16.3.1 平方差公式（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过地主租地、绿化带面积调整等生活情境导入，引导学生从多项式乘法探究规律，结合几何图形面积验证公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以情境问题培养抽象能力，通过探究推理发展运算能力，结合中考真题强化模型意识。学生能提升应用与创新能力，教师可借助分层练习和易错总结优化教学效果。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 16.3.1 平方差公式 第十六章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 练习题 【核心知识点回顾】 1. 平方差公式（必考核心） 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式：$$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$ 2. 公式特征（判断能否使用公式） ① 括号中必须是一项完全相同，一项互为相反数； ② 结果：相同项的平方 － 相反项的平方； ③ $$a$$、$$b$$ 可以是数字、字母、单项式、多项式。 3. 常见变形 $$(b+a)(-b+a)=a^2-b^2$$ $$(-a+b)(-a-b)=a^2-b^2$$ 4. 公式逆用（因式分解） $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 5. 简便运算用途 用于凑整计算，如：$$99\times101=(100-1)(100+1)$$。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子能用平方差公式计算的是（） A. $$(a+b)(a+b)$$ B. $$(a-b)(b-a)$$ C. $$(a+b)(a-b)$$ D. $$(a+2)(a+3)$$ 2. 计算$$(x+3)(x-3)$$的结果是（） A. $$x^2-9$$ B. $$x^2+9$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$x^2+6x+9$$ 3. 计算$$(2a-1)(2a+1)$$的结果正确的是（） A. $$4a^2-1$$ B. $$2a^2-1$$ C. $$4a^2+1$$ D. $$4a^2-2a+1$$ 4. $$(-x+y)(-x-y)$$化简结果为（） A. $$x^2-y^2$$ B. $$y^2-x^2$$ C. $$-x^2-y^2$$ D. $$x^2+y^2$$ 5. $$99\times101$$可变形为（） A. $$(100+1)^2$$ B. $$(100-1)^2$$ C. $$(100+1)(100-1)$$ D. $$100^2+1$$ ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. $$(a+b)(a-b)=$$________。 2. $$(x+5)(x-5)=$$________。 3. $$(3a+2)(3a-2)=$$________。 4. $$a^2-16=$$________$$)$$。 5. 平方差公式结果为：___项平方减___项平方。 ### 三、解答题（共60分） 1.（24分）运用平方差公式计算： （1）$$(m+4)(m-4)$$ （2）$$(2x+3)(2x-3)$$ （3）$$(-a+6)(-a-6)$$ （4）$$(5x-y)(5x+y)$$ 2.（18分）利用平方差公式简便计算： （1）$$98\times102$$ （2）$$59.8\times60.2$$ 3.（18分）化简求值：$$(x+2)(x-2)-x(x-1)$$，其中$$x=3$$。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.C 2.A 3.A 4.A 5.C 填空题答案：1.$$a^2-b^2$$ 2.$$x^2-25$$ 3.$$9a^2-4$$ 4.$$(a+4)(a-4)$$ 5.相同、相反 解答题解析 1. 解：（1）原式$$=m^2-4^2=m^2-16$$； （2）原式$$=(2x)^2-3^2=4x^2-9$$； （3）原式$$=(-a)^2-6^2=a^2-36$$； （4）原式$$=(5x)^2-y^2=25x^2-y^2$$。 2. 解：（1）原式$$=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996$$； （2）原式$$=(60-0.2)(60+0.2)=60^2-0.2^2=3600-0.04=3599.96$$。 3. 解：原式$$=x^2-4-x^2+x=x-4$$，代入$$x=3$$，原式$$=3-4=-1$$。 易错知识总结 1. 乱用公式：必须满足“一同一反”，两项都相同、两项都相反均不能用；2. 漏平方：系数、整体也要平方，如$$(2x)^2=4x^2$$，不是$$2x^2$$；3. 写反顺序：只能是相同项平方减相反项平方；4. 混淆平方差与完全平方公式，切勿多加一次项。 理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想. 能利用公式进行简单的计算和推理，发展运算能力和推理能力. 情境导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。 你认为老张吃亏了吗？ 学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长是 15 米，宽是 10 米. 后来因为场地调整，长增加了 2 米，宽减少了 2 米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了，还是没变呢？​ 15m 10m 2m 2m 原来的面积是 15×10=150（米2）， 调整后的长是 17 米，宽是 8 米， 面积是 17×8=136 （米2）. 显然，面积变小了. 我们再换一组数据试试？如果原来的长是 20 米，宽是 15 米，长增加 3 米，宽减少 3 米，面积又会怎么变呢？ 20m 15m 3m 3m 原来的面积是 20×15=300 （米2）， 调整后的面积是 23×12=276 （米2）， 面积还是变小了. 这里面是不是存在着某种规律呢？ 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(x+1)(x-1)=_____________； （2）(m+2)(m-2)=_____________； （3）(2m+1)(2m-1)=_____________； x2-12 m2-22 (2m)2-12 问题1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？ 是两个二项式相乘， 这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项)， 另一项互为相反数(通常变形后放在第二项). 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(x+1)(x-1)=_____________； （2）(m+2)(m-2)=_____________； （3）(2m+1)(2m-1)=_____________. x2-12 m2-22 (2m)2-12 问题2 等式的右边有什么特点？ 乘式中两项的平方差， 即相同项的平方减去相反项的平方. 探究 上述规律如何用字母来表示呢？ (a+b)(a-b) =a²-ab+ab-b2 =a²-b2. 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 (a+b) (a-b)=a2-b2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式叫作（乘法的）平方差公式. 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中 p=a，q=-b的特殊情形. 思考 你能根据图中图形的面积，说明平方差公式吗？ a a a2-b2 =(a+b)(a-b) b b a-b a b (a-b) (a+b)=a2-b2. 例1 计算： （1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y).　 解：（1）(3x+2)(3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4. （2）(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2. 例2 计算： （1）(x-1)(x+1)(x2+1)； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； 解：（1）(x-1)(x+1)(x2+1) =(x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1. （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 例2 计算：（3）102×98. 解：（3）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996. 1. 下列各式能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 14 3. 已知，则 的值为 ( ) A A. 13 B. 3 C. D. 5 4. 若，则 的值为( ) D A. 4 B. 2 C. D. 返回 中考考法 15 5. 已知，，则与 的大小关 系是( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】 ， ， . 6.若，则， 的值分别为 _________. ， 返回 中考考法 16 7. 教材P117习题 计算： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 中考考法 17 8.［2025厦门校级期中］先化简，再求值： ，其中， . 【解】 ， 当， 时，原式 . 中考考法 18 9. 三个连续偶数，中间一个数为 ，则这三个数的积为 ( ) A A. B. C. D. 10. 已知,则 的值是( ) A A. B. C. 9 D. 27 【点拨】 . 返回 中考考法 19 11. 如果，那么 的值 为( ) D A. B. C. 2 D. 12.［2025福州校级期中］若，满足 则式子 的值为____. 返回 中考考法 20 13. 在一个艺术工作室中， 设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用 了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图， 12 其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起 时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么 阴影部分的面积是____. 中考考法 21 平方差公式 注意 内容 两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式； 对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. (a+b) (a-b)=a2-b2 $