长为______． 【变式4】用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形． 题型2. 确定第三边的取值范围 【例1】已知三角形的两边长分别为5和8，那么第三边的长可能是（     ） A． B．14 C．2 D．5 【例2】设的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，则第三边c的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一个三角形的三边长分别为20、x、27，且x为正整数，则x的值不可能是（   ） A．22 B．26 C．27 D．47 【变式2】如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若一个三角形的三边分别为，则其周长的取值范围是______． 【变式4】一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 【变式5】已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是_______________． 题型3. 三角形三边关系的应用 【例1】如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【例2】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【变式1】为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好，，三段篱笆，其长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2】图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面上，为支架连杆，为台灯灯面，它们可绕连接点旋转，已知，台灯长，在旋转接点的过程中，点之间的最大距离是____．若 ，则_____度． 【变式3】某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根． 规格/dm 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 题型4. 三角形的稳定性及应用 【例1】北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【例2】下列图形具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．正方形 C．三角形 D．正六边形 【变式1】自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式2】如图，西峰区某公园里的双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计蕴含的数学原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．三角形的外角和等于 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【变式3】空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 【变式4】如图所示，盖房子时，在窗框未安装之前，为防止窗框变形，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，其原理是________． 题型5. 根据三角形中线求长度 【例1】如图，已知是的中线，且的周长比的周长大，则与的差为（   ）    A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【变式1】如图，是的中线，已知，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式2】如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A．22 B．18 C．28 D．20 【变式3】在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则____________． 【变式4】如图，在中，是中线，若，则的长为_____． 【变式5】如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 题型6. 根据三角形中线求面积 【例1】如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】如图，在中，D、E分别是的中点，的面积为，则的面积为_____． 【变式1】如图，是的边上的中线， 是的边上的中线，BF是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式2】如图，三角形的面积为，点D、E分别在边上，交于点F，若，，则三角形的面积是____，三角形的面积是____． 【变式3】如图，在中，点E，F分别为，上的点，若，，连接，，与交于点O．求证：． 题型7. 三角形的角平分线 【例1】下列是真命题的是（   ） A．过三角形的顶点和它对边中点的直线，是三角形的中线 B．三角形的角平分线其实就是角的平分线 C．三角形的高就是顶点到对边的垂线 D．三角形的三条中线的交点叫做重心，重心一定在三角形内部 【例2】如图，在中，平分，，则是______三角形．    【变式1】三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【变式2】如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】在中，的外角的平分线．试说明：． 题型8. 画三角形的高 【例1】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，以为高的三角形有___________个． 【变式1】小花将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，的边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式3】如图，在中，画出中边上的高； 题型9. 与三角形的高有关的计算 【例1】如图，下列算式表示的面积求法的是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【变式1】如图，已知是的角平分线，是边上的高，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是_______ 【变式3】已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式4】如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 巩固练习 1．（2026·湖南衡阳·二模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，3，6 D．4，5，10 2．（2026·福建莆田·二模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（   ） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）已知点，．点B在y轴上，且，则点B的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 5．（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，是的中线，连接，的面积是20，则的面积是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 7．（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 8．（2026·湖北随州·二模）如图湖泊对岸的凉亭和到大门的距离分别是30m和20m，则的长可能是________m（写出一个即可） 9．（2026·河北沧州·模拟预测）如图是折叠凳的侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为_____． 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 12．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点都在格点上．请分别按下列要求完成解答： (1)画出的高，中线； (2)画出将向右平移3格，再向上平移4格所得到的； 14．（25-26八年级上·浙江温州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的高线． (2)在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 15．（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为______． (2)若是的中点，，连接． ①求三角形的面积； ②已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 16．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 17．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $